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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题4.3 因式分解中十字相乘的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
2．因式分解：
【答案】
【详解】解：．
3．分解因式：
①；
②．
【答案】①；②
【详解】解：①原式
；
②原式
．
4． 分解因式∶ ．
【答案】
【详解】解：
；
5．分解因式：．
【答案】
【详解】
．
6．分解因式：．
【答案】
【详解】解：
．
7．分解因式：．
【答案】
【详解】解：
8．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）
9．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2）
【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
（1）
；
（2）
．
10．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．
如：①因为，所以和是的因式．
②若是的因式，则求常数的值的过程如下：
解：是的因式，
存在一个整式，使得．
当时，，此时．
将代入得，，解得．
(1)是的因式吗？______（填“是”或“不是”）；
(2)若整式是的因式，求常数的值．
【答案】(1)不是
(2)
【详解】（1）解：，
不是的因式，
故答案为：不是，
（2）解：∵整式是的因式，
存在一个整式，使得，
当时，，
此时．
将代入得，
，
解得：．
11．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数．
例如：．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴或 或或 ，
整数的值可能是或，
故答案为：或；
（3），
，
，
，
．
12．阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：令，
则原式，
∴；
（2）令，
则原式.
∴原式.
13．在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．
材料一：分解因式：解： 材料二：分解因式：解：原式
(1)按照材料一提供的方法分解因式：；
(2)按照材料二提供的方法分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：原式
．
14．阅读下列材料：
材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ．
(1)根据材料 ，把分解因式．
(2)结合材料和材料，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①，②
【详解】（1）解：由题意知，，
∴；
（2）①解：令，
原式
∴；
②解：令，
原式
∴原式
，
∴．
15．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
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专题4.3 因式分解中十字相乘的应用专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．分解因式：
(1)；
(2)．
2．因式分解：
3．分解因式：
①；
②．
4． 分解因式∶ ．
5．分解因式：．
6．分解因式：．
7．分解因式：．
8．分解因式：
(1)；
(2)．
9．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
10．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．
如：①因为，所以和是的因式．
②若是的因式，则求常数的值的过程如下：
解：是的因式，
存在一个整式，使得．
当时，，此时．
将代入得，，解得．
(1)是的因式吗？______（填“是”或“不是”）；
(2)若整式是的因式，求常数的值．
11．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数．
例如：．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式：．
12．阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
13．在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．
材料一：分解因式：解： 材料二：分解因式：解：原式
(1)按照材料一提供的方法分解因式：；
(2)按照材料二提供的方法分解因式：．
14．阅读下列材料：
材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ．
(1)根据材料 ，把分解因式．
(2)结合材料和材料，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
15．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
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