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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题3.4 多项式乘法中规律性问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．观察下列各式：
(1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ；
(2)根据上述规律，求的值；
(3)根据上述规律，求的值．
2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数．
(1)根据上面的规律，展开式共有______项；
(2)利用上面的规律计算：
；
(3)直接写出展开式的系数和为______．
3．观察以下等式：
……
(1)按以上等式的规律，填空：
（ ）
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
4．（1）计算
______．
______．
______．
……
（2）猜想：______．
（3）利用上面结论计算：的值．
5．（1）观察下列各式的规律：
；
；
；
……
可得到_________．
（2）猜想：_________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
6．观察下列各式：
(1)根据以上规律可知，______．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：______．
(3)计算．
7．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
8． 观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
9．观察下列式子：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明．
10．观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
11．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
(1)根据图中规律，写出的展开式；
(2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数；
(3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
(4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值
12．（1）填空：__________．
__________．
__________．
……
（2）猜想：_________（n为很大的正整数）．
（3）证明（2）中的猜想．
（4）利用你发现的规律计算：．
13．【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
(1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
(2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
(3)应用你发现的规律计算：
14．在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．
例如：；
；
．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求的值．
15．观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①；
②；
③；
④．
(1)根据你发现的规律，猜想_______．
(2)已知均为整数，且，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题3.4 多项式乘法中规律性问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．观察下列各式：
(1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ；
(2)根据上述规律，求的值；
(3)根据上述规律，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】（1）解：由规律得：，
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：∵
．
2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数．
(1)根据上面的规律，展开式共有______项；
(2)利用上面的规律计算：
；
(3)直接写出展开式的系数和为______．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：由题意得，有1项，
有2项，
有3项，
有4项，
……，
以此类推可知，展开式共有项，
∴展开式共有，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得
；
（3）解：由展开式可得，当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
，
以此类推可知，的展开式的系数和为，
故答案为：．
3．观察以下等式：
……
(1)按以上等式的规律，填空：
（ ）
(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）由题意得，
故答案为：；
故答案为：．
（2）
（3）
4．（1）计算
______．
______．
______．
……
（2）猜想：______．
（3）利用上面结论计算：的值．
【答案】（1）；；；（2）；（3）
【详解】解：（1），
，
，
故答案为：，，．
（2）归纳可得：
；
（3）
；
5．（1）观察下列各式的规律：
；
；
；
……
可得到_________．
（2）猜想：_________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）设（2）中式子中的，，，
则有，
即，
∴，
∴．
6．观察下列各式：
(1)根据以上规律可知，______．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：______．
(3)计算．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由题意可得，
故答案为：；
（2）由题意可得，
故答案为：；
（3）
．
7．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由规律得：；
故答案为；
（2）；
故答案为．
（3）
（4）
，
，
．
8． 观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意得，．
故答案为：．
（2）
．
（3）
．
9．观察下列式子：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）解：根据题意可得第4个等式为：；
故答案为：；
（2）解：规律：．
证明：左边，
右边，
左边右边，即.
10．观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)第n个等式：，见解析
【详解】（1）解：；
（2）解：第n个等式：，
证明：左边，
右边，
左边=右边，
等式成立．
11．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
(1)根据图中规律，写出的展开式；
(2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数；
(3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
(4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值
【答案】(1)
(2)15
(3)
(4)
【详解】（1）解：由图可得，
；
（2）解：由图可知，
多项式的展开式是一个n次项式，
∵的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
∴的第三项系数为；
（3）解：∵的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
…，
∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和是；
（4）解：的第三项系数为
，
解得（负值已舍）．
12．（1）填空：__________．
__________．
__________．
……
（2）猜想：_________（n为很大的正整数）．
（3）证明（2）中的猜想．
（4）利用你发现的规律计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【详解】解：（1），
，
故答案为：．
（2）由（1）可得：
故答案为：．
（3）证明如下：
（4）原式
．
13．【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
(1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
(2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
(3)应用你发现的规律计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，，
故答案为：
（2）由题意可得规律为，
证明：∵，，
∴
（3）
．
14．在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．
例如：；
；
．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求的值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)．
【详解】（1）解：由题意得：，
证明：左边，
，
右边，
；
（2）解：由题意得：
，
，
∴．
15．观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①；
②；
③；
④．
(1)根据你发现的规律，猜想_______．
(2)已知均为整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题例得到的规律，可得
．
故答案为：．
（2）解：，，
，．
．
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