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分课时教学设计
《5.5.1 分式方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是《分式方程》第一课时，本节课在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。通过经历实际问题一列分式方程一探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。
学习者分析 在学习本节课之前，学生已经学习了分式及分式的运算，前面又学习了一元一次方程，在此基础上学习分式方程。由于学生观察能力稍显薄弱，理解能力不是很强，对于分式方程的概念得出有一定困难，教师应加强引导。
教学目标 1.理解分式方程的意义。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。 3.了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验根方法。
教学重点 1.理解分式方程的意义。 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
教学难点 了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验根方法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 教师出示问题： 分式的乘除法法则是什么？ 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的加减法法则是什么？ 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减. 异分母的分式相加减，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算. 某地电信公司调低了长途电话的话费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分钟. 问前后两种收费标准每分钟收费各是多少 (1)主要等量关系是什么 新收费标准通话时间-原收费标准的通话时间=5分钟 (2)如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程 学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生思考课本实际问题，并根据教师提示列出方程。活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究分式方程的定义教师活动2： 这个方程与我们已学过的一元一次方程有什么不同？ 像这样只含分式，或只含分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 做一做： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ （1）（4）是整式方程 （2）（3）是分式方程 【总结归纳】 (1)分式方程的两个特征是： ①方程中含有分式； ②分母中含有未知数. (2)判定分式方程的关键是看分母中是否含有未知数，若有，是分式方程，否则不是.学生活动2： 学生观察方程，总结出分式方程的定义。 学生根据分式方程的定义做出判断。 师生共同总结分式方程的两个特征。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：探究怎样解分式方程教师活动3： 例1 解分式方程: 类比解一元一次方程的去分母，我们可以将分式方程中的分母去掉，就可以转化成整式方程来解. 想一想：怎样去分母？ 方程的两边同乘7(2x-3)，就可以把分式方程转化为一元一次方程来解. 解：方程的两边同乘7（2x-3），得7（x+3）=2（2x-3）． 去括号，得7x+21＝4x－6. 移项，合并同类项，得3x＝－27. 解得x＝－9. 把x＝－9代入原方程检验： 左边= =右边. 所以x＝－9是原方程的根. 解分式方程的基本思路是：分式方程去分母转化成整式方程. 解分式方程的基本步骤是： (1)去分母：在分式方程的两边都乘各分母的公分母，把分式方程化为一元一次方程. (2)解这个一元一次方程. (3)验根，并写出结论. 例2 解方程: 解：方程的两边同乘（x－3）， 得2-x=-1-2（x-3）． 化简，得x=3． 把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解． 【总结归纳】 在解分式方程验根这一步骤中，把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看公分母的值是否为零，使公分母为零的根叫作增根（如例2中的x=3，增根使分式方程无意义，应该舍去）；使公分母不等于0的未知数的值就是原分式方程的根.学生活动3： 学生完成课本例题，总结怎样解分式方程，了解解分式方程需要注意什么。 师生共同总结解分式方程的基本步骤。 学生根据基本步骤解方程。 学生在教师的引导下总结解方程时应注意几个问题。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：解分式方程的基本步骤 一、分式方程概念 二、解分式方程
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列关于 x 的方程①＝5 ，②＝ ，③＝x－1 ，④＝ (a，b为常数，且a≠0，b≠1)中，是分式方程的有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列方程不属于分式方程的是( C ) A．＋＝2 B．＝ C．＋1＝ D．＋x＝ 3.－＝1，去分母得( D ) A．x(x＋3)－3(x－2)＝1 B．x(x＋3)＋3(x－2)＝1 C．x(x＋3)－3＝(x－2)(x＋3) D．x(x＋3)－3(x－2)＝(x－2)(x＋3) 4.解方程：(1)＋＝4； (2)－＝． 解：(1)方程两边同乘(x－1)， 得x－2＝4(x－1)， 化简，得3x＝2，解得x＝. 经检验，x＝是原方程的根． (2)解：方程两边同乘(x2－4)， 得(x－2)2－16＝(x＋2)2， 化简，得8x＝－16，解得x＝－2. 经检验，x＝－2是原方程的增根． 所以原方程无解． 选做题： 5.方程＝1－的解是( B ) A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝4 D．