浙教版七年级下册数学第三章-第四章培优练习（含解析）

浙教版七年级下册数学第三章-第四章培优练习
一、单选题
1．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．多项式 因式分解为（　　）
A． B．
C． D．
3．代数式（x+5）-1= 成立的条件为（　　）
A．x≠0 B．x≠-5 C．x≠5 D．x≠-0.2
4．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（　　）
（1） （2） （3） （4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
5． 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
6．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
7．我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（　　）
A． B．
C． D．
8．为了求 的值，可设 ，等式两边同乘以 ，得 ，所以得 ，所以 ，即： ＝ .仿照以上方法求 的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
10．已知x+y=3，x3+y3=9，则x7+y7=（　　）．
A．129 B．225 C．125 D．675
二、填空题
11．因式分解：2a2﹣8=　 　．
12．若x+4y=-1，则2x 16y的值为　 　．
13．已知m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，则3m2+2mn﹣5n2=　 　．
14．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片　 　张．
15．计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝　 　．
16．若一个四位数的千位数字与十位数字的和为，百位数字与个位数字的和也为，则这个四位数为“双十数” 例如：，，，是“双十数”；又如：，，，不是“双十数” 若一个“双十数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当是整数时，的最大值为　 　，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，的值为　 　．
三、解答题
17．已知： ，求代数式 的值.
18．已知am=2，an=4，求①am+n的值；②a4m﹣2n的值．
19．已知A＝3x2+ax﹣3y+2，B＝bx2x﹣2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式﹣ab[a（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2a2bab）的值．
20． 如图，一个长方体的长、宽、高分别为.若长、宽、高分别增加2cm，1cm，2cm，则长方体的体积增加了多少立方厘米
21． 先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2(2x-3y)+(2x-3y)2；
（2）因式分解：(a+b)(a+b-4)+4.
22．如图1，长方形ABCD的边长分别为a，b，请观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2所示的正方形，请写出代数式(a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系：　 　
（2）根据(1)中的等量关系解决问题：若x+y=7，xy=6，求x-y的值.
（3）若以长方形ABCD的各边为一边向外作正方形(如图3)，且四个正方形的周长之和为32，四个正方形的面积之和为20，求长方形ABCD的面积.
23．我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）　 　；　 　；（为正整数）　 　；
（2）若是正整数，①猜想的表达式；②若，求的值；
（3）若，其中是整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意；
B、x2·x3=x5，故B不符合题意；
C、x8÷x2=x6，故C不符合题意；
D、（x3）2=x6，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解： =2 =
故答案为：C.
【分析】观察多项式可知每一项都含有公因式2x，提公因式后括号内的因式符合平方差公式特征，再用平方差公式分解即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵（x+5）-1= 成立 .
∴x+5≠0时，解得x≠-5.
故答案为：B.
【分析】根据a-p=(a≠0）进行解答即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：（1） ，正确
（2），错误
（3），正确
（4），正确
正确有3个，则测试成绩为30分
故答案为：B
【分析】根据0次幂性质，完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：矩形的面积为（a+10）（a-10）=a2-100，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了100平方米，
故答案为：A
【分析】根据题意结合平方差公式即可求解。
6．【答案】D
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，图中阴影部分面积为和，
，
故答案为：B
【分析】根据左右两幅图用带有a的式子表示它们的面积，且这两个式子相等，进而即可求解。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：求 的值，
可设s= ，
则5s=5（ ）= ，
=4s=
（ ）-（ ）
= ，
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，模仿给出的示例，可设S=①，可得5s= ② ，利用②-①即可求解.
9．【答案】A
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x3 +y3 =(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y)，
∴9=27-9xy，xy=2．
∴x2+y2=(x+y)2 -2xy=5，
x4+y4=(x2 +y2)2 -2x2y2=17．
∴x7+y7=(x3 +y3)(x4+y4)-x3y4-x4y 3=9×17-x3y3(x+y)=153 -8×3= 129．
故答案为：129.
【分析】此题涉及求高次方代数式的值，一般思路为通过降次将所求代数式表示成含已知条件代数式的表达形式，然后整体代入求值.逆向思考：x7+y7=(x3 +y3)(x4+y4)-x3y4-x4y 3=9(x4+y4)-x3y3（x+y)，除所需求的xy的值外，还需求的x4+y4的值，而x4+y4=(x2 +y2)2 -2x2y2，其中x2 +y2=(x+y)2 -2xy，故归根结底是要通过 x+y=3，x3+y3=9 求得xy的值.x3 +y3 =(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y)，所以9=27-9xy，xy=2.将xy=2代入相关推导的等式中，即可求得相应的值.
11．【答案】2（a+2）（a﹣2）
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12．【答案】
【解析】【解答】 ，
.
