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专题4.1 因式分解定义与提公因式法、公式法因式分解之十大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 判断是否是因式分解】 1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3
【考点三 已知因式分解中错题正解】 4
【考点四 公因式】 5
【考点五 提公因式法因式分解】 6
【考点六 判断能否用平方差公式因式分解】 8
【考点七 判断能否用完全平方公式因式分解】 10
【考点八 综合运用公式法因式分解】 11
【考点九 综合提公因式和公式法因式分解】 13
【考点十 运用因式分解求多项式的值】 14
【过关检测】 16
【典型例题】
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列因式分解正确的是（ ）
B．
C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·四川巴中·期末）下列变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ．
【变式训练】
1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式有一个因式是，则的值为 .
2．（2023下·湖南益阳·七年级统考期末）多项式可以因式分解为，则系数 ．
【考点三 已知因式分解中错题正解】
例题：（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ．
【变式训练】
1．（2021下·浙江绍兴·七年级绍兴市元培中学校考期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
【考点四 公因式】
例题：（2023上·全国·八年级专题练习）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【考点五 提公因式法因式分解】
例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)， (4)．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把下列各式进行因式分解：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．（2023上·八年级课时练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【考点六 判断能否用平方差公式因式分解】
例题：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【考点七 判断能否用完全平方公式因式分解】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点八 综合运用公式法因式分解】
例题：（2023上·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
【考点九 综合提公因式和公式法因式分解】
例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式训练】
1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式：
(1)； (2)．
2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式：
(1)； (2)．
【考点十 运用因式分解求多项式的值】
例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ．
2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若，则代数式值为 .
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）如果，，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）分解因式： ．
7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式可分解为，则的值为 ．
8．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）已知，，那么的值为 .
9．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）多项式加上一个单项式后，使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式从；；；；中选取，则可选取的是 ．
10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
13．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)（用简便方法做）
15．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式∶．
解∶原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．
16．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是的值是．
请你仿照以上做法解答下题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值。
(2)已知关于二次三项式有一个因式是，若另一个因式的值为0，且为非零整数，
①请你用含的式子表示；
②在①的条件下，求使得为整数的所有的值．
17．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；
(2)分解因式：；
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
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专题4.1 因式分解定义与提公因式法、公式法因式分解之十大考点
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【典型例题】 1
【考点一 判断是否是因式分解】 1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3
【考点三 已知因式分解中错题正解】 4
【考点四 公因式】 5
【考点五 提公因式法因式分解】 6
【考点六 判断能否用平方差公式因式分解】 8
【考点七 判断能否用完全平方公式因式分解】 10
【考点八 综合运用公式法因式分解】 11
【考点九 综合提公因式和公式法因式分解】 13
【考点十 运用因式分解求多项式的值】 14
【过关检测】 16
【典型例题】
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）下列因式分解正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义“把一个整式化为几个因式的积的形式”是解题关键．
【详解】解：A. ，原式分解不完全，故不正确；
B. ，原式分解有分式，故不正确；
C. ，分解正确；
D. ，原式分解左右不相等，故不正确；
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的右边不是积的形式，不是因式分解；
B．的右边不是积的形式，不是因式分解；
C．是因式分解；
D．的右边不是积的形式，不是因式分解；
故选C．
2．（23-24八年级上·四川巴中·期末）下列变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式．根据因式分解的定义，先确定等式左边是整式和差形式，再确定右边是整式的乘积形式，最后观察两边是否相等，即可获得答案．
【详解】解：A. 不能进行因式分解，故变形错误，不符合题意，
B. ，不是因式分解，不符合题意；
C. ，不是因式分解，不符合题意；
D. ，是因式分解，符合题意．
故选：D．
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（2024上·重庆南川·八年级统考期末）若关于x的多项式可以分解为，则常数 ．
【答案】1
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键．
根据整式合并后对应项的系数相等即可解答．
【详解】解：∵关于x的多项式可以分解为，
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式训练】
1．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式有一个因式是，则的值为 .
