浙教版七年级下册数学第4章 因式分解 拔尖题（含解析）

浙教版七年级下册数学因式分解拔尖题
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（　　）
A．a（4﹣y2）=4a﹣ay2 B．﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣（2x﹣3y）2
C．x2+3x﹣1=x（x+3）﹣1 D．x2+y2=（x+y）2﹣2xy
2．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．3p2-3q2=（3p+3q）（p-q） B．m4-1=（m2+1）（m2-1）
C．2p+2q+1=2（p+q）+1 D．m2-4m+4=（m-2）2
5．已知 2x+y=2，2xy=1，则的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．把多项式因式分解成，则m的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
7．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
8．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （　　）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
9．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
10．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
11．因式分解： 　 　
12．如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是　 　．
13．已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 　 　.
14．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则　 　 ．
15．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数　 　．
16．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是　 　；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是　 　．
三、解答题
17．已知a+b＝，ab＝-，求代数式的值．
18．在①，②这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答.
问题：分解因式：　 　
19．如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．
20．阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
21．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
22．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：
（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2024呢
（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
23．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是　 　．共应用了　 　次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　.
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、属于整式乘法运算，不属于因式分解；
B、﹣4x2+12xy﹣9y2=﹣（2x﹣3y）2，属于因式分解；
C、右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；
D、右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”一一判断可得答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
B，，两个平方项，没有二倍项，不能因式分解.
C，，两个平方项，符号相同，不能因式分解.
D，，能够因式分解，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式，完全平方公式来进行判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 ，不是完全平方式，此项错误
B、 ，不是完全平方式，此项错误
C、 ，是完全平方式，此项正确
D、 ，不是完全平方式，此项错误
故答案为：C.
【分析】完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、3p2 3q2＝3（p2 q2）＝3（p＋q）（p q），不符合题意；
B、m4 1＝（m2＋1）（m2 1）＝m4 1＝（m2＋1）（m＋1）（m 1），不符合题意；
C、2p＋2q＋1不能进行因式分解，不符合题意；
D、m2 4m＋4＝（m 2）2，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提取公因式法和公式法因式分解逐项判断即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵2x+y=2，2xy=1，
∴xy=，
∴=xy（2x+y）=×2=1.
故答案为：C.
【分析】由2xy=1可得xy=，将待求式子利用提取公因式法分解因式为xy（2x+y），然后整体代入计算即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
7．【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
11．【答案】-2n（m-4）2
【解析】【解答】解：
=-2n（m2-8m+16）
=-2n（m-4）2.
故答案为：-2n（m-4）2.
【分析】直接提取公因式-2n，再利用完全平方公式分解因式得出答案.
12．【答案】2或4
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
13．【答案】100
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
14．【答案】-450
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
15．【答案】；
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
16．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
图1阴影部分面积为：a2+b2=32+42=25，
故答案为：25；
（2）由题意得a2+b2=3，
∵am-bn=2，an+bm=4，
∴将两式分别平方得：a2m2-2abmn+b2n2=4①，
a2n2+2abmn+b2m2=16②，
∴①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）=20，
∵a2+b2=3，
∴m2+n2=，
∴图2阴影部分的面积=S四边形ABCD--
=5-
=5-
=
故答案为：.
【分析】 （1）根据正方形的面积公式计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2=3，将题干中两个等式分别平方后求和，然后再将等式的一边分解因式得（a2+b2）（m2+n2）=20，求得m2+n2=，最后利用割补法求图2中阴影部分的面积．
17．【答案】解：
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
∵a+b＝，ab＝-，
∴原式＝．
【解析】【分析】先化简，再求值。观察到各项都有公因式ab，提取公因式：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2），直接应用完全平方公式，继续因数分解：=ab（a+b）2；代入求值即可。
18．【答案】选择①补充在下面问题横线上分解因式：选择②补充在下面问题横线上分解因式：
【解析】【分析】根据完全平方公式的特点可知，可选择4mn，也可选择-4mn，然后利用完全平方公式分解即可.
19．【答案】解：是等边三角形
证明：∵，
∴．
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】将原等式，两边同乘以2变形为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0， 等式左边进行分组构造完全平方公式，即（a-b）2-（a-c）2-（b-c）2 =0，可得a-b=0，a-c=0，b-c=0，即a=b=c，则三角形ABC为等边三角形。
20．【答案】（1）解：设，
令x＝1，则1－m＋2n－16＝0，
令x＝2，则16－8m＋4n－16＝0，
即，解得：，
（2）解：令，，
再令x＝－2，则－8＋4k＋3＝m；
令x＝－3，则－27＋9k＋3＝n；
∵多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，
∴n－m＝1，
∴（9k－24）－（4k－5）＝1，
9k－24－4k＋5＝1，
5k＝20，
k＝4．
【解析】【分析】（1）设，再令x=1，x=2，从而列出关于m、n的方程，解之即可；
（2）令，，再令x=-2，x=-3，求出m、n，再根据题中m、n的关系，列出关于k的方程并解之即可.
21．【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
22．【答案】（1）解：∵8=32-12，16=52-32，24=72-52，而42÷8=5……2，
∴42不能表示成两个连续奇数的平方差，
∵
∴2024能表示为两个连续奇数的平方差；
（2）解：是，理由如下：
∵
∴由这两个连续奇数构造的a为8的倍数；
（3）解：
=
【解析】【分析】（1）通过观察发现能表示为两个连续奇数的平方差得正整数一定是8的整数倍，据此即可求解；
（2）利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算，得到两个连续的平方差为8的倍数，据此可求解；
（3）根据题意得到阴影部分的面积为：，利用平方差公式分解因式后，根据含括号的混合运算的运算顺序计算即可.
23．【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
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