【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第5章分式 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．-1或
2．已知则的值为（ ）
A．8 B． C．±2. D．±
3．已知分式 则A与B的关系是 （ ）
A．A=B B．A=-B C．A>B D．A4．若实数a，b，c，d满足号，则的值为（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-2 D．1或-1
5．（2023七下·合肥期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．月
C．且 D．且
6．若 则使 p的值最接近的正整数 n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．甲打字员原计划单独用若干小时完成文稿的电脑输入工作，2 h后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6h完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17 h B．14 h C．12 h D．10 h
8．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+(x>0)的最小值是2？其推导方法如下：在面积为1的长方形中，设长方形的一边长为x，则另一边长是，长方形的周长是2(x+)；当长方形成为正方形时，就有x=(x>0)，解得x=1，这时长方形的周长2(x+)=4最小，因此x+(x>0)的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子(x>0)的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．6 D．10
9．（2023七下·嘉兴期末）某工程队需要铺设一条长为2400米的公路，铺设时“...”，设原计划每天铺设米，可得方程，根据此情景，题中用“...”表示的缺失条件应补为（ ）
A．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
B．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果提前6天完成
C．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果延期6天完成
D．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
10．（【全效A本】浙教版数学七下5.3分式的乘除） 老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
二、填空题（每题4分，共24分）
11．若 ，则 的值为
12．（2022七下·温州期末）若方程的解为，则方程的解为 ．
13．（2022七下·乐清期末）一房屋设计图原房间窗户面积为3m2，地面面积为18m2，该住户要求把房间的窗户和地面都增加相同的整数面积（单位：m2）的方式加强采光效果，并使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，则增加的面积为 m2．
14．（2023七下·合肥期末）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
15．（初中数学浙教版七下精彩练习第五章分式质量评估试卷）某次列车平均提速 ，用相同的时间，列车提速前行驶 ，提速后比提速前多行驶 .设提速前列车的平均速度是 .根据题意分别列出下列四个方程：① ；② ；③ ；④ .则其中正确的方程有 .(填序号)
16．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.1分式 同步练习---提高篇）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ab≠0），其中第7个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·北仑期末）（1）计算：；
（1）先化简，再求值：，其中x从1，2，3中选一个你喜欢的值代入．
18．（初中数学浙教版七下精彩练习第五章分式质量评估试卷）
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
19．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+=2+的解为x1=2，x2=；
方程x+=3+的解为x1=3，x2=；
方程x+=4+的解为x1=4，x2=
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是 .
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是 .
（3）猜想关于x的方程x-=的解并验证你的结论
（4）在解方程y+=时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．
20．（2022七下·杭州期中）阅读材料：小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示.
例如：，.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）①，②，③，④中，是神奇对称式的有 （填序号）；
（2）已知.
①若，，则神奇对称式 ；
②若，且神奇对称式的值为，求的值.
21．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知信息如下：
信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；
信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等；
信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需多长时间？
22．（2024七下·赫山开学考）一项工程需要甲、乙两队完成，已知甲队单独完成需要48天，乙队单独完成需要60天．甲队先做12天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工作．
（1）甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？
（2）已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费7200元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？
23．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
22×23=25，23×24=27，22×26=28… 2m×2n=2m+n… am×an=am+n（m、n都是正整数）．
我们亦知：，，，…
（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．
24．（2022七下·乐清期末）在乐清某校的压花拓展课上，甲、乙两位同学每小时能共做7幅作品A，甲、乙同时开始制作，当甲做了28幅作品A时，乙做了21幅．
（1）求甲、乙每小时各做多少幅作品A．
（2）学校组织义拍资助西部贫困学生的活动，甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，并同时从13：00开始制作。（不考虑休息时间，每人做完一幅作品后才能做下一幅）．
①若甲完成的数量比乙完成的2倍少6幅，求在几时几分恰好全部完成．
②因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作，已知甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，请你结合方案评价表直接在表格中写出一种作品A，B的分配数量方案．
作品类型 作品A 作品B
分配给甲的数量
分配给乙的数
方案评价表
方案等级 完成时间 评分
合格 18：26~18：36 1分
良好 18：16~18：26 2分
优秀 18：16前 3分
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：
2a+1=a(x+1)，
解得：x=，
∵原方程有增根，
∴x+1=0，则=-1，
解得：a=.
