浙教版七年级下册数学第五章分式拔尖练（含解析）

浙教版七年级下册数学第五章分式拔尖练
一、选择题
1．和的最简公分母是（　　）
A．2a3 B．2a2 C．2a D．a2
2．下列式子从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知分式的值是0，则x的值是（　　）
A．-3 B．±3 C．0 D．3
4．将分式中的，都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍
5．已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．-5
6．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）
A． B．0 C．或0 D．-1或
7． 老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （　　）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
8．已知实数 a，b满足ab=1，设 则 M，N的大小关系是 （　　）
A．M>N B．M9．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=若关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解，则a的值是（　　）
A．4 B．-3 C．4或-3 D．4或3
10．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（　　）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围是　 　.
12．如果x-5y=0且x≠0，那么的值为　 　
13．甲地到乙地的铁路的全长为s(km)，火车全程的运行时间为a(h)；甲地到乙地的公路的全长为铁路全长的m倍，汽车全程的运行时间为b(h)，那么火车的速度是汽车速度的　 　.倍.
14．已知则 　 　.
15．当分别取值时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于　 　．
16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是　 　；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为　 　．
三、解答题
17．阅读下面题目的计算过程：
=x-3-2(x-1)……②
=x-3-2x+2……③
=-x-1.……④
（1）上述计算过程，从第　 　(填序号)步开始出现错误，错误的原因是　 　
（2）请写出正确的计算过程.
18．先化简再求值：，其中．
19．已知，关于x的分式方程=1.
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解.
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程无解.
20．甲、乙两个工程队合修一条长为1500米的公路，已知甲工程队每天修( 米，乙工程队每天修(m-n)2 米，工程完成后统计，甲工程队修了 900米，乙工程队修了 600 米.
（1）甲工程队修路所用时间是乙工程队的多少倍
（2）当 时，求(1)中倍数的值.
21．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
22． 我们把形如且两个解分别为：x =a，x =b的方程称为十字分式方程.
例如：若为十字分式方程，则可将它化为得 x =1，x =3.
再如：若为十字分式方程，则可将它化为 得4.
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x =　 　，x =　 　.
（2）若十字分式方程的两个解分别为求 的值.
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为求 的值.
23．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
24．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米和10厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，a＞b）
（1）用含a，b的代数式分别表示这三块木板的面积.
（2）若甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米，求乙块木板的面积.
（3）如果购买一块长为100厘米，宽为（a+b）厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为90%，试求分式 + 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵与1的最小公倍数是2，a的最高次幂是2，
∴和的最简公分母是2a2.
故答案为：B.
【分析】最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂，据此可得答案.
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
【解析】【解答】解：将分式中的x，y都扩大2倍，则分式变为
故答案为：A.
【分析】 根据分式的基本性质解答即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
= .
故答案为：B.
【分析】先通分，然后分子利用完全平方公式进行配方，最后代值计算，即可求出结果.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：
2a+1=a(x+1)，
解得：x=，
∵原方程有增根，
∴x+1=0，则=-1，
解得：a=.
故答案为：A.
【分析】由题意，去分母，将分式方程化为整式方程，解之，用含a的代数式把x表示出来，根据方程有增根可得x的值，于是可得关于a的方程，解方程可求解.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
=0
∴M＝N
故答案为：C
【分析】计算M-N，根据差的正负判断M和N的大小关系。当M-N＝0时，M＝N；当M-N＞0时，M＞N；当M-N＜0时，M＜N。
9．【答案】D
10．【答案】A
【解析】【解答】解： =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，先求出p、q，由p+q=6可得a+b=2，继而确定a=P-2，b=q-2，从而得出ab=（P-2）（q-2）=-(p-3)2+1，==，据此分别确定出ab、的最大值与最小值，再判断即可.
11．【答案】m≠2
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：m≠2.
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解，即可解答.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵x-5y=0，
∴x=5y，
∴.
故答案为：.
【分析】由已知等式可得x=5y，从而用5y替换分式中的x，分式的分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：火车的速度为： (km/h)
汽车的速度为： (km/h)
故答案为：
【分析】速度＝路程÷时间，分别列出火车和汽车的速度，再用除法求它们的倍数关系即可。
14．【答案】22
【解析】【解答】解：∵m-5m+1=0，
∴m-5+1m=0， 5m=m2+1，
∴m+1m=5，
∴2m2-5m+=2m2-（m2+1）+
=2m2-m2-1+
=m2+-1
=（m+1m）2-2-1
=52-3
=22.
故答案为：22.
【分析】先把已知的等式变形为：m+1m=5和5m=m2+1，然后再把5m=m2+1整体代入化为m+1m）2-2-1，最后把m+1m=5整体代入求出代数式的值.
