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5.4 分式的加减 提升练习
一．选择题（共21小题）
1．（2023秋 桂林期末）分式和的最简公分母是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简公分母的概念解答即可．
【解析】和的最简公分母是，故选．
2．（2023秋 汉川市期末）分式，，最简公分母是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
【解析】因为各分母都是单项式，所以最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，因此，所求分式的最简公分母为．故选．
3．（2022秋 澧县校级期末）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解．
【解析】．故选．
4．（2022秋 惠民县期末）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可．
【解析】两分式的最简公分母为，
，
则的分子变为．故选．
5．（2022秋 滨城区校级月考）把，，通分过程中，不正确的是
A．最简公分母是
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解析】、最简公分母为最简公分母是，正确；
、，通分正确；
、，通分正确；
、通分不正确，分子应为；
故选．
6．（2022秋 邢台期中）在化简①②
其中步骤①、②的运算依据分别属于
A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分
【答案】
【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解．
【解析】这是提公因式；这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简，故选．
7．把，，通分后，各分式的分子之和为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行解答即可．
【解析】，
，
，
所以把，，通分后，
各分式的分子之和为，故选．
8．（2024春 宜阳县期中）计算：
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．
【解析】，故选．
9．（2024 项城市模拟）化简的结果是
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．
【解析】原式，故选．
10．（2023秋 琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此可得．
【解析】、与的最简公分母是，此选项正确；
、与最简公分母是，此选项正确；
、与的最简公分母是或，此选项错误；
、与的最简公分母是，此选项正确；
故选．
11．（2024 河北一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】
【分析】根据分式的加减法运算法则计算并判断即可．
【解析】第二步是错的，正确的第二步是：，故选．
12．（2024 文水县一模）化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【解析】原式．故选．
13．（2024春 宿豫区期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用分式的相应的法则对各项进行运算即可．
【解析】、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选．
14．（2024 岱岳区一模）若分式□运算结果为，则在“□”中添加的运算符号为
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】分析题目代入符号，，，利用分式的相关运算法则进行计算，根据所得的结果，找出结果为的，问题便可解答．
【解析】，
，
．
，
则所填的符号是或．故选．
15．（2024 瓯海区模拟）已知
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】围绕已知等式变形，分别求及，再求的值．
【解析】，
，即
，即
．故选．
16．（2024 峰峰矿区校级模拟）设，，则，的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】；
，
则可以看出，即．故选．
17．（2024 平山县一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据乘法和减法的意义列式表示出“■”，再进行计算即可．
【解析】撕坏的部分中“■”为：，故选．
18．（2024 长安区一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：
甲：原式；
乙：原式；
丙：原式；
丁：原式；
其中正确的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法即可．
【解析】，
所以只有选项符合题意，选项、选项、选项都不符合题意．故选．
19．（2024 巧家县校级模拟）为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“”、“ ”、“ ”、“ ”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答．
【解析】、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选．
20．（2024 邯郸模拟）若为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【分析】先根据分式的混合计算法则求出，然后求出即可得到答案．
【解析】，
为正整数，，，即，，
表示的值的点落在如图所示的区域②，故选．
21．（2024 江城区一模）已知，计算的值是
A． B．1 C．3 D．
【答案】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用表示出的值，代入原式进行计算即可．
【解析】，
，，，
原式．故选．
二．填空题（共8小题）
22．（2022秋 新化县校级期中）把，通分，则 ， ．
【答案】，．
【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【解析】，．故答案为：，．
23．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ．
【答案】，，．
【分析】解题关键是找到最简公分母，然后再用最简公分母除以原分母，得出结果．
【解析】、、的最小公倍数为，，，，
故依次填，，．
24．（2021秋 安仁县校级期末），，的最简公分母是 ．
【答案】．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解析】，，的公分母是．故答案为：．
25．（2018秋 浦东新区校级月考）将分式化成分母为的分式： ．
【答案】．
【分析】根据分式的基本性质，直接计算即可．
【解析】根据分式的基本性质，在分子分母上同时乘以，
，故答案为：．
26．（2017秋 龙口市校级月考）分式与通分后的结果是 ．
【答案】，．
【分析】根据提取公因式可分解，再利用平方差公式分解，再找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．
【解析】，，
分式，
分式．
故答案为，．
27．（2024春 邗江区期中）分式与的最简公分母为 ．
【答案】．
【分析】先将各分母分解因式，最简公分母是各分母的所有因式的高次幂的乘积．
【解析】，
分式与的最简公分母为．故答案为：．
28．（2024 海门区一模）计算的结果是 ．
【答案】3．
【分析】根据分式的加减法法则进行计算．
【解析】原式．故答案为：3．
29．（2024 青羊区模拟）已知，则代数式的值为 ．
【答案】．
【分析】先计算分式的除法，再算减法，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】，
，，
当时，原式，故答案为：．
三．解答题（共9小题）
30．（2023春 洪泽区校级期中）通分：
（1）与；
（2）与．
【分析】（1）先确定分式的最简公分母，再通分即可；
（2）先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【解析】（1）与的最简公分母是，