故答案为：A.
【分析】由题意，去分母，将分式方程化为整式方程，解之，用含a的代数式把x表示出来，根据方程有增根可得x的值，于是可得关于a的方程，解方程可求解.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】由题意得到：进而根据完全平方公式得到即可求出，进而即可求解.
3．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，而，
∴A=-B.
故答案为：B.
【分析】根据异分母分式的减法法则计算出B的值，再与A的值进行比较即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：设，
∴a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，
∴a=bk=ck2=dk3=ak4，
∴k=1或-1，
当k=1时，a=b=c=d，
∴原式=，
当k=-1时，a=-b=c=-d，b=-a，d=-a，
∴原式=，
∴的值为1或-1.
故答案为：D
【分析】根据题意设，a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，从而得出k=1或-1，当k=1时，得出a=b=c=d，当k=-1时，a=-b=c=-d，b=-a，d=-a，分别代入原式进行计算，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得：m=2（x-1）-x，
解得：x=m+2，
∵分式方程的解为非负数，
∴x≥0且x≠1，
即m+2≥0且m+2≠1，
解得：m≥-2且m≠-1，
故答案为：A.
【分析】解分式方程得x=m+2，根据分式方程的解为非负数，可得x≥0且x≠1，即m+2≥0且m+2≠1，解出m的范围即可.
6．【答案】A
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：p=（-）+（-）+（-）+（-）+（-），
=（-+-+-+-+-），
=（-），
=.
当n=4时，p==；当n=5时，p==；当n=6时，p==；当n=7时，p==.
∵<<<<，
∴使p最接近的正整数n是4.
故答案为：A.
【分析】先通过分式的加减，把等号右侧的多项式化简，再把选项中的数分别代入，通过比较找出最接近的正整数.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲打字员原计划完成此项工作需要x小时，依题意列方程得：
×2+（+×1.5）（x-6-2）=1，
解得：x=12.
经检验：x=12是所列分式方程的解，
∴甲打字员原计划完成此项工作需要12小时.
故答案为：C.
【分析】此题是工程问题，根据工程问题的相等关系，甲第一次完成的工作总量+甲和乙合作完成的工作总量=总工作量.列出方程，解出方程，检验即可得到所求.
8．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
在面积为9的长方形中，设长方形的一边长为x，则另一边长是，
长方形的周长是2(x+)；
当长方形成为正方形时，就有x=(x>0)，
解得x=3，
这时长方形的周长2(x+)=12最小，
∴x+(x>0)的最小值是6，
即式子（x＞0）的最小值是6.
故答案为：C.
【分析】模仿题干提供的阅读材料给出的方法解答即可.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 设原计划每天铺设米，可得方程，
∴a+20表示实际每天铺设比原计划多铺设20米，
∴原计划铺设一条长为2400米的公路所用的时间比实际铺设一条长为2400米的公路的时间多6天，即
结果提前6天完成.
故答案为：A
【分析】根据所设的未知数，可知a+20表示实际每天铺设比原计划多铺设20米，根据方程可知原计划铺设一条长为2400米的公路所用的时间比实际铺设一条长为2400米的公路的时间多6天，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
【分析】将已知条件变形成代入到 中，逐步降低x的次数，最后同时除以公因式约分，即可求解.
12．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
【分析】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x=是方程的解，即得2y=，即可求得y的值.
13．【答案】5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设增加的面积为xm2（x为整数） ，根据题意得
解之：x=4.5，
∵ 使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，
∴x≈5.
故答案为：5.
【分析】设增加的面积为xm2（x为整数） ，再根据使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，可得到关于x的方程，解方程求出整数x的值.
14．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
即，
∴ ；
故答案为： .
【分析】用含有R、R2的式子表示出R1即可.
15．【答案】①③④
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：提速前列车平均速度是xkm/h，所以提速后列车平均速度是(x+v)km/h，
依题意得：① ；③ ；④ .
