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5.3 分式的乘除 提升练习
一．选择题（共22小题）
1．（2024春 泉州期中）下列分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．
【解析】、该分式的分子、分母中没有公因式，属于最简分式，所以选项符合题意；
、该分式的分子、分母中含有公因数3，则该分式不是最简分式，所以选项不符合题意；
、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，所以选项不符合题意；
、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，所以选项不符合题意；
故选．
2．（2024 任丘市校级一模）化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用分式的乘法运算法则计算得出答案．
【解析】原式．故选．
3．（2023秋 合川区期末）分式约分结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】依据分式的性质约分即可．
【解析】．故选．
4．（2023秋 浦东新区期末）化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分子、分母分别进行因式分解，然后约分．
【解析】．故选．
5．（2024春 宜阳县期中）化简：得
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分子、分母分别因式分解，然后约分即可．
【解析】．故选．
6．（2024春 玄武区校级期中）对下列分式约分，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别根据分式的基本性质进行化简即可得出答案．
【解析】、，故本选项错误，不符合题意；
、不能约分，故本选项错误，不符合题意；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
故选．
7．（2024 礼县模拟）计算的结果为
A． B． C． D．2
【答案】
【分析】先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可．
【解析】．故选．
8．（2023秋 阜平县期末）化简：，括号内应填
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质即可得到结论．
【解析】，故选．
9．（2023秋 怀仁市期末）下列约分结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解析】、，错误；
、，错误；
、，正确；
、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．
故选．
10．（2023秋 冠县期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把选项中的各式代入分式，利用最简分式定义：分式的分子分母没有公因式，判断即可．
【解析】、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意．
故选．
11．（2023秋 杨浦区期末）下列分式中，不是最简分式的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解析】、是最简分式，不符合题意；
、不是最简分式，符合题意；
、是最简分式，不符合题意；
、是最简分式，不符合题意；
故选．
12．（2023秋 合江县校级期末）下列分式中，最简分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【解析】，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式；
，不是最简分式；
故选．
13．（2023秋 焦作期末）若分式是最简分式，则△表示的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
【解析】因为，且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有或．
观察选项，只有选项符合题意．
故选．
14．（2024 焦作一模）化简的结果为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
【解析】，故选．
15．（2024 大荔县校级二模）化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据分式的除法运算法则即可求出答案．
【解析】原式．故选．
16．（2024 邯郸模拟）化简的结果是，则“？”是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解析】由题可知，，故？是3．故选．
17．（2023秋 阳新县期末）下列运算中，错误的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，即可对各个选项进行判断．
【解析】、原式，故选项错误；
、原式，故选项错误；
、原式，故选项错误；
、原式，故选项正确．
故选．
18．（2024 新泰市一模）下列说法正确的是
A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式
C．若分式有意义，则 D．若，则
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，最简分式的定义，分式有意义的条件和分式的值为零逐个判断即可．
【解析】．当时，由不能推出，故本选项不符合题意；
．分式是最简根式，故本选项符合题意；
．要使分式有意义，必须，即，故本选项不符合题意；
．，且，，故本选项不符合题意．
故选．
19．（2023秋 宜州区期末）下列各式计算错误的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解析】、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，错误，
故选．
20．（2023秋 大洼区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据“和谐分式”的概念进行判断．
【解析】、是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
、是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
、是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
、是最简分式，且分母可以因式分解是“和谐分式”，故此选项符合题意；
故选．
21．（2023秋 巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设“□”中的式子为，把除法运算化乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案．
【解析】设“□”中的式子为，原式，
所以当时，原式，结果为整式，故选．
22．（2023秋 兴城市期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据除式被除式商式，列出算式，进行计算即可．
【解析】由题意得：，
被污染的代数式为，故选．
二．填空题（共5小题）
23．（2023秋 忻州期末）化简： ．
【答案】．
【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．
【解析】，故答案为：．
24．（2024春 农安县期中）约分的结果是 ．
【答案】．
【分析】分子、分母约去公因式．
【解析】．故答案为：．
25．（2024 孝南区一模）计算的结果为 ．
【答案】1．
【分析】分子分母约去公因式即可．
【解析】，故答案为：1.
