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第5章 分 式 （基础过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【解析】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故选：B．
2．在、、、、、中分式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：在、、、、、中分式有、、，共3个，
故选：B．
3．若表示的是一个最简分式，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，利用最简分式的定义对每个选项进行判断即可得出结论．
【解析】解：A、为时，，原式为最简分式，故选项符合题意；
B、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
C、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
D、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
故选：A．
4．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同分母分式的加减运算，根据同分母分式的加减：分母不变，分子相加减即可求出答案．
【解析】解：
，
故选：B．
5．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．
【解析】解：（吨）．
故选：D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查分式化简，关键是根据约分进行计算．根据分式进行计算判断即可．
【解析】解：、，正确；
、不能约分，错误；
、，错误；
、，错误；
故选：．
7．已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，根据“轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间”，列出方程，即可求解．
【解析】解：设轮船在静水中的速度为x千米／小时，列方程为：，
故选C．
8．若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程得：即，由题意可知，即可得到m．
【解析】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
∵分式方程有解，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．分式的最简公分母为 ．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
【解析】解：分式的最简公分母为．
故答案为：
10．当 时，分式无意义．
【答案】3
【分析】本题考查分式无意义的条件．当分式的分母为0时，分式无意义．
【解析】分式无意义
．
故答案为：3．
11．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约分化简即可．
【解析】解：；
故答案为：．
12．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
【答案】
【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案．
【解析】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率．
解：按原计划每天读页，实际每天读页，
故每天比原计划多读的页数是：，
故答案为：．
13．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的求值，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键，把整体代入分式，再计算即可．
【解析】解：∵，
∴
．
故答案为：
14．代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】20
【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键．
【解析】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
15．已知：，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先求出，再代入计算即可得．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
16．若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求代数式的值、分式的加减及解二元一次方程组，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．由，从而有，进而构造二元一次方程组求得m，n的值代入原式即可得解．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
（1）根据分式的加减法法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
18．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式的意义得出， ，将代入求解即可．
【解析】
∵， ，
∴ 当时，原式．
20．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
【答案】甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和
【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是，由甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天，列出方程，可求解．
【解析】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是，
则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是．
根据题意，得，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．此时．
故甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和．
21．小明同学化简的过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
． 第五步
(1)小明同学化简的第一步是______．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______．
(3)请你书写正确的化简过程及结果．
【答案】(1)因式分解
(2)三，去括号时，第二项没有变号；
(3)见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算：
（1）根据因式分解的定义，判断即可；
（2）第三步，去括号时，出现错误；
（3）通分后进行计算即可．
【解析】（1）解：小明同学化简的第一步是因式分解；
故答案为：因式分解；
（2）第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号；
故答案为：三；去括号时，第二项没有变号；
（3）原式
．
22．圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
【答案】见解析
【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键．
计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明．
【解析】解：
23．已知：，．
(1)当时，计算的值；
(2)当时，判断与的大小关系，并说明理由；
(3)设，若均为非零整数，求的值．
【答案】(1)的值为；
(2)，理由见解析；
(3)的值为或．
【分析】本题考查分式运算和比较大小， 正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
（1）将代入计算的值即可；
（2）先求差，再比较差与的大小关系；
（3）先表示，再求的整数值，进而可以解决问题．
【解析】（1）解：当时，
，
∴的值为．
（2）解：当时，理由如下：
∵
或
∴当 且时，，
当时，，
∴当时，．
（3）解：∵，，
∴，
∵均为非零整数，
时，则；
时，则；
时，则；
时，则；
综上所述：的值为或．
24．观察下面的变形规律：，解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ．
(2)计算： ．
(3)解关于n的分式方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键．
（1）根据已知的算式拆项计算得出即可；
（2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可；
（3）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）原式，
故答案为：；
（3）
经检验是原方程的解．
∴．
25．已知实数满足，求证：为定值．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查分式的运算，将变形为，再利用分式的基本性质即可证明．
【解析】证明：∵，
∴，
．
即为定值．
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整体难度：较易
细 目 表 分 析
题号 难度系数 详细知识点
一、选择题
1 0.94 分式有意义的条件；
2 0.94 分式的判断；
3 0.65 最简分式；
4 0.94 同分母分式加减法；
5 0.65 分式加减的实际应用；
6 0.85 约分；
7 0.94 列分式方程；
8 0.85 根据分式方程解的情况求值；
二、填空题
9 0.94 最简公分母；
10 0.94 分式无意义的条件；
11 0.94 约分；
12 0.85 分式加减的实际应用；
13 0.94 分式的求值；
14 0.85 解分式方程；
15 0.65 分式化简求值；
16 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；异分母分式加减法；加减消元法；
三、解答题
17 0.94 分式加减乘除混合运算；
18 0.94 解分式方程；
19 0.94 分式有意义的条件；分式加减乘除混合运算；分式化简求值；
20 0.85 分式方程的实际应用；
21 0.85 异分母分式加减法；
22 0.85 异分母分式加减法；
23 0.65 分式化简求值；分式加减混合运算；
24 0.65 数字类规律探索；解分式方程；
25 0.65 分式加减乘除混合运算；
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第5章 分 式 （基础过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．若代数式有意义，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2．在、、、、、中分式的个数有 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．若表示的是一个最简分式，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果为 （ ）
A．1 B． C． D．
5．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为 （ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．分式的最简公分母为 ．
10．当 时，分式无意义．
11．化简： ．
12．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页．
13．若，则的值是 ．
14．代数式与代数式的值相等，则 ．
15．已知：，则的值为 ．
16．若，则 ．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程
(1)
(2)
19．先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
20．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
21．小明同学化简的过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
． 第五步
(1)小明同学化简的第一步是______．（填“整式乘法”或“因式分解”）
(2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______．
(3)请你书写正确的化简过程及结果．
22．圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
23．已知：，．
(1)当时，计算的值；
(2)当时，判断与的大小关系，并说明理由；
(3)设，若均为非零整数，求的值．
24．观察下面的变形规律：，解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ．
(2)计算： ．
(3)解关于n的分式方程．
25．已知实数满足，求证：为定值．
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