故其中正确的方程有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】提速前列车平均速度是xkm/h，可表示出提速后列车平均速度，抓住关键词：“相同的时间”，可得到 . 可对①；②③④作出判断；由此可得到正确的方程.
16．【答案】﹣ ；（﹣1）n
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1，
分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n，
分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n，
于是，第7个式子为﹣ ，第n个式子是（﹣1）n ．
故答案是：﹣ ，（﹣1）n ．
【分析】本题利用分式中分子和分母指数的关系，找规律. 由给出的a的指数1，2，3，容易知道第n个指数应为n. 由分子中b的指数2，5，8可知，第n个指数应为3n-1. 再看分式的符号，凡奇数个时都是负的，凡偶数个是都是正的，可以用表示.
17．【答案】（1）解：原式
，
选择1或3时，原分式无意义，
∴当时，原式．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）原式=-4+1+(1+3)=1；
【分析】（1）根据有理数的乘方法则、0次幂的运算性质以及同底数幂的除法法则可得原式=-4+1+(1+3)，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从1、2、3中选一个代入计算即可.
18．【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
19．【答案】（1）x1=5，x2=
（2）x1=a，x2=
（3）解：猜想， 关于x的方程x-=的解为： x1=2，x2=，
理由如下：将方程 x-=变形为，
依据阅读材料提供的方法可得：x1=2，x2=；
（4）解：将方程 y+= 变形为，
∴，
∴y+1=3或，
解得：y1=2，y2=.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：（1） 猜想关于x的方程x+=5+的解是 x1=5，x2=；
故答案为：x1=5，x2=；
（2） 猜想关于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=；
故答案为：x1=a，x2=；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可.
20．【答案】（1）①④
（2）解：①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴m＋n＝0（舍去）或m＋n＝ 4，
∴p的值为 4.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①交换m、n后为，故①是神奇对称式；
②交换m、n后为，故②不是神奇对称式；
③交换m、n后为，故③不是神奇对称式；
④交换x、y或交换y、z或交换x、z后都是xy＋yz＋xz，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）∵，
∴
∴m＋n＝p，mn＝q，
①∵p＝3，q＝2，
∴m＋n＝3，mn＝2，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据神奇对称式的定义分别判断即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则将已知等式的左边去括号并合并化简得x2-（m+n）x+mn，根据多项式及等式的性质可得m＋n＝p，mn＝q；①结合已知得m＋n＝3，mn＝2，从而将已知分式通分计算后整体代入即可求出答案；②结合已知易得 ， ，根据题干提供的方法得 ，将代入可得 ，从而求解即可得出m+n的值，得出答案.
21．【答案】解：设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由题意得
，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解；
∵ 丙的工作效率是甲的工作效率的2倍 ，
∴ 丙的工作效率是，
∵一轮的工作量为：，
四轮的工作量为：，
∴四轮后剩余的工作量为：，
∴剩余的工作量还需要甲乙各做1小时，丙还要做（小时），
∴共需要做的时间为3×4+1+1+（小时）.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由工作效率乘以工作时间=工作总量及甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等列出方程，求解并检验科求出甲乙独自完成需要的时间，进而根据题意可算出共需要的时间.
22．【答案】（1）解：设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，
由题意得，，
解得，
答：甲、乙两队合作还需要20天完成此项工作
（2）解：设乙队每天的劳务费为m元，则甲队每天的劳务费为元，
由题意得，，
解得（元），
答：甲队每天的劳务费为150元，乙队每天的劳务费为120元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设乙队每天的劳务费为m元，则甲队每天的劳务费为元，进而根据题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
23．【答案】（1）解：根据上面的材料可得：．
说明：∵﹣=﹣===，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴﹣＜0，
即：＜成立；
（2）解：∵原来糖水中糖的质量分数=，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+，
由（1）＜可得＜ ，
所以糖水更甜了．
【知识点】同底数幂的乘法；分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】（1）你根据上面的材料可得：
．
说明：∵﹣
=
﹣
=
=
=
，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴﹣
＜0，
即：
＜
成立；
（2）∵原来糖水中糖的质量分数=
，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+
，
由（1）
＜
可得
＜
，
所以糖水更甜了．
【分析】（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，
，
，
，
…故a＞b＞0，c＞0，则
；
（2）因为
，说明原来糖水中糖的质量分数
小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数
，所以糖水更甜了．
24．【答案】（1）解：设甲每小时做x幅，则乙每小时做(7-x)幅
由题意，得
解得x=4，
经检验x=4符合题意，
∴甲每小时做4幅，乙每小时3幅.
