(共30张PPT)
5.5.2 用分式方程解决实际问题
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
2.用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识.
复习回顾
1.什么是分式方程？
只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2.解分式方程的基本思路是什么？
方程两边同乘最简公分母，通过“去分母”将分式方程化为整式方程．
复习回顾
3.什么是分式方程的增根？
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解使原分式方程的分母为零的根叫做增根．
把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母中，看分母的值是否为零，如果不为零则是原方程的解，否则是增根．
4.解分式方程后怎样检验？
新知讲解
列方程应用题的步骤是什么？
(1)审
(2)设
(3)列
(4)解
(5)验
(6)答．
理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系
设出未知数
根据题中的等量关系列出方程
解所列出的方程，求出未知数的值
检验所列方程的解是否正确，且符合题意
写出问题的答案
新知讲解
科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14 亿多人的粮食安全得到有效保障. 某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获 16.8 吨，普通水稻收获 13.2 吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获 3 吨. 问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？
【思考】
本题等量关系是什么？怎么设元？
根据等量关系你能列出方程吗？
新知讲解
解：设试验田中巨型稻每公顷产量x吨，则普通水稻每公顷产量为(x-3)吨
由题意，得
解这个方程，得x=14
经检验，x=14是所列方程的根，且符合题意.
14-3=11（吨）
答：试验田中巨型稻每公顷产量是14吨，普通水稻每公顷产量为11吨.
新知讲解
【拓展提高】
(1)利用分式方程解应用题时，要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系.
(2)要注意选择适当的未知数，并不是题目最后问什么就一定要设什么作为未知数，要根据题目的具体情况而定.
(3)用分式方程解应用题时，必须进行检验.
这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意.
新知讲解
【例4】照相机成像应用了一个重要原理，即 ，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，如果焦距f=35mm的相机，拍摄离镜头的距离u=2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离v大约是多少(精确到0.1mm)？
新知讲解
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
C
课堂练习
C
课堂练习
3.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓，一部分人骑自行车先行，经0.5时后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度.
解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为3x千米/时
解得：x=16，经检验： x=16是原方程的根；
3×16=48（千米/时）
答：自行车速度是16千米/时，汽车速度是48千米/时.
课堂练习
4.某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线．甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的2倍，两生产线各加工6 000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用5天．求甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数.
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.某人连续两天去超市买苹果，第一天与第二天同样花90元钱，但第一天比第二天多买2.5千克，已知第二天的价格比第一天提高20%，则第一天苹果的价格是( )
A．4元/千克 B．5元/千克
C．6元/千克 D．7元/千克
C
课堂练习
6.为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格如下表所示：求m的值．
污水处理设备 A型号 B型号
价格(万元/台) m m－3
课堂练习
课堂练习
【综合实践类作业】
7.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1 500元购进的篮球个数与用900元购进的足球个数相等．
(1)篮球与足球的单价各是多少元？
课堂练习
【综合实践类作业】
(2)该校打算用1 000元购进篮球和足球，问：恰好用完1 000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根.
列分式方程解应用题的步骤：
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)验；(6)答．
板书设计
课题：5.5.2 用分式方程解决实际问题
教师板演区
学生展示区
一、用分式方程解决实际问题步骤
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨货物，则所列方程正确的是( )
B
作业布置
2.某单位计划采购包装盒，有A，B两种产品可供选择，已知A产品的单价比B产品的单价少10元，且用1 400元买到A产品数量与用1 600元买到B产品数量一样多，A，B两种产品单价各是多少元？
作业布置
选做题：
D
作业布置
选做题：
4.3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
3
作业布置
【综合实践类作业】
5.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，则购买两种食品各多少份？
解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170－x)份，
由题意得15x＋20×(170－x)＝3 000，
解得x＝80，∴170－x＝90.
答：购买杂酱面80份，购买牛肉面90份．
作业布置
【综合实践类作业】
5.(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，则购买牛肉面多少份？
谢谢
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分课时教学设计
《5.5.2 用分式方程解决实际问题》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是列分式方程解应用题，重点是建立分式方程应用题的思维模型，会根据题中的条件找出等量关系，同时列出分式方程，并解答。注重从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对应用题进行了详细的讲解，使学生对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识，同时也对书写的过程有准确的概念.
学习者分析 学生已经学习了分式的混合运算，会解简单的分式方程，初步具备了应用分式方程解决实际问题的经验，但学生缺乏分析较复杂实际问题中数量关系的经验，另外七年级学生的数学抽象思维能力不足。基于以上分析，本节的难点为从复杂的实际背景中提取数学信息，抽象数学本质，转化数学语言。
教学目标 1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识.
教学重点 使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力.