x＝3 6.关于方程＋＝的根的情况，说法正确的是( C ) A．x＝0是它的增根 B．x＝－1是它的增根 C．原分式方程无解 D．x＝1是它的根 【综合拓展类作业】 7.已知关于x的分式方程＋＝，若方程的增根为x＝1，求m的值． 解：方程两边同乘(x＋2)(x－1)，得2(x＋2)＋mx＝x－1， 整理，得(m＋1)x＝－5. ∵x＝1是分式方程的增根， ∴m＋1＝－5，解得m＝－6.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列方程中是分式方程的是( C ) A．－2x＝1 B．2x2＝x－3 C．＝2 D．＝2 2.将关于x的分式方程＝去分母可得( A ) A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x C．3x－1＝x D．3x－3＝x 选做题 3.关于x的分式方程＋＝3有增根，则m＝__-1___． 4.已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是( B ) A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0 【综合拓展类作业】 5.小丁和小迪分别解方程－＝1过程如下： 小丁： 解：去分母，得x-(x-3)＝x－2， 去括号，得x－x＋3＝x－2， 合并同类项，得3＝x－2， 解得x＝5， ∴原方程的解是x＝5.小迪： 解：去分母，得x－(x－3)＝1， 去括号，得x＋x－3＝1， 合并同类项，得2x－3＝1， 解得x＝2， 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程． 【解】小丁和小迪的解法都错误． 去分母，得x＋(x－3)＝x－2， 去括号，得x＋x－3＝x－2，解得x＝1， 经检验：x＝1是原方程的解．
教学反思 整个教学活动，从学生的实际出发，引导学生通过探索、交流等手段，获得知识，形成技能，发展思维。在教学活动中，我积极地充当教学活动的组织者、引导者、合作者。让学生产生一种渴望学习的冲动，自愿地全身心地投入学习过程，自主学习、自悟学习、自得学习，让学生在言词实践活动中真正“动”起来。
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5.5.1 分式方程
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解分式方程的意义。
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
3.了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验根方法。
复习回顾
分式的乘除法法则是什么？
分式的加减法法则是什么？
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减.
异分母的分式相加减，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算.
新知讲解
某地电信公司调低了长途电话的话费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分钟. 问前后两种收费标准每分钟收费各是多少
新收费标准通话时间-原收费标准的通话时间=5分钟
(1)主要等量关系是什么
(2)如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程
新知讲解
这些该方程与我们已学过的一元一次方程有什么不同？
像这样只含分式，或只含分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
新知讲解
做一做： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
分式方程
整式方程
新知讲解
【总结归纳】
(1)分式方程的两个特征是：
①方程中含有分式；
②分母中含有未知数.
(2)判定分式方程的关键是看分母中是否含有未知数，若有，是分式方程，否则不是.
新知讲解
例1 解分式方程:
类比解一元一次方程的去分母，我们可以将分式方程中的分母去掉，就可以转化成整式方程来解.
想一想：怎样去分母？
方程的两边同乘7(2x-3)，就可以把分式方程转化为一元一次方程来解.
新知讲解
解：方程的两边同乘7（2x-3），得7（x+3）=2（2x-3）．
去括号，得7x+21＝4x－6.
移项，合并同类项，得3x＝－27.
解得x＝－9.
把x＝－9代入原方程检验：左边= =右边.
所以x＝－9是原方程的根.
例1 解分式方程:
新知讲解
解分式方程的基本思路是：分式方程去分母转化成整式方程.
解分式方程的基本步骤是：
(1)去分母：在分式方程的两边都乘各分母的公分母，把分式方程化为一元一次方程.
(2)解这个一元一次方程.
(3)验根，并写出结论.
新知讲解
解：方程的两边同乘（x－3），
得2-x=-1-2（x-3）．
化简，得x=3．
把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解．
例2 解方程:
新知讲解
【总结归纳】
在解分式方程验根这一步骤中，把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看公分母的值是否为零，使公分母为零的根叫作增根（如例2中的x=3，增根使分式方程无意义，应该舍去）；使公分母不等于0的未知数的值就是原分式方程的根.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
A
课堂练习
C
课堂练习
D
课堂练习
解：方程两边同乘(x2－4)，
得(x－2)2－16＝(x＋2)2，
化简，得8x＝－16，解得x＝－2.
经检验，x＝－2是原方程的增根．
所以原方程无解．
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
B
课堂练习
C
课堂练习
【综合实践类作业】
解：方程两边同乘(x＋2)(x－1)，得2(x＋2)＋mx＝x－1，
整理，得(m＋1)x＝－5.
∵x＝1是分式方程的增根，
∴m＋1＝－5，解得m＝－6.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.解分式方程的基本思路是：分式方程去分母转化成整式方程.
2.解分式方程的基本步骤是：
(1)去分母：在分式方程的两边都乘各分母的公分母，把分式方程化为一元一次方程.