26．（2023秋 重庆期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ．
【答案】．
【分析】先把分子分母因式分解，然后约去公因式即可．
【解析】．故答案为：．
27．（2023秋 临沭县期末）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可）
【答案】或．
【分析】根据最简分式的概念解答即可．
【解析】和都是符合题意的最简分式，故答案为：或．
三．解答题（共8小题）
28．（2024春 宿豫区月考）约分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
【解析】（1）；
（2）．
29．（2023秋 福山区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先把括号内的除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后进行除法运算．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
30．下列分式是否是最简分式？如果不是，请化简为最简分式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）．
【分析】（1）不是最简分式，约分即可；
（2）不是最简分式，约分；
（3）不是最简分式，先去掉两个负号，再约分；
（4）不是最简分式，将分母分解为，再约分；
（5）不是最简分式，先将分子和分母分解因式，再约分；
（6）不是最简分式，将分母提取负号并利用平方差公式分解因式，再约分．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）．
31．（2023秋 遵义期末）请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再从，1，2中选择合适的数代入求值．
【分析】首先根据题意，选取②，③两个式子相乘并化简，然后从，1，2中选择2代入求值即可．
【解析】选取②，③两个式子相乘，
．
当时，
．（答案不唯一）
32．（2024春 镇平县月考）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
（1）求所捂部分化简后的结果；
（2）若，求（1）所得代数式的值．
【分析】（1）根据被除数除数乘以商，列式计算即可；
（2）根据，变形得，整体代入解答即可．
【解析】（1）根据题意，得所捂部分为：
．
（2）根据，
变形得，
故．
33．（2023春 萧山区期末）已知三个整式，，．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；
（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【解析】（1） 或；
（2） 或．
34．（2023秋 樊城区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若为正整数，且为“和谐分式”，请写出的值 ；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 ．
；；．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）分、两种情况，根据“和谐分式”的定义判断；
（3）根据“和谐分式”的定义判断．
【解析】（1）①，分式的分子或分母都不可以因式分解，分式不是“和谐分式”；
②，分式的分母可以因式分解，这个分式不可约分，分式是“和谐分式”；
③，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
④，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
故答案为：②；
（2）当时，，分式是“和谐分式”；
当时，，分式不是“和谐分式”；
的值是4，
故答案为：4；
（3），，
不能作分子或分母，
构造的“和谐分式”是：或，
故答案为：或．
35．（2024春 历下区期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数，，均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认．
（1）填空：写出8的一种倒分解： ；
（2）计算的值；
（3）若的最大倒分解为，且，求的值．
【分析】（1）根据倒分解的定义即可求解；
（2）根据倒分解的定义即可求解；
（3）根据倒分解的定义列出方程即可求得．
【解析】（1）8的倒分解为．
故答案为：．
（2）的倒分解为： 或 或 或，
其中最大的倒分解，
．
（3）的最大倒分解为：且，
①当时，，
解得：，
经检验， 是原方程的根，
但时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去，
②当时，，
解得，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
综上可得，的值为0．
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5.3 分式的乘除 提升练习
一．选择题（共22小题）
1．（2024春 泉州期中）下列分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
2．（2024 任丘市校级一模）化简的结果是
A． B． C． D．
3．（2023秋 合川区期末）分式约分结果正确的是
A． B． C． D．
4．（2023秋 浦东新区期末）化简的结果是
A． B． C． D．
5．（2024春 宜阳县期中）化简：得
A． B． C． D．
6．（2024春 玄武区校级期中）对下列分式约分，正确的是
A． B． C． D．
7．（2024 礼县模拟）计算的结果为
A． B． C． D．2
8．（2023秋 阜平县期末）化简：，括号内应填
A． B． C． D．
9．（2023秋 怀仁市期末）下列约分结果正确的是
A． B．
C． D．
10．（2023秋 冠县期末）若表示的是一个最简分式，则☆可以是
A． B． C． D．
11．（2023秋 杨浦区期末）下列分式中，不是最简分式的是
A． B．
C． D．
12．（2023秋 合江县校级期末）下列分式中，最简分式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023秋 焦作期末）若分式是最简分式，则△表示的是
A． B． C． D．
14．（2024 焦作一模）化简的结果为
A． B． C． D．
15．（2024 大荔县校级二模）化简的结果是
A． B． C． D．
16．（2024 邯郸模拟）化简的结果是，则“？”是
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2023秋 阳新县期末）下列运算中，错误的是
A． B．
C． D．
18．（2024 新泰市一模）下列说法正确的是
A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式
C．若分式有意义，则 D．若，则
19．（2023秋 宜州区期末）下列各式计算错误的是
A． B．
C． D．
20．（2023秋 大洼区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是
A． B．
C． D．
21．（2023秋 巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B．
C． D．
22．（2023秋 兴城市期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
23．（2023秋 忻州期末）化简： ．
24．（2024春 农安县期中）约分的结果是 ．
25．（2024 孝南区一模）计算的结果为 ．
26．（2023秋 重庆期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ．
27．（2023秋 临沭县期末）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可）
三．解答题（共8小题）
28．（2024春 宿豫区月考）约分：
（1）；
（2）．
29．（2023秋 福山区期末）计算：
（1）；
（2）．
30．下列分式是否是最简分式？如果不是，请化简为最简分式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）．
31．（2023秋 遵义期末）请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再从，1，2中选择合适的数代入求值．
32．（2024春 镇平县月考）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：
（1）求所捂部分化简后的结果；
（2）若，求（1）所得代数式的值．
33．（2023春 萧山区期末）已知三个整式，，．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
34．（2023秋 樊城区期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若为正整数，且为“和谐分式”，请写出的值 ；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 ．
；；．
35．（2024春 历下区期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数，，均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认．
（1）填空：写出8的一种倒分解： ；
（2）计算的值；
（3）若的最大倒分解为，且，求的值．
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