教学难点 用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 教师出示问题： 1.什么是分式方程？ 只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程的基本思路是什么？ 方程两边同乘最简公分母，通过“去分母”将分式方程化为整式方程． 3.什么是分式方程的增根？ 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解使原分式方程的分母为零的根叫做增根． 4.解分式方程后怎样检验？ 把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母中，看分母的值是否为零，如果不为零则是原方程的解，否则是增根．学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究用分式方程解决实际问题的步骤教师活动2： 列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系. (2)设：设出未知数. (3)列：根据题中的等量关系列出方程. (4)解：解所列出的方程，求出未知数的值. (5)验：检验所列方程的解是否正确，且符合题意. (6)答：写出问题的答案. 教师出示问题： 科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14 亿多人的粮食安全得到有效保障. 某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获 16.8 吨，普通水稻收获 13.2 吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获 3 吨. 问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？ 【思考】 本题等量关系是什么？怎么设元？ 根据等量关系你能列出方程吗？ 解：设试验田中巨型稻每公顷产量x吨，则普通水稻每公顷产量为(x-3)吨 由题意，得 解这个方程，得x=14 经检验，x=14是所列方程的根，且符合题意. 14-3=11（吨） 答：试验田中巨型稻每公顷产量是14吨，普通水稻每公顷产量为11吨. 【拓展提高】 (1)利用分式方程解应用题时，要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系. (2)要注意选择适当的未知数，并不是题目最后问什么就一定要设什么作为未知数，要根据题目的具体情况而定. (3)用分式方程解应用题时，必须进行检验. 这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意.学生活动2： 学生回答教师提出的问题。 学生根据教师引导列出方程，并解出这个方程。 师生共同总结用分式方程解决实际问题需要注意的问题。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：解决课本“例4”教师活动3： 【例4】照相机成像应用了一个重要原理，即，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，如果用焦距f=35mm的相机，拍摄离镜头的距离u=2m的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离v大约是多少(精确到0.1mm)？ 学生活动3： 学生完成课本例题。 学生根据教师分析，列出分式方程，并解出这个方程。 活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：5.5.2 用分式方程解决实际问题 一、用分式方程解决实际问题步骤 二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某商店销售一批服装，每件售价为175元，可获得40%，求这种服装的进价，设这种服装的进价为x元，则可得到的方程为( C ) A．x＝175×40% B．40%x＝175 C. ＝40% D．175(1－40%)＝x 2.某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意得方程( C ) A． ＝ －3 B． ＝ －3 C． ＝ －3 D． ＝ －3 3.某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓，一部分人骑自行车先行，经0.5时后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度. 解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为3x千米/时 解得：x=16，经检验： x=16是原方程的根； 3×16=48（千米/时） 答：自行车速度是16千米/时，汽车速度是48千米/时. 4.某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线．甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的2倍，两生产线各加工6 000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用5天．求甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数. 解：设乙生产线每天生产x箱口罩，则甲生产线每天生产2x箱口罩， 解得x＝600，经检验，x＝600是所列分式方程的根，且符合题意， ∴2x＝1 200.600＋1 200＝1 800(箱)， 即甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为1 800. 选做题： 5.某人连续两天去超市买苹果，第一天与第二天同样花90元钱，但第一天比第二天多买2．5千克，已知第二天的价格比第一天提高20%，则第一天苹果的价格是( C ) A．4元/千克 B．5元/千克 C．6元/千克 D．7元/千克 6.为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格如下表所示：求m的值． 污水处理设备A型号B型号价格(万元/台)mm－3
解：根据用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同， 可得＝， 解得m＝18，经检验，m＝18是所列方程的根，即m＝18. 【综合拓展类作业】 7.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1 500元购进的篮球个数与用900元购进的足球个数相等． (1)篮球与足球的单价各是多少元？ 解：设足球单价为x元，则篮球单价为(x＋40)元，依题意得：＝， 解得x＝60，经检验，x＝60是所列方程的根，则x＋40＝100， ∴篮球和足球的单价分别是100元，60元． (2)该校打算用1 000元购进篮球和足球，问：恰好用完1 000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？ 解：设恰好用完1 000元，可购买篮球m个和购买足球n个，依题意得100m＋60n＝1 000，整理得m＝10－n， ∵m，n都是正整数，∴①n＝5时，m＝7，②n＝10时，m＝4，③n＝15时，m＝1，∴有三种方案：①购买篮球7个，足球5个；②购买篮球4个，足球10个；③购买篮球1个，足球15个．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨货物，则所列方程正确的是( B ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2.