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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.13 分式方程的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
(1)该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
2．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
3．尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
4．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等．
(1)求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？
(2)如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？
5．数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价．
6．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
7．义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知两个采血点到中心血库的路程分别为，经了解获得两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍；
信息二： 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
8．学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费7500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相同．求文学类图书和科普类图书平均每本的价格各是多少元？
9．列方程解应用题：红团以形圆、色红、馅甜的形态特征寓意团团圆圆、红红火火、甜甜蜜蜜，是一种别具特色的传统喜庆节日食品，更是一种吉祥的文化符号．某社区举办“迎福闹春”活动，购进绿豆、糯米两种畅销口味的红团．已知购进绿豆红团的金额是900元，购进糯米红团的金额是400元，购进绿豆红团的数量比糯米红团的数量多100个，绿豆红团的单价是糯米红团单价的1.5倍．求糯米红团的单价是多少元？
10．在2020年疫情防控期间，我市某公司为了满足全体员工的需求，花1万元买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩的价格下降了，该公司又花了6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包．求2020年每包口罩的价格是多少？
(1)设2020年每包口罩的价格为x元，则2021年每包口罩的价格为 元；（用含x的代数式表示）
(2)求2020年每包口罩的价格．
11．某车床加工车间计划加工A，B两种零件共100个，全部加工完后，A零件共需费用900元，B零件共需费用400元，A零件比B零件每个多需费用5元．
(1)求加工A，B两种零件每个各需费用多少元？
(2)为降低加工费用，车间要求加工完这批零件的总费用不超过1260元，且加工A种零件的个数不少于加工B种零件的个数，若设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，请写出w与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，w的值最小，最小值是多少元？
12．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 求奖品的购买方案 购买钢笔和笔记本数量的方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．
13．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．
14．根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯杨梅肉多肉 满杯杨梅配料茉莉清茶/杯杨梅肉多肉
素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
15．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.13 分式方程的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．冬季来临，天气越来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市场需求．已知进货员用元购进这批保暖衣，面市后供不应求；该进货员又用元购进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的倍，但每件的进价贵了元．
(1)该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺码的件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件保暖衣的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
(2)每件保暖衣的标价至少是元．
【详解】（1）解：设该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
则第二批保暖衣每件的进价是元，
答：该商场购进第一批保暖衣每件的进价是元，则第二批保暖衣每件的进价是元；
（2）（件），
设每件保暖衣的标价是元，
由题意得：，
解得：，
答：每件保暖衣的标价至少是元．
2．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
(2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米
(2)共需修建费用元
【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，
依题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（千米），
∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得，
解得，
∴甲施工队单独修建5天，
则（元），
∴共需修建费用元．
3．尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【答案】(1)购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
(2)第二次购买乙种笔记本本
【详解】（1）解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
，
文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
（2）解：设第二次购买乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故第二次购买乙种笔记本本．
4．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等．
(1)求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？
(2)如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？
【答案】(1)购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元
(2)公司最多可购买20副羽毛球拍
【详解】（1）设购买一副乒乓球拍需要元，则购买一副羽毛球拍需要元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
答：购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元；
（2）设该校购买羽毛球拍副，则需要购买乒乓球拍是副，
由题意得：，
解得，
答：公司最多可购买20副羽毛球拍．
5．数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价．
【答案】甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元
【详解】解：设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为元，
由题意等：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元．
6．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元．
(1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
(2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．
【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米
(2)甲工程队所花费用较少；理由见解析
【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（天），
答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米．
（2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
乙工程队修建时间为：（天），需要花费：
（万元），
∵，
∴两个工程队都能在天内完成，
∵，
∴甲工程队所花费用较少．
7．义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知两个采血点到中心血库的路程分别为，经了解获得两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍；
信息二： 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
【答案】采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为
【详解】解：设采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为．
8．学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费7500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相同．求文学类图书和科普类图书平均每本的价格各是多少元？
【答案】科普类图书平均每本的价格是元，文学类图书每本的价格是15元．
【详解】解：设科普类图书平均每本的价格是元，则文学类图书每本的价格是元，
解得：
经检验：是原方程的解．
∴
答：科普类图书平均每本的价格是元，文学类图书每本的价格是15元．
9．列方程解应用题：红团以形圆、色红、馅甜的形态特征寓意团团圆圆、红红火火、甜甜蜜蜜，是一种别具特色的传统喜庆节日食品，更是一种吉祥的文化符号．某社区举办“迎福闹春”活动，购进绿豆、糯米两种畅销口味的红团．已知购进绿豆红团的金额是900元，购进糯米红团的金额是400元，购进绿豆红团的数量比糯米红团的数量多100个，绿豆红团的单价是糯米红团单价的1.5倍．求糯米红团的单价是多少元？
【答案】糯米红团的单价是2元
【详解】解：设糯米红团的单价是x元，则绿豆红团的单价是元，根据题意，得
，
解方程得，
经检验，是原方程的解，
故糯米红团的单价是2元．
10．在2020年疫情防控期间，我市某公司为了满足全体员工的需求，花1万元买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩的价格下降了，该公司又花了6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包．求2020年每包口罩的价格是多少？
(1)设2020年每包口罩的价格为x元，则2021年每包口罩的价格为 元；（用含x的代数式表示）
(2)求2020年每包口罩的价格．
【答案】(1)
(2)2020年每包口罩的价格是20元
【详解】（1）解：根据题意得：2021年每包口罩的价格为元．
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：2020年每包口罩的价格是20元．
11．某车床加工车间计划加工A，B两种零件共100个，全部加工完后，A零件共需费用900元，B零件共需费用400元，A零件比B零件每个多需费用5元．
(1)求加工A，B两种零件每个各需费用多少元？
(2)为降低加工费用，车间要求加工完这批零件的总费用不超过1260元，且加工A种零件的个数不少于加工B种零件的个数，若设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，请写出w与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，w的值最小，最小值是多少元？
【答案】(1)加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元；
(2)，当时，w有最小值，最小值为1250元．
【详解】（1）解：设加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元，
依题意得，
解得或，
经检验，或，都是原方程的解，
当时，，
当时，（此情况不符合题意，舍去），
答：加工A种零件每个需费用元，则加工B种零件每个需费用元；
（2）解：设加工完这批零件的总费用为w元，加工A种零件m个，则加工B种零件个，
依题意得，
∵，
解得，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为1250元．
12．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 求奖品的购买方案 购买钢笔和笔记本数量的方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．
【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：钢笔30支，笔记本20本；任务3：文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据题意，得
解得
可购买钢笔30支，笔记本20本
任务3：当有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
经尝试检验得，
文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
13．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）． 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．
【答案】任务一：5 3 1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5
【详解】任务一：(根)
方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪5根．
，
方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠3根．
，
方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠1根．
任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
(元)．
答：方法②和方法③各裁剪8根与1根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．
任务三：依据题意得，解得：．
14．根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯杨梅肉多肉 满杯杨梅配料茉莉清茶/杯杨梅肉多肉
素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：，
解得，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，
则“芝士杨梅”利润为元/杯，
由题意 ，
解得，
经检验满足题意，
芝士杨梅成本：（元/杯），
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
由题意得：，变形得，
∵芝士配料不低于，
∴且m是5的倍数，
∴解得，
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
当时，总利润为266元，
当时，总利润为264元，
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
15．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式．
【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，
根据题意，得：，
解得，
购买钢笔30支，笔记本20本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔，
根据题意，得，
整理得，
，且，均为正整数，
解得：或或，
文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本．
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