，；
（2）与的最简公分母是，
，．
31．（2022 丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式即可得解．
【解析】（1），，；
（2），，．
32．（2021秋 岱岳区校级月考）已知分式，，是这两个分式中分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值．
【分析】找出两分式中分母的公因式确定出，找出最简公分母确定出．
【解析】两分式分母的公因式为，最简公分母为，
，即
则．
．
33．（2024 朝阳区一模）已知，求代数式的值．
【分析】先化简所求式子，再根据，可以得到，再将代入化简后的式子计算即可．
【解析】
，
，
，
原式．
34．（2024 寻乌县一模）先化简，再求值：，请在范围内选择一个合适的整数的值代入求值．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后分式有意义的条件可以取2，最后把代入计算即可．
【解析】原式
；
且
且且，
从的整数解中只能取2．
当时，原式．
35．（2024 拱墅区一模）以下是小李同学的数学错题整理本的一道错题，请你在订正区域给出正确解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中．
错解摘录： 解：去分母得 原式 当时 原式 订正：
错题反思：分式加减运算时不能“去分母”．可化为同分母后再进行运算．
【分析】化为同分母后再进行运算即可．
【解析】正确解法：
原式
，
当时，原式．
36．（2024春 西安期中）如图，小鑫同学作业本上的一道题被墨水污染了，但他知道化简结果为，那么：
（1）求被墨水污染的部分；
（2）从，，3，4中取一个合适的数作为的值，并代入化简结果求值．
【分析】（1）先根据除式被除式商，求出算式中的除式，然后再次据除式被除式商，列出算式，求出被墨水污染的部分；
（2）根据分式中的分母不能为0，对所给的数进行取舍，找出不能让分母为0的数，代入化简后的式子进行计算即可．
【解析】（1）
，
，
被墨水污染的部分是：；
（2）分式中的分母含有，和，
和，
只能取4，
当时，原式．
37．阅读下列解题过程，并回答问题：通分，；
分析，当分式的分母是多项式或含有多项式因式时，先将它们分解因式或变形，再确定最简公分母．
解：，．
通分：，，．
【分析】先将分式的分母分解因式或变形，再确定最简公分母．
【解析】，
，
．
38．阅读下列解题过程，回答下列问题：
例如：求，的最简公分母．
解：第一步：1，，；
第二步：，，3；
第三步：，，．
，的最简公分母是．
请用以上方法解决下列问题：
（1）求，，的最简公分母；
（2）求，，的最简公分母．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解析】（1），，的最简公分母；
（2），，的最简公分母．
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5.4 分式的加减 提升练习
一．选择题（共21小题）
1．（2023秋 桂林期末）分式和的最简公分母是
A． B． C． D．
2．（2023秋 汉川市期末）分式，，最简公分母是
A． B． C． D．
3．（2022秋 澧县校级期末）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为
A． B．
C． D．
4．（2022秋 惠民县期末）将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为
A． B． C． D．
5．（2022秋 滨城区校级月考）把，，通分过程中，不正确的是
A．最简公分母是
B．
C．
D．
6．（2022秋 邢台期中）在化简①②
其中步骤①、②的运算依据分别属于
A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分
7．把，，通分后，各分式的分子之和为
A． B． C． D．
8．（2024春 宜阳县期中）计算：
A． B．1 C． D．
9．（2024 项城市模拟）化简的结果是
A．3 B． C． D．
10．（2023秋 琼中县期末）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是
A．与的最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与的最简公分母是
D．与的最简公分母是
11．（2024 河北一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
12．（2024 文水县一模）化简的结果是
A． B． C． D．
13．（2024春 宿豫区期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
14．（2024 岱岳区一模）若分式□运算结果为，则在“□”中添加的运算符号为
A． B． C．或 D．或
15．（2024 瓯海区模拟）已知
A． B． C． D．1
16．（2024 峰峰矿区校级模拟）设，，则，的关系是
A． B． C． D．
17．（2024 平山县一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是
A． B． C． D．
18．（2024 长安区一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：
甲：原式；
乙：原式；
丙：原式；
丁：原式；
其中正确的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
19．（2024 巧家县校级模拟）为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“”、“ ”、“ ”、“ ”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为
A． B． C． D．
20．（2024 邯郸模拟）若为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域
A．① B．② C．③ D．④
21．（2024 江城区一模）已知，计算的值是
A． B．1 C．3 D．
二．填空题（共8小题）
22．（2022秋 新化县校级期中）把，通分，则 ， ．
23．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ．
24．（2021秋 安仁县校级期末），，的最简公分母是 ．
25．（2018秋 浦东新区校级月考）将分式化成分母为的分式： ．
26．（2017秋 龙口市校级月考）分式与通分后的结果是 ．
27．（2024春 邗江区期中）分式与的最简公分母为 ．
28．（2024 海门区一模）计算的结果是 ．
29．（2024 青羊区模拟）已知，则代数式的值为 ．
三．解答题（共9小题）
30．（2023春 洪泽区校级期中）通分：
（1）与；
（2）与．
31．（2022 丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
32．（2021秋 岱岳区校级月考）已知分式，，是这两个分式中分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值．
33．（2024 朝阳区一模）已知，求代数式的值．
34．（2024 寻乌县一模）先化简，再求值：，请在范围内选择一个合适的整数的值代入求值．
35．（2024 拱墅区一模）以下是小李同学的数学错题整理本的一道错题，请你在订正区域给出正确解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中．
错解摘录： 解：去分母得 原式 当时 原式 订正：
错题反思：分式加减运算时不能“去分母”．可化为同分母后再进行运算．
36．（2024春 西安期中）如图，小鑫同学作业本上的一道题被墨水污染了，但他知道化简结果为，那么：
（1）求被墨水污染的部分；
（2）从，，3，4中取一个合适的数作为的值，并代入化简结果求值．
37．阅读下列解题过程，并回答问题：通分，；
分析，当分式的分母是多项式或含有多项式因式时，先将它们分解因式或变形，再确定最简公分母．
解：，．
通分：，，．
38．阅读下列解题过程，回答下列问题：
例如：求，的最简公分母．
解：第一步：1，，；
第二步：，，3；
第三步：，，．
，的最简公分母是．
请用以上方法解决下列问题：
（1）求，，的最简公分母；
（2）求，，的最简公分母．
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