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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.4 因式分解中分组分解的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．因式分解： ．
2．因式分解：．
3．因式分解：．
4．因式分解：．
5．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．因式分解
(1)；
(2)．
7．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
8．阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
9．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：（先分成两组）． 乙：（先分成两组）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．
10．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；
(2)分解因式：；
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
11．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
12．阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组组内分解因式整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
13．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
(1)分解因式：
(2)若a，都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值．
14．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1) ；
(2) ．
15．先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；
(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.4 因式分解中分组分解的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．因式分解： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：．
2．因式分解：．
【答案】
【详解】解：
．
3．因式分解：．
【答案】
【详解】解：
．
4．因式分解：．
【答案】
【详解】解：
．
5．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
6．因式分解
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
7．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)为等腰三角形，理由见解析．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，，是的三边，
∴，
∴为等腰三角形．
8．阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
9．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：（先分成两组）． 乙：（先分成两组）．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：
；
（2）
∴因式能被9整除．
10．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式
由此得到：公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：；
(2)分解因式：；
(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的形状是等边三角形，见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
等式两边同乘以2，
∴，
∴，
∵
，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形．
11．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
12．阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组组内分解因式整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)为等腰三角形，理由见详解
【详解】（1）解：
；
（2）解：为等腰三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴或，
三边都大于0，
∴．
∴，即，
∴为等腰三角形．
13．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
(1)分解因式：
(2)若a，都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)S的最小值为6
【详解】（1）
；
（2）由得，
，
，
，
，
，
，
，，
解得，，
；
（3）由得，
，
，
，，
，
当，时，
，
∴S的最小值为6．
14．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
15．先阅读下面的材料，再完成后面的任务．
材料一 材料二
如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（写出详细步骤）：；
(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等边三角形；理由见解析
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：
设，则原式
（3）解：是等边三角形，理由如下；
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴是等边三角形
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