（2）解：①设乙完成作品A数量为a幅，则甲完成的数量为2a-6
由题意得，a+2a-6=30，
解得a=12，
∴甲完成用时： 小时，在17：30完成，
乙完成用时： 小时，在17：00完成，
∴在17：30能全部
②如表，
作品A 作品B 评分
分配给甲的数量 21、22 0 合格1分
20 1
21 2
20 3
30 4
17、19 5
18 6
15、17 8
14、16 9
21 1 良好2分
20 2
19 3
19 4
18 5
17 6
16、17 7
16 8
14、15 10
15 9 优秀3分
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：甲和乙每小时共做7幅；甲做28幅作品的时间和乙做21幅作品的时间相等；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）①设乙完成作品A数量为a幅，可表示出甲完成的数量；再根据甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，建立关于a的方程，解方程求出a的值；再分别求出甲和乙完成时的时间，即可求解；
②抓住已知条件，因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作；甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，由此可得到具体的分配方案.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第5章分式 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．-1或
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：
2a+1=a(x+1)，
解得：x=，
∵原方程有增根，
∴x+1=0，则=-1，
解得：a=.
故答案为：A.
【分析】由题意，去分母，将分式方程化为整式方程，解之，用含a的代数式把x表示出来，根据方程有增根可得x的值，于是可得关于a的方程，解方程可求解.
2．已知则的值为（ ）
A．8 B． C．±2. D．±
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】由题意得到：进而根据完全平方公式得到即可求出，进而即可求解.
3．已知分式 则A与B的关系是 （ ）
A．A=B B．A=-B C．A>B D．A【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，而，
∴A=-B.
故答案为：B.
【分析】根据异分母分式的减法法则计算出B的值，再与A的值进行比较即可得出答案.
4．若实数a，b，c，d满足号，则的值为（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-2 D．1或-1
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：设，
∴a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，
∴a=bk=ck2=dk3=ak4，
∴k=1或-1，
当k=1时，a=b=c=d，
∴原式=，
当k=-1时，a=-b=c=-d，b=-a，d=-a，
∴原式=，
∴的值为1或-1.
故答案为：D
【分析】根据题意设，a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，从而得出k=1或-1，当k=1时，得出a=b=c=d，当k=-1时，a=-b=c=-d，b=-a，d=-a，分别代入原式进行计算，即可得出答案.
5．（2023七下·合肥期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．月
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得：m=2（x-1）-x，
解得：x=m+2，
∵分式方程的解为非负数，
∴x≥0且x≠1，
即m+2≥0且m+2≠1，
解得：m≥-2且m≠-1，
故答案为：A.
【分析】解分式方程得x=m+2，根据分式方程的解为非负数，可得x≥0且x≠1，即m+2≥0且m+2≠1，解出m的范围即可.
6．若 则使 p的值最接近的正整数 n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：p=（-）+（-）+（-）+（-）+（-），
=（-+-+-+-+-），
=（-），
=.
当n=4时，p==；当n=5时，p==；当n=6时，p==；当n=7时，p==.
∵<<<<，
∴使p最接近的正整数n是4.
故答案为：A.
【分析】先通过分式的加减，把等号右侧的多项式化简，再把选项中的数分别代入，通过比较找出最接近的正整数.
7．甲打字员原计划单独用若干小时完成文稿的电脑输入工作，2 h后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6h完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17 h B．14 h C．12 h D．10 h
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲打字员原计划完成此项工作需要x小时，依题意列方程得：
×2+（+×1.5）（x-6-2）=1，
解得：x=12.
经检验：x=12是所列分式方程的解，
∴甲打字员原计划完成此项工作需要12小时.
故答案为：C.