某单位计划采购包装盒，有A，B两种产品可供选择，已知A产品的单价比B产品的单价少10元，且用1 400元买到A产品数量与用1 600元买到B产品数量一样多，A，B两种产品单价各是多少元？ 解：设A产品单价是x元，则B产品单价是(x＋10)元， 根据题意，得＝. 解得x＝70. 经检验：x＝70是所列方程的根，且符合题意． 所以x＋10＝80. 所以A产品单价是70元，B产品单价是80元． 选做题 3.某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝－30，则方程中x表示( D ) A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 4.3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有___3_____人． 【综合拓展类作业】 5.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，则购买两种食品各多少份？ 解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170－x)份， 由题意得15x＋20×(170－x)＝3 000， 解得x＝80，∴170－x＝90. 答：购买杂酱面80份，购买牛肉面90份． (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，则购买牛肉面多少份？ 解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份， 由题意得＋6＝，解得a＝60，经检验，a＝60是分式方程的根，且符合题意． 答：购买牛肉面60份．
教学反思 本节课整堂精心铺垫，结合具体的数学内容采用“问题情境—建立数学模型—解释应用与拓展”的模式展开，选择生动有趣的、有现实意义的，对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，能够自觉地用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，知道分式的分母不能为零；2.了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分；3.能利用分式的基本性质进行通分；4.能进行简单的分式加、减、乘、除运算；5.了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，能根据方程及具体问题的实际意义，检验结果是否合理；6.会综合运用分式的知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章内容主要是分式及其有关运算、分式方程。它们都属于《全日制义务教育数学课程标准》中的数与代数领域。分式是不同于整式的一类有理式，是代数式中的重要概念;解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而分式和分式方程更适合作为一些实际问题的数学模型，分式和分式方程具有整式和整式方程不可替代的特殊作用。另外，从数学学科本身来看，方程是代数的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展。
学情分析 学生已经学习了分数的概念、基本性质、运算法则、正整数指数幂概念及其性质、有理数混合运算法则、一元一次方程的解法。从年龄特点上说，虽然七年级下学期学生在阅读理解能力、分析解决实际问题的能力方面比上学期有了很大的提高，但因分式方程具有一定的难度，学生学习起来并不容易再加上学生之间存在个体差异。在教学时一定要紧密联系实际，贴近生活，培养学生分析归纳实际问题中数量关系的能力。
单元目标 （一）教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式。2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念。3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算。4.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想。5.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型。（二）教学重点、难点重点：使学生掌握分式的基本概念、基本性质、基本运算、分式方程的基本解法以及利用分式方程解决实际问题。难点：1.熟练地运用基本性质进行分式变形。2.在通分时正确地找出最简公分母。3.利用分式方程解决实际问题时正确地找出等量关系，建立数学模型。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1分式15.2分式的基本性质25.3分式的乘除15.4分式的加减15.5分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务分式1.理解分式的概念及分式有无意义的条件；2.会用分式表示简单实际问题中的数量关系．会判断一个式子是否是分式，并能求出分式有无意义时自变量的取值范围。在经验过程中主动探索，让学生发现分式的概念，并能确定分式有无意义的条件。分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，会将分式进行恒等变形。2.经历类比分数基本性质，探索分式基本性质的过程，体会字母表示数的意义，发展符号感。使学生理解并掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。通过与分数的类比，导出分式的基本性质，培养自己类比转化的思维能力，渗透事物是联系及变化发展的辩证关系.1.使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；2.通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法。让学生掌握分式约分的方法，理解分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化。类比分数的约分，使学生会进行分式的约分，明确找出分子和分母的公因式是约分的第一步，同时公因式应找全，约分应彻底。分式的乘除1.掌握分式乘除法的运算法则.2.会进行分式乘除法的运算.3.进一步掌握分式的基本性质,并能用它化简分式或进行分式变形.学生类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则.在分式乘除法的运算过程中,体会因式分解在分式乘除法中的作用.会利用分式的乘除法法则计算，进一步运用类比的数学思想去观察、分析问题。分式的加减1.知道分式加、减法则，能进行分式加减运算.2.掌握通分的方法，能比较熟练地进行通分。能准确找出不同分母的分式的最简公分母，会通分，能进行同分母的分式加减法及简单的异分母的分式加减法运算。通过计算掌握分式的加减法法则。分式方程了解分式方程定义，会解分式方程，掌握解分式方程验根的方法，理解分式方程可能产生增根的原因。掌握什么是分式方程？怎样解分式方程？解分式方程体现了怎样的数学思想？引导学生积极思考，先由学生自己探索，然后参与交流讨论，逐步解决问题。能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,列出分式方程解决简单的实际问题,并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.了解分式方程解决实际问题的步骤，会列分式方程解答实际问题。学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识。
《分式》单元教学设计
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