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专题4.2 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 1
【考点二 因式分解要彻底分解】 4
【考点三 十字相乘法因式分解】 8
【考点四 分组分解法因式分解】 14
【考点五 因式分解的应用】 20
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2024上·四川眉山·八年级统考期末）分解因式： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东广州·期末）将分解因式的结果是 ．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）把多项式因式分解的结果是 .
3．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ．
4．（2024七年级下·全国·专题练习）分解因式： ．
5．（23-24七年级下·全国·假期作业）因式分解： ．
6．（22-23八年级下·全国·假期作业）因式分解： ．
7．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：
8．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)． (2)．
【考点二 因式分解要彻底分解】
例题：（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）因式分解
(1) (2)
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
3．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）分解因式：
(1)； (2)．
4．（2023秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）因式分解：
(1)； (2)
5．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）分解因式．
(1)； (2)．
6．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【考点三 十字相乘法因式分解】
例题：（2023下·安徽阜阳·七年级统考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．
第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为；②的系数为；
③的系数为；④的系数为．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式：；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；
②分解因式：_______；
(2)分解因式：．
①完善横线上的数字；
②分解因式：________．
【变式训练】
1．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）因式分解：
2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：．
3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：．
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
5．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
6．（2023下·全国·八年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
7．（23-24八年级上·福建泉州·期中）阅读下面的材料．
材料一：当时，，或．
材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如．
所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，．
根据以上材料回答下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)解方程：；
(3)若，求的值．
【考点四 分组分解法因式分解】
例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)填空：
解：原式（ ）
（ ）（ ）
= ．
(2)因式分解；．
2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
(1)；
(2)．
3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）阅读与思考：因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，观察这个式子发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其分解过程为：，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，根据以上方法，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值．
4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【考点五 因式分解的应用】
例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状．
（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？
【变式训练】
1．（2024上·山东东营·八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
3．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
4．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
5．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；
(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
6．（23-24八年级上·云南昆明·期末）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：原式
又是一个非负数，
．
．
可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；（直接写出结果）
当______时，多项式有最小值，这个最小值是______；
(2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长．
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专题4.2 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 1
【考点二 因式分解要彻底分解】 4
【考点三 十字相乘法因式分解】 8
【考点四 分组分解法因式分解】 14
【考点五 因式分解的应用】 20
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2024上·四川眉山·八年级统考期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法及提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键．按照提公因式法分解法进行分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东广州·期末）将分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用提取公因式进行因式分解，提取公因式进行因式分解即可解答．
【详解】解：；
故答案为：．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）把多项式因式分解的结果是 .
【答案】
【解析】略
3．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
4．（2024七年级下·全国·专题练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式与公式法分解因式的综合运用，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
5．（23-24七年级下·全国·假期作业）因式分解： ．
【答案】
【解析】略
6．（22-23八年级下·全国·假期作业）因式分解： ．
【答案】
【解析】略
7．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键，本题先提取公因式，分解后再次提取公因式2，从而可得答案．
【详解】解：
；
8．（2023上·八年级课时练习）分解因式：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【考点二 因式分解要彻底分解】
例题：（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）因式分解
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（2023春·四川成都·八年级成都市第二十中学校校考阶段练习）分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
4．（2023秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）因式分解：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）分解因式．
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式先提取公因式y，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先运用平方差公式分解，再提取公因式即可
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】此题考查了提公因式法，公式法分解因式．解题的关键是注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要彻底．
6．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可；
（3）利用完全平方公式的方法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【考点三 十字相乘法因式分解】
例题：（2023下·安徽阜阳·七年级统考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．
第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为；②的系数为；
③的系数为；④的系数为．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式：；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；
②分解因式：_______；
(2)分解因式：．
①完善横线上的数字；
②分解因式：________．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①见解析；②
【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．
【详解】（1）解：① ；
②；
（2）① ；
②．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．
【变式训练】
1．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：．
2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法并解决问题是解题的关键．
【详解】解：原式．
4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，本题先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可．
【详解】解：
.
5．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；
（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；
本题考查了“十字相乘法”因式分解，熟练掌握分解的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，
，
∴，
（2）根据题意，
∴．
6．（2023下·全国·八年级专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．
7．（23-24八年级上·福建泉州·期中）阅读下面的材料．
材料一：当时，，或．
材料二：把等式的左右两边交换位置后，得到，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如．
所以在解方程时，可以把方程变形为，所以，或，所以，．
根据以上材料回答下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)解方程：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)的值为或
【分析】本题考查了十字相乘法的应用；
（1）根据十字相乘法可进行因式分解；
（2）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到方程的解；
（3）先根据十字相乘法对等号左边的式子进行因式分解，再利用材料二中的方法得到关于x、y的二元一次方程，然后分别求出的值即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
当时，可得，
∴；
当时，可得，
∴，
综上，的值为或．
【考点四 分组分解法因式分解】
例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题．
（1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)填空：
解：原式（ ）
（ ）（ ）
= ．
(2)因式分解；．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键．
（1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解；
（2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
故答案为：
（2）解：原式
2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解；
（2）根据题中所给方法可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）阅读与思考：因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，观察这个式子发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其分解过程为：，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，根据以上方法，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查综合运用提取公因式法，公式法进行复杂的分解因式，掌握提取公因式法，公式法进行分组分解因式是解题的关键．
（1）根据材料提示，前两项结合，后两项结合提取公因式即可求解；
（2）根据材料提示，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，再代入求值即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
，
，，
原式．
4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
【考点五 因式分解的应用】
例题：（2023上·全国·八年级课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状．
（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？
【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）把通过因式分解求值即可；
（2）通过把配方后根据非负数的性质判断即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴这个三角形是等腰三角形．
（2）∵，
∴．
∴，
即．
∴，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
【变式训练】
1．（2024上·山东东营·八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
2，，，对应的汉字分别为：爱、我、中、华，
呈现的密码信息可能是“爱我中华”，
故选A．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键．
把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：
∵，
∴
∵a、b、c是三角形的三边，
∴
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：A．
3．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【答案】B
【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【详解】解：∵
，
∵，，则各个因式的值为，，，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
4．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（）运用分组分解法直接作答即可；
（）运用分组分解法判断出，进而得到结论；
本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，，是的三边，
∴，
∴为等腰三角形．
5．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；
(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等边三角形；理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用；
（1）根据材料1，分组分解即可求解；
（2）根据材料2，利用换元法，设，进而因式分解即可求解；
（3）根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：
设，则原式
（3）解：是等边三角形，理由如下；
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴是等边三角形
6．（23-24八年级上·云南昆明·期末）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：原式
又是一个非负数，
．
．
可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；（直接写出结果）
当______时，多项式有最小值，这个最小值是______；
(2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长．
【答案】(1)；2；
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式，
（1）先利用十字相乘法分解因式即可；再将多项式配方，根据题例解答即可；
（2）将等式配方后，利用非负数的性质求出，，的值，进而求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1），
，
∵是一个非负数，
．
．
可知当时，有最小值，这个最小值是；
故答案为：，2，；
（2），，为的三条边，，
，
，
∴，
∴，
的周长为．
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