【分析】此题是工程问题，根据工程问题的相等关系，甲第一次完成的工作总量+甲和乙合作完成的工作总量=总工作量.列出方程，解出方程，检验即可得到所求.
8．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+(x>0)的最小值是2？其推导方法如下：在面积为1的长方形中，设长方形的一边长为x，则另一边长是，长方形的周长是2(x+)；当长方形成为正方形时，就有x=(x>0)，解得x=1，这时长方形的周长2(x+)=4最小，因此x+(x>0)的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子(x>0)的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
在面积为9的长方形中，设长方形的一边长为x，则另一边长是，
长方形的周长是2(x+)；
当长方形成为正方形时，就有x=(x>0)，
解得x=3，
这时长方形的周长2(x+)=12最小，
∴x+(x>0)的最小值是6，
即式子（x＞0）的最小值是6.
故答案为：C.
【分析】模仿题干提供的阅读材料给出的方法解答即可.
9．（2023七下·嘉兴期末）某工程队需要铺设一条长为2400米的公路，铺设时“...”，设原计划每天铺设米，可得方程，根据此情景，题中用“...”表示的缺失条件应补为（ ）
A．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
B．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果提前6天完成
C．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果延期6天完成
D．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 设原计划每天铺设米，可得方程，
∴a+20表示实际每天铺设比原计划多铺设20米，
∴原计划铺设一条长为2400米的公路所用的时间比实际铺设一条长为2400米的公路的时间多6天，即
结果提前6天完成.
故答案为：A
【分析】根据所设的未知数，可知a+20表示实际每天铺设比原计划多铺设20米，根据方程可知原计划铺设一条长为2400米的公路所用的时间比实际铺设一条长为2400米的公路的时间多6天，即可求解.
10．（【全效A本】浙教版数学七下5.3分式的乘除） 老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．若 ，则 的值为
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
将 代入 中，
∴原式
故答案为： .
【分析】将已知条件变形成代入到 中，逐步降低x的次数，最后同时除以公因式约分，即可求解.
12．（2022七下·温州期末）若方程的解为，则方程的解为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
【分析】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x=是方程的解，即得2y=，即可求得y的值.
13．（2022七下·乐清期末）一房屋设计图原房间窗户面积为3m2，地面面积为18m2，该住户要求把房间的窗户和地面都增加相同的整数面积（单位：m2）的方式加强采光效果，并使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，则增加的面积为 m2．
【答案】5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设增加的面积为xm2（x为整数） ，根据题意得
解之：x=4.5，
∵ 使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，
∴x≈5.
故答案为：5.
【分析】设增加的面积为xm2（x为整数） ，再根据使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近 ，可得到关于x的方程，解方程求出整数x的值.
14．（2023七下·合肥期末）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
即，
∴ ；
故答案为： .
【分析】用含有R、R2的式子表示出R1即可.
15．（初中数学浙教版七下精彩练习第五章分式质量评估试卷）某次列车平均提速 ，用相同的时间，列车提速前行驶 ，提速后比提速前多行驶 .设提速前列车的平均速度是 .根据题意分别列出下列四个方程：① ；② ；③ ；④ .则其中正确的方程有 .(填序号)
【答案】①③④
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：提速前列车平均速度是xkm/h，所以提速后列车平均速度是(x+v)km/h，
依题意得：① ；③ ；④ .
故其中正确的方程有①③④.
故答案为：①③④.
【分析】提速前列车平均速度是xkm/h，可表示出提速后列车平均速度，抓住关键词：“相同的时间”，可得到 . 可对①；②③④作出判断；由此可得到正确的方程.
16．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.1分式 同步练习---提高篇）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ab≠0），其中第7个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）．
【答案】﹣ ；（﹣1）n
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1，
分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n，
分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n，
于是，第7个式子为﹣ ，第n个式子是（﹣1）n ．
故答案是：﹣ ，（﹣1）n ．
【分析】本题利用分式中分子和分母指数的关系，找规律. 由给出的a的指数1，2，3，容易知道第n个指数应为n. 由分子中b的指数2，5，8可知，第n个指数应为3n-1. 再看分式的符号，凡奇数个时都是负的，凡偶数个是都是正的，可以用表示.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·北仑期末）（1）计算：；
（1）先化简，再求值：，其中x从1，2，3中选一个你喜欢的值代入．
【答案】（1）解：原式
，
选择1或3时，原分式无意义，
∴当时，原式．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）原式=-4+1+(1+3)=1；
【分析】（1）根据有理数的乘方法则、0次幂的运算性质以及同底数幂的除法法则可得原式=-4+1+(1+3)，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从1、2、3中选一个代入计算即可.