【分析】先换成同底数的幂，再根据同底数幂相乘解决问题即可
13．【答案】31
【解析】【解答】解：方法一：
根据题意，m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，故有m2=2+mn，n2=mn﹣5，
∴原式=3（2+mm）+2mn﹣5（mn﹣5）=31．
故应填31．
方法二：根据已知条件m2﹣mn=2，mn﹣n2=5，得
m（m﹣n）=2，n（m﹣n）=5
∴两式相加得，（m+n）（m﹣n）=7，m+n=
∴3m2+2mn﹣5n2=3（m+n）（m﹣n）+2n（m﹣n）
=3（ ）（m﹣n）+2（ ）（m﹣n）
=21+10
=31．
故应填31．
【分析】结合已知等式，分别将原式中的m2和n2代换，再进行化简即可得出最终结果．
14．【答案】7
【解析】【解答】长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断需要B类卡片多少张即可。
15．【答案】264
【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故答案为：264．
【分析】在原式前面乘以（2-1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可。
16．【答案】6；2684
【解析】【解答】解：∵是整数，，
∴为能被4整除的数，
∴或8或12或16，
∴的最大值为6，
∵、均为整数，，
∴，
∴，
当取得最大值，且时，
此时，，的最大值为11，
∴，
∴M的值为2684，
故答案为：6，2684
【分析】根据的定义结合题意即可得到的值，进而得出的最大值，根据，进而应用因式分解进行运算即可求解。
17．【答案】原式= = =
∵
∴
∴原式= 2×2﹣2 = 2
【解析】【分析】由 可变化为 ，将 转化为，再将作为一个整体代入，即可求出该式的值。
18．【答案】解：①am+n=am an=2×4=8；
②a4m=（am）4=16，a2n=（an）2=16，
a4m﹣2n=a4m÷a2n=1．
【解析】【分析】①根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案；
②根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
19．【答案】解：∵A﹣3B＝3x2+ax﹣3y+2﹣3（bx2x﹣2y+4）
＝3x2+ax﹣3y+2﹣3bx2+2x+6y﹣12
＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10，
∵A与B的3倍的差的值与x的取值无关，
∴3﹣3b＝0，a+2＝0，
∴b＝1，a＝﹣2，
﹣ab[a（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2a2bab）
＝﹣a2b﹣3ab﹣2ab2a2b﹣6ab2a2b+ab
＝﹣2ab﹣8ab2，
把b＝1，a＝﹣2代入得：
原式＝﹣2×（﹣2）×1﹣8×（﹣2）×12
＝4+16
＝20．
【解析】【分析】先求出A-3B，再求出 b＝1，a＝﹣2， 最后化简代数式，将a和b的值代入计算求解即可。
20．【答案】解：由题意得：（x+1）（x+3）（x+4）-x（x+1）（x+2）=（5x2+17x+12）cm3.
答： 长方体的体积增加了（5x2+17x+12）立方厘米.
【解析】【分析】根据长方体的体积等于长×宽×高可求出原长方体和新长方体的体积，然后用新长方体的体积减去原长方体的体积即可求解.
21．【答案】（1）解：令2x-3y=A，则1+2(2x-3y)+(2x-3y)2=1+2A+A2=(1+2x-3y)2.
（2）解：令A=a+b，则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
所以(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.
【解析】【分析】（1）根据题意，利用整体思想可令2x-3y=A， 运用完全平方公式进行因式分解即可求解；
（2）根据题意，利用整体思想令A=a+b，运用完全平方公式进行因式分解即可求解.
22．【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵，
∴
（3）解：∵长方形ABCD的边长分别为a，b，且四个正方形的周长之和为32， 四个正方形的面积之和为20，
∴
∴
∴长方形ABCD的面积为3.
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用含a和b的式子分别表示各部分的面积，进而即可求解；
（2）根据（1）中的式子，即可求解；
（3）根据题意得到进而利用完全平方公式得到即可求解.
23．【答案】（1）；1；1
（2）解：①，.；
②，
去分母，得：
解得：
经检验，符合题意．
故的值为4044；
（3）解：由，可设（为整数），即，
，
有以下几种情况：
①当时，，解得，不符合题意，舍；
②当时，，解得，不符合题意，舍；
③当时，，解得，不符合题意，舍；
④当时，，解得，不符合题意，舍；
⑤当时，，解得，不符合题意，舍；
⑥当时，，解得；
⑦当时，，无解；
综上所述，符合题意的的值为：.
【解析】【解答】解：（1）因为20=1×20=20×10=4×5，20-1>10-2>5-4，所以4×50是20的最佳分解，所以f(20)=；因为36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，所以6×6是36的最佳分解，所以f(36)=1；根据f(36)=1同理可以推出f(x2)=1；
故答案为：；1；1.
【分析】（1）根据题目规则将20；36进行分解，选出最佳分解即可得出答案
（2）①根据题意中最佳分解的定义，将原式进行推理，即可得出答案；②根据题意中最佳分解的定义将方程式进行求解即可得出答案。
（3）根据题意中最佳分解的定义，将原式化为 （为整数） ，代入，继续进行计算即可得出答案。
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