15．【答案】
【解析】【解答】解：把代入 ，
得 ，
把代入 ，
得 ，
，
当分别取值 和时，所得结果之和为0，
，
，
，
故答案为：.
【分析】观察代数式可发现，当x取互为倒数的两个值时，所得结果之和为0，故只需计算x取0和1时的结果之和I即可.
16．【答案】（1）165
（2）3968
【解析】【解答】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M=11×15=165，
故答案为：165；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，
∴A=10m十n，B=10m+6-n，
∴P(M)=A+B=20m+6，Q(M)=A-B=2n -6，
∵A≥B，自然数M的个位数字不为0，
∴n为5、4或者3，
∵Q（M）=A-B=2n-6≠0，
∴n为5或4，
∴，
∴10m+3是奇数，
当n=5时，，
∵分子10m+3是奇数，分母为2是偶数，
∴该数不可能是整数，故此种情况不符合题意，应该舍去；
当n=4时，，
∵能被7整除，且m为1至9的自然数，
∴m只能等于6，
∴A=64，B=62，
∴M=A×B=64×62=3968.
故答案为：3968.
【分析】（1）直接根据“如意数”的定义进行判断即可；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，则A=10m十n，B=10m+6-n，进而表示出（M）与Q（M），结合题意可判断出n为5或4，然后表示出，并根据能被7整除，且m为1至9的自然数，可判断出m、n的值，由此即可求解此题.
17．【答案】（1）②；漏掉了分母
（2）
18．【答案】解：
，
当时，原式
【解析】【分析】先计算乘法进行约分，再计算减法进行化简，再将x的值代入化简后的式子中计算即可.
19．【答案】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
2（x-5）-（1-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
解得：x=-.
检验：把x=-代入（2x+3）（x-5）≠0，
∴原分式方程的解为x=-.
（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：
方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
（x-5）-（b-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
去括号，得：x-5+2x2+3x-2bx-3b=2x2-7x-15，
移项、合并同类项，得（11-2b）x=3b-10，
①当11-2b=0时，即b=，原分式方程无解；
②当11-2b≠0时，解得：x=，
∴当x=-时，原分式方程无解，即=-，此时b不存在；
当x=5时，原分式方程无解，即=5时，此时b=5.
综上所述，b=或5时，分式方程无解.
【解析】【分析】（1）把a=2，b=1代入原方程，求出方程的解，然后检验，看看求得的x的值是否会增根，最终确定原分式方程的根.
（2）把a=1代入原分式方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项。再根据原分式方程无解分别讨论11-2b=0和11-2b≠0时原分式方程无解时b的值.
20．【答案】（1）解：甲队用的时间为：天，乙队用的时间为：天，
即 甲工程队修路所用时间是乙工程队的倍 。
（2）解：当 时，m=2.5n，
∴
【解析】【分析】（1）修路时间＝修路长度÷每天修的长度，根据这一数量关系列式，并用除法计算出它们的倍数关系.
（2）根据已知条件得出m=2.5n，再代入（1）式中进行化简即可.
21．【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
22．【答案】（1）-2；- 3
（2）解：∵十字方程 的两个解分别为x1=m，x2=n，
∴mn=-5，m+n=-2，
∴；
（3）解：原方程变形为，
∴，
∴x1-2=k，x2-2=-2k-3，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵为十字分式方程 ，
∴可将其化为，
得x1=-2，x2=-3；
故答案为：-2；-3；
【分析】（1）根据题干给出的“十字方程”得答题方法求解即可；
（2）运用“十字方程”解与方程中系数的关系可得mn=-5，m+n=-2，然后通分计算异分母分式的加法，进而将分子利用完全平方公式变形后整体代入计算可得答案；
（3）观察方程，可将方程变形为，结合“十字方程”得解答方式进而变形为，从而可求出方程的两个根，再代入待求式子计算可得答案.
23．【答案】（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
【解析】【分析】（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
24．【答案】（1）解：由图可得：甲块木板的面积：（ab+10a）平方厘米；乙块木板的面积：（10a+10b）平方厘米；丙块木板的面积：（ab+10b）平方厘米；
（2）解：由题意可得： ，
即 ，
则（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝400+60000＝60400，
则乙块木板的面积为10a+10b＝10（a+b）＝10 ＝200 （cm2）；
（3）解：由题意可得： ＝90%，
化简得ab＝35（a+b），
则 + +
＝ +
＝ +
＝ +
＝ +5
＝ .
【解析】【分析】（1）利用展开图，结合立体图形的边长即可得出答案；
（2）利用“甲块木板的面积比丙块木板的面积大200平方厘米，木箱的体积为150000立方厘米”，结合（1）中所求得出等式即可求解；
（3）利用（1）中所求表示出箱子的侧面积以及木板的利用率为90%，得出等式求出ab＝35（a+b），再代入计算即可求解.
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