【答案】
【分析】设另一个因式为，得，根据整式的乘法运算法则即可求解．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
【详解】解：设另一个因式为，得，
则
∴，
解得，
∴另一个因式为，的值为．
故答案为：．
2．（2023下·湖南益阳·七年级统考期末）多项式可以因式分解为，则系数 ．
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则将展开，即可得到k的值．
【详解】解：，
∵多项式可以因式分解为，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和整式乘法，利用多项式乘多项式法则将正确展开是解题关键．
【考点三 已知因式分解中错题正解】
例题：（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵甲看错了，分解结果为，
∴由，可知 ，
又∵乙看错了，分解结果为，
∴由，可知，
∴，
∵，
∴正确的分解结果为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值．
【变式训练】
1．（2021下·浙江绍兴·七年级绍兴市元培中学校考期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
【答案】，
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．
【详解】解：∵，小明看错了b，
∴，
∵，小张看错了a，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．
【考点四 公因式】
例题：（2023上·全国·八年级专题练习）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查公因式，找出多项式中各项的系数的最大公约数，以及相同字母的最低指数次幂，即可得到答案．
【详解】解：系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是，
∴公因式为．
故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．
【详解】解：A、，与有公因式，故本选项不符合题意；
B、与没有公因式，故本选项符合题意；
C、与有公因式，故本选项不符合题意；
D、与有公因式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键．
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z．
【详解】∵多项式中，
各项系数绝对值的最大公约数是4，
各项相同字母x的最低次幂是x，
各项相同字母y的最低次幂是y，
各项相同字母z的最低次幂是z，
∴多项式的公因式是．
故选：C．
【考点五 提公因式法因式分解】
例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)， (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解：
（1）提出公因式6，即可求解；
（2）提出公因式，即可求解；
（3）提出公因式，即可求解；
（4）提出公因式，即可求解．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式训练】
1．（2023上·全国·八年级专题练习）把下列各式进行因式分解：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
（1）直接提取公因式，进而因式分解得出答案；
（2）直接提取公因式，进而因式分解得出答案；
（3）直接提取公因式，进而因式分解得出答案；
（4）直接提取公因式，进而因式分解得出答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
2．（2023上·八年级课时练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
（3）原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【考点六 判断能否用平方差公式因式分解】
例题：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解题关键．
【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式，
故选：B
【变式训练】
1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为，本题利用平方差公式判断即可．
【详解】A、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
B、不可以用平方差公式分解因式，故符合题意；
C、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
D、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意．
故选：B．
2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】本题考查了多项式的因式分解，根据平方差公式的形式：逐项判断即得答案．
【详解】解：①不能用平方差公式进行因式分解，
②，能用平方差公式进行因式分解，
③，能用平方差公式进行因式分解，
④不能用平方差公式进行因式分解，
故选：D．
【考点七 判断能否用完全平方公式因式分解】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】略
【变式训练】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式是解答的关键．
【详解】解：∵多项式可以用完全平方公式进行因式分解，
∴由得，
故选：D
2．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
【考点八 综合运用公式法因式分解】
例题：（2023上·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两次运用平方差公式分解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行二次分解即可；
（2）先利用多项式的乘法法则将原式展开，合并后再利用完全平方公式进行分解即可；
（3）两次利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查公式法分解因式，多项式的乘法，积的乘方，幂的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【考点九 综合提公因式和公式法因式分解】
例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查因式分解：
（1）采用提公因式法求解；
（2）先提公因式，再采用公式法求解；
（3）先提公因式，再采用公式法求解．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【变式训练】
1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
（2）
2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查因式分解，
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【考点十 运用因式分解求多项式的值】
例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解．
【详解】解：∵
∴，则，
∴，
故选：A．
【变式训练】
1．（2022上·湖南衡阳·八年级校考期中）长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为 ．
【答案】
【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12，
∴，，
整理得：，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式的变形应用，熟练掌握因式分解的方法、正确变形是解本题的关键．
2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若，则代数式值为 .