18．（初中数学浙教版七下精彩练习第五章分式质量评估试卷）
（1）【探索】
①如果
，则
.
②如果
，则
.
（2）【总结】如果
(其中a，b，c为常数)，则m= .
（3）【应用】利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，求满足条件的整数 的值.
【答案】（1）1；-13
（2）b-ac
（3）解： .
因为x为整数且 为整数，
∴
∴ 或0
【知识点】分式的值；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①将已知等式整理，得
，
即3x＋4=3x+3+m，解得m=1.故答案为1.
②将已知等式整理，得
，
即5x-3=5x＋10＋m，
解得m=-13.
故答案为-13.
（2）将已知等式整理可得
∴ax+b=ax+ac+m
解之：m=b-ac.
【分析】（1）①将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值；②将方程右边通分可得到
，利用方程左右两边的分母相同，则分子相同，可得到关于x，m的方程，解方程求出m的值.
（2）将方程右边通分可得到
，由此可得到ax+b=ax+ac+m，解方程取出m的值.
（3）将代数式转化为
，再根据此代数式为整数，可知x-1=±1，然后解方程求出x的值.
19．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+=2+的解为x1=2，x2=；
方程x+=3+的解为x1=3，x2=；
方程x+=4+的解为x1=4，x2=
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是 .
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是 .
（3）猜想关于x的方程x-=的解并验证你的结论
（4）在解方程y+=时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】（1）x1=5，x2=
（2）x1=a，x2=
（3）解：猜想， 关于x的方程x-=的解为： x1=2，x2=，
理由如下：将方程 x-=变形为，
依据阅读材料提供的方法可得：x1=2，x2=；
（4）解：将方程 y+= 变形为，
∴，
∴y+1=3或，
解得：y1=2，y2=.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：（1） 猜想关于x的方程x+=5+的解是 x1=5，x2=；
故答案为：x1=5，x2=；
（2） 猜想关于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=；
故答案为：x1=a，x2=；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可.
20．（2022七下·杭州期中）阅读材料：小明发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像，等神奇对称式都可以用，表示.
例如：，.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）①，②，③，④中，是神奇对称式的有 （填序号）；
（2）已知.
①若，，则神奇对称式 ；
②若，且神奇对称式的值为，求的值.
【答案】（1）①④
（2）解：①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴m＋n＝0（舍去）或m＋n＝ 4，
∴p的值为 4.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①交换m、n后为，故①是神奇对称式；
②交换m、n后为，故②不是神奇对称式；
③交换m、n后为，故③不是神奇对称式；
④交换x、y或交换y、z或交换x、z后都是xy＋yz＋xz，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）∵，
∴
∴m＋n＝p，mn＝q，
①∵p＝3，q＝2，
∴m＋n＝3，mn＝2，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据神奇对称式的定义分别判断即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则将已知等式的左边去括号并合并化简得x2-（m+n）x+mn，根据多项式及等式的性质可得m＋n＝p，mn＝q；①结合已知得m＋n＝3，mn＝2，从而将已知分式通分计算后整体代入即可求出答案；②结合已知易得 ， ，根据题干提供的方法得 ，将代入可得 ，从而求解即可得出m+n的值，得出答案.
21．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知信息如下：
信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；
信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等；
信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需多长时间？
【答案】解：设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由题意得
，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解；
∵ 丙的工作效率是甲的工作效率的2倍 ，
∴ 丙的工作效率是，
∵一轮的工作量为：，
四轮的工作量为：，
∴四轮后剩余的工作量为：，
∴剩余的工作量还需要甲乙各做1小时，丙还要做（小时），
∴共需要做的时间为3×4+1+1+（小时）.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由工作效率乘以工作时间=工作总量及甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等列出方程，求解并检验科求出甲乙独自完成需要的时间，进而根据题意可算出共需要的时间.
