浙教版七年级下册第四章因式分解培优练习（含解析）

浙教版七年级下册第四章因式分解培优练习
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A．x(a-b)=ax-bx B．x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2
C．y2-1=(y+1)(y-1) D．a2+6a+10=(a+3)2+1
2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B．2 C． D．
3．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2-9=(x-3)2 B．-1+4a2=(2a+1)(2a-1)
C．8ab-2a2=a(8b-2a) D．2x2-4x+2=2(x2-2x+1)
4．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
6．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（　　）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
7．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（　　）
A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除
C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对
8．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
9．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．因式分解：9a2﹣b2的结果是　 　．
12．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是　 　.(任写一个符合条件的即可)
13．一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是　 　cm．
14．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
15．若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于　 　。
16．已知实数m、、满足：．
①若，则　 　．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有　 　个
三、解答题
17． 下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
分解因式：(3x+y)2-(x+3y)2.
解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)……第一步
=(4x+4y)(2x-2y)……第二步
=8(x+y)(x-y)……第三步
=8(x2-y2).……第四步
（1）任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为　 　；
（2）任务二：以上分解过程第　 　步出现错误，具体错误为　 　，分解因式的正确结果为　 　.　
18．已知x-y=-2，xy= ，求代数式x3y-2x2 y2+xy3的值.
19．数257－512能被120整除吗 请说明理由.
20．已知A=a+2，B=a2+a-7，其中a>2，求出A与B哪个大？
21．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
22．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有　 　（填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
23．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（ 1 ）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得 ，解得 ，∴
解法二：设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取 ，
2× ＝0，故 ．
（ 2 ）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、x(a-b)=ax-bx，从左到右的变形是整式乘法，故A不符合题意；
B、x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2， 从左到右的变形不是因式分解，故B不符合题意；
C、y2-1=(y+1)(y-1)， 从左到右的变形是因式分解，故C符合题意；
D、 a2+6a+10=(a+3)2+1，从左到右的变形不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴应提取的公因式是2x，
故答案为：D.
【分析】利用提取公因式的计算方法求解即可.
3．【答案】B
【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义即可求解。
【解答】A、利用平方差公式：x2-9=(x+3)(x-3)
B．利用平方差公式：-1+4a2=4a2-1=(2a+1)(2a-1)
C.利用提公因式法：8ab-2a2=2a·4b-2a·a=2a(4b-a)
D.先提公因式，再利用完全平方公式：2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2
与所给选项一一对比，不难看出只有B是正确的。
故选B
【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，关键是掌握因式分解的定义。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据公式法、提公因式法将各项分别分解因式，再判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接利用公式法分解因式得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：x2-xz-xy+yz=23，
x（x-z）-y（x-z）=23，
（x-y）（x-z）=23，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x-z=1，x-y=23或x-z=23，x-y=1，
∵a=x-z，
∴a=1或a=23，
[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a
=（3a2+6a-a-2-5a+2）÷a
=3a2÷a
=3a，
当a=1时，原式=3，
当a=23时，原式=69，
∴[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a的值为3或69；
故答案为：C.
【分析】先将x2-xz-xy+yz=23分解因式求出x-z，得到a的值，根据正式的混合运算化简原式，代入a的值即可求解.
7．【答案】B
【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。
【解答】n3-3n2+2n
=n(n2-3n+2)
=n(n-1)(n-2)
∵n为大于3的整数，
∴n(n-1)(n-2)能被6整除。
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：M-N= 8x2-y2+6x-2-（ 9x2+4y+13 ）
=8x2-y2+6x-2-9x2-4y-13=-x2+6x-9-y2-4y-4-2=-（x-3）2-（y+2）2-2
∵（x-3）2≥0，（y+2）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，-（y+2）2≤0，
∴-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，
∴M-N的值为负数.
故答案为：B.
【分析】将M，N代入M-N，可转化为-（x-3）2-（y+2）2-2，再利用偶次方的非负性，可得到-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，由此可得到M-N的符号.
9．【答案】A
10．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是2的最佳分解，
∴ ，即①正确；
∵ ， ， ， ， ，
∴ 是48的最佳分解，
∴ ，即②错误；
∵ ，
∴ ，即③正确；
若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数），
∴ ，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个，
故答案为：B.
【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可.
11．【答案】(3a+b)(3a-b)
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为： (3a+b)(3a-b) .
【分析】先将等式变形一下，然后根据平方差公式即可进行因式分解.
12．【答案】x4(或2x或-2x)
【解析】【解答】∵x2+1+2x=（x+1）2，
∴添加的单项式可以是2x．
故答案为2x． (或x4或-2x)
【分析】利用完全平方式的特征求解即可。
13．【答案】a＋4
【解析】【解答】解： ，即正方形的边长为(a+4)cm．
故答案为：（a+4）.
【分析】利用完全平方公式进行因式分解，从而得出答案．
14．【答案】-2020
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
15．【答案】1
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
16．【答案】；
【解析】【解答】解：①将代入得，
∴，
故答案为：18；
②∵m、、为正整数，
∴和均为整数，
∵，
∴或或，
∴或或，
当时，m=1时，；m=2时，；m=4时，；故存在3组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
∴符合条件的有序实数对有7个，
故答案为：7
【分析】①将代入即可求解；
②先根据题意即可得到和均为整数，进而根据题意进行分类即可求解。
17．【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）四；进行乘法运算；8(x+y)(x-y)
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得第一步依据的公式用字母a，b表示a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b) .
【分析】（1）根据 (3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)，利用平方差公式即可求解；
（2）仔细阅读因式分解的步骤即可求解.
18．【答案】解：∵x-y=-2，xy= ，
∴（x-y）2=（-2）2=4，
∴x3y-2x2 y2+xy3
=xy（x2-2xy+y2）
= xy（x-y）2
= ×4
=2
【解析】【分析】先提取公因式xy，再利用完全平方公式进行第二次分解因式，最后将已知条件代入计算即可.
19．【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
20．【答案】解：B-A= a2+a-7-（a+2）
=a2+a-7-a-2=a2-9=（a+3）（a-3）
∵a＞2，
∴a+3＞0
当2＜a＜3时，a-3＜0，
∴（a+3）（a-3）＜0，
∴B＜A；
当a＞3时，a-3＞0，
∴（a+3）（a-3）＞0，
∴B＞A.
【解析】【分析】 先求出B-A的值，再利用a的取值范围，分情况讨论：当2＜a＜3时；当a＞3时；可得到B与A的大小关系.
21．【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
22．【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
23．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①，
取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②，
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
【解析】【分析】（1）根据因式分解的定义，设 2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 根据多项式的乘法法则，将等式的右边展开再合并同类项，按三次项，二次项，一次项，常数项依次排列，再与等式的左边进行比较即可得出答案； 设2x3﹣x2+m＝A （2x+1）（A为整式） 根据恒等式的性质，又为了方便计算，采用取特殊值的方法代入计算即可得出答案；
（2） 设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 仿照（1）中的第二种解法，分别取特殊值x=1,与x=2代入代数式即可得出两个关于m,n的方程，求解即可得出答案。
1 / 1