【答案】/
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是将式子进行适当的变形；
将变形得，再将所求代数式整理变形得出含的因式，再采用整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
即，
，
；
故答案为：．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解．
【详解】解：在多项式中，各项的公因式是，
故选：A．
2．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解；结合题中所给的等式，运用上述的定义即可判断．
【详解】解：A．，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B．，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C．，是因式分解，故符合题意；
D．，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意．
故选：C．
3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．（23-24八年级下·河北承德·开学考试）如果，，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，分解因式并整体代入即可求解．
【详解】解：，
当，时，原式，
故选：C．
5．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分解因式的应用、平方差公式分解因式，对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】解：，
当，时，，，，
组成密码的数字应包括，，.
故选：C．
二、填空题
6．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，熟练进行平方差公式因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式可分解为，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可．
【详解】解：，
∵多项式可分解为，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
8．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）已知，，那么的值为 .
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，，
原式
．
故答案为：
9．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）多项式加上一个单项式后，使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式从；；；；中选取，则可选取的是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方式和因式分解，根据完全平方公式逐一排除即可，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解的应用．
【详解】解：，故添加符合题意；
，故添加不符合题意；
，故添加符合题意；
，故添加不符合题意；
，故添加符合题意；
故答案为：．
10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键．
先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解．
【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）．
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的因式分解；
（1）先提取公因式，再利用平方差公式；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式．
【详解】（1）原式；
（2）原式．
12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）先提公因式，再利用完全平方公式即可；
（）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可;
（）先进行多项式乘以多项式运算，再利用完全平方公式即可；
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用及多项式乘以多项式运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
．
13．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）提取公因式后用完全平方公式进行分解即可；
（4）提取公因式后用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
14．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)（用简便方法做）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；
（3）先利用平方差公式进行分解，再分别利用完全平方公式继续分解；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解；
（5）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解；
（6）先提取公因式，再利用平方差公式进行变形，然后计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
15．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式∶．
解∶原式……第一步
……第二步
……第三步
．……第四步
任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ；
任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．
【答案】任务一：；任务二：四，进行乘法运算，
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
任务一：根据平方差公式求解即可；
任务二：根据因式分解的概念求解即可．
【详解】任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为；
任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为．
16．（23-24八年级上·云南红河·阶段练习）阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
所以，解得，
所以，另一个因式是的值是．
请你仿照以上做法解答下题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值。
(2)已知关于二次三项式有一个因式是，若另一个因式的值为0，且为非零整数，
①请你用含的式子表示；
②在①的条件下，求使得为整数的所有的值．
【答案】(1)另一个因式是，m的值是
(2)①，②
【分析】此题主要考查了因式分解的意义，一元二次方程根与系数的关系，正确假设出另一个因式是解题关键．
（1）直接利用已知例题进而假设出另一个因式是，求出答案即可．
（2）根据题意可得，再利用，可确定m的取值范围，再由，即可解答．
【详解】（1）解：设另一个因式是，
根据题意，得，
展开，得，
，
解得：，
所以，另一个因式是，m的值是．
（2）解：①设另一个因式是，
依题意得，，
展开得：，
，
另一个因式的值为0，
即，
，
；
②关于二次三项式有一个因式是，若另一个因式的值为0，
，
，
又为非零整数，
为除0外的任何整数，
由①可知：，且为整数，
当，
当，
当，
当，
答：使得为整数的所有的值有：．
17．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；
(2)分解因式：；
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的形状是等边三角形，见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，正确进行因式分解．
（1）仿照题干信息进行证明即可；
（2）利用分组分解法进行分解因式即可；
（3）根据，得出，分解因式得出，即可得出，从而可以判断三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
等式两边同乘以2，
∴，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形．
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