(2)解这个一元一次方程.
(3)验根，并写出结论.
板书设计
课题：5.5.1 分式方程
教师板演区
学生展示区
一、分式方程概念
二、解分式方程
作业布置
【知识技能类作业】必做题
C
作业布置
A
作业布置
选做题：
-1
作业布置
选做题：
B
作业布置
【综合实践类作业】
小丁： 解：去分母，得x-(x-3)＝x－2， 去括号，得x－x＋3＝x－2， 合并同类项，得3＝x－2， 解得x＝5， ∴原方程的解是x＝5. 小迪：
解：去分母，得x－(x－3)＝1，
去括号，得x＋x－3＝1，
合并同类项，得2x－3＝1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解.
作业布置
【综合实践类作业】
5.你认为小丁和小迪的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程．
【解】小丁和小迪的解法都错误．
去分母，得x＋(x－3)＝x－2，
去括号，得x＋x－3＝x－2，解得x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解．
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，知道分式的分母不能为零；2.了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分；3.能利用分式的基本性质进行通分；4.能进行简单的分式加、减、乘、除运算；5.了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，能根据方程及具体问题的实际意义，检验结果是否合理；6.会综合运用分式的知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章内容主要是分式及其有关运算、分式方程。它们都属于《全日制义务教育数学课程标准》中的数与代数领域。分式是不同于整式的一类有理式，是代数式中的重要概念;解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而分式和分式方程更适合作为一些实际问题的数学模型，分式和分式方程具有整式和整式方程不可替代的特殊作用。另外，从数学学科本身来看，方程是代数的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。
学情分析 学生已经学习了分数的概念、基本性质、运算法则、正整数指数幂概念及其性质、有理数混合运算法则、一元一次方程的解法。从年龄特点上说，虽然七年级下学期学生在阅读理解能力、分析解决实际问题的能力方面比上学期有了很大的提高，但因分式方程具有一定的难度，学生学习起来并不容易再加上学生之间存在个体差异。在教学时一定要紧密联系实际，贴近生活，培养学生分析归纳实际问题中数量关系的能力。
单元目标 （一）教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式。2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念。3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算。4.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想。5.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型。（二）教学重点、难点重点：使学生掌握分式的基本概念、基本性质、基本运算、分式方程的基本解法以及利用分式方程解决实际问题。难点：1.熟练地运用基本性质进行分式变形。2.在通分时正确地找出最简公分母。3.利用分式方程解决实际问题时正确地找出等量关系，建立数学模型。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1分式15.2分式的基本性质25.3分式的乘除15.4分式的加减15.5分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务分式1.理解分式的概念及分式有无意义的条件；2.会用分式表示简单实际问题中的数量关系．会判断一个式子是否是分式，并能求出分式有无意义时自变量的取值范围。在经验过程中主动探索，让学生发现分式的概念，并能确定分式有无意义的条件。分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，会将分式进行恒等变形。2.经历类比分数基本性质，探索分式基本性质的过程，体会字母表示数的意义，发展符号感。使学生理解并掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。通过与分数的类比，导出分式的基本性质，培养自己类比转化的思维能力，渗透事物是联系及变化发展的辩证关系.1.使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；2.通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法。让学生掌握分式约分的方法，理解分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化。类比分数的约分，使学生会进行分式的约分，明确找出分子和分母的公因式是约分的第一步，同时公因式应找全，约分应彻底。分式的乘除1.掌握分式乘除法的运算法则.2.会进行分式乘除法的运算.3.进一步掌握分式的基本性质,并能用它化简分式或进行分式变形.学生类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则.在分式乘除法的运算过程中,体会因式分解在分式乘除法中的作用.会利用分式的乘除法法则计算，进一步运用类比的数学思想去观察、分析问题。分式的加减1.知道分式加、减法则，能进行分式加减运算.2.掌握通分的方法，能比较熟练地进行通分。能准确找出不同分母的分式的最简公分母，会通分，能进行同分母的分式加减法及简单的异分母的分式加减法运算。通过计算掌握分式的加减法法则。分式方程了解分式方程定义，会解分式方程，掌握解分式方程验根的方法，理解分式方程可能产生增根的原因。掌握什么是分式方程？怎样解分式方程？解分式方程体现了怎样的数学思想？引导学生积极思考，先由学生自己探索，然后参与交流讨论，逐步解决问题。能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,列出分式方程解决简单的实际问题,并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.了解分式方程解决实际问题的步骤，会列分式方程解答实际问题。学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识。
《分式》单元教学设计
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