22．（2024七下·赫山开学考）一项工程需要甲、乙两队完成，已知甲队单独完成需要48天，乙队单独完成需要60天．甲队先做12天，然后甲、乙两队合作完成剩下的工作．
（1）甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？
（2）已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费7200元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？
【答案】（1）解：设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，
由题意得，，
解得，
答：甲、乙两队合作还需要20天完成此项工作
（2）解：设乙队每天的劳务费为m元，则甲队每天的劳务费为元，
由题意得，，
解得（元），
答：甲队每天的劳务费为150元，乙队每天的劳务费为120元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两队合作还需要x天完成此项工作，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设乙队每天的劳务费为m元，则甲队每天的劳务费为元，进而根据题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
23．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
22×23=25，23×24=27，22×26=28… 2m×2n=2m+n… am×an=am+n（m、n都是正整数）．
我们亦知：，，，…
（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．
【答案】（1）解：根据上面的材料可得：．
说明：∵﹣=﹣===，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴﹣＜0，
即：＜成立；
（2）解：∵原来糖水中糖的质量分数=，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+，
由（1）＜可得＜ ，
所以糖水更甜了．
【知识点】同底数幂的乘法；分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】（1）你根据上面的材料可得：
．
说明：∵﹣
=
﹣
=
=
=
，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴﹣
＜0，
即：
＜
成立；
（2）∵原来糖水中糖的质量分数=
，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+
，
由（1）
＜
可得
＜
，
所以糖水更甜了．
【分析】（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，
，
，
，
…故a＞b＞0，c＞0，则
；
（2）因为
，说明原来糖水中糖的质量分数
小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数
，所以糖水更甜了．
24．（2022七下·乐清期末）在乐清某校的压花拓展课上，甲、乙两位同学每小时能共做7幅作品A，甲、乙同时开始制作，当甲做了28幅作品A时，乙做了21幅．
（1）求甲、乙每小时各做多少幅作品A．
（2）学校组织义拍资助西部贫困学生的活动，甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，并同时从13：00开始制作。（不考虑休息时间，每人做完一幅作品后才能做下一幅）．
①若甲完成的数量比乙完成的2倍少6幅，求在几时几分恰好全部完成．
②因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作，已知甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，请你结合方案评价表直接在表格中写出一种作品A，B的分配数量方案．
作品类型 作品A 作品B
分配给甲的数量
分配给乙的数
方案评价表
方案等级 完成时间 评分
合格 18：26~18：36 1分
良好 18：16~18：26 2分
优秀 18：16前 3分
【答案】（1）解：设甲每小时做x幅，则乙每小时做(7-x)幅
由题意，得
解得x=4，
经检验x=4符合题意，
∴甲每小时做4幅，乙每小时3幅.
（2）解：①设乙完成作品A数量为a幅，则甲完成的数量为2a-6
由题意得，a+2a-6=30，
解得a=12，
∴甲完成用时： 小时，在17：30完成，
乙完成用时： 小时，在17：00完成，
∴在17：30能全部
②如表，
作品A 作品B 评分
分配给甲的数量 21、22 0 合格1分
20 1
21 2
20 3
30 4
17、19 5
18 6
15、17 8
14、16 9
21 1 良好2分
20 2
19 3
19 4
18 5
17 6
16、17 7
16 8
14、15 10
15 9 优秀3分
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：甲和乙每小时共做7幅；甲做28幅作品的时间和乙做21幅作品的时间相等；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）①设乙完成作品A数量为a幅，可表示出甲完成的数量；再根据甲、乙两位同学计划共同完成30幅作品A参与义拍，建立关于a的方程，解方程求出a的值；再分别求出甲和乙完成时的时间，即可求解；
②抓住已知条件，因义拍实际需要，现增加10幅作品B分配给甲、乙两位同学，并要求尽早完成制作；甲、乙每小时分别能做6幅和4幅作品B，由此可得到具体的分配方案.
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