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专题5.2 分式方程的解法（两大类型）
【题型1 解分式方程】
【题型2 分式方程有增根问题】
【题型1 解分式方程】
（2023秋 钢城区期末）解方程：．
（2023秋 房山区期末）解方程：﹣＝．
3．（2023秋 五莲县期末）解下列方程：
（1）； （2）+1．
（2022秋 同心县校级期末）解分式方程：﹣＝1．
（2023秋 常德期末）解方程：+＝1．
（2023秋 新田县期末）解分式方程：．
（2023秋 霍林郭勒市校级期末）解方程：+1＝．
（2023秋 纳溪区期末）解方程：+＝．
（2023秋 庆阳期末）解分式方程：．
10．（2023秋 盐山县期末）解下列分式方程：
（1）； （2）．
11．（2023秋 陇县期末）解方程
（1）； （2）．
12．（2023秋 淄川区期末）解方程：
（1）； （2）．
13．（2023秋 扶沟县期末）解分式方程：
（1）． （2）．
（2023秋 凉州区校级期末）解方程：．
15．（2023秋 重庆期末）解下列方程：
（1）； （2）﹣1．
【题型2 分式方程有增根问题】
16．（2023秋 永兴县期中）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
17．（2023春 新民市期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
18．（2023春 濉溪县校级月考）已知关于x的方程．
（1）当k＝1时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
19．（2023春 灌云县期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程无解，求a的值．
20．（2023春 洛江区校级月考）关于x的分式方程﹣＝1．
（1）若方程的增根为x＝3，求a的值；
（2）若方程无解，求a的值．
21．（2023春 邗江区月考）已知关于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
22．（2023春 宜宾月考）已知关于x的方程．
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
23．（2023春 和平区校级期中）关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值．
24．（2022秋 赫山区校级月考）已知关于x的分式方程﹣＝1
（1）若方程的增根为x＝2，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值．
（2022秋 巨野县期中）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．
（2022秋 永定区期中）若关于x的分式方程＝5有增根，求m的值．
（2022秋 临武县校级月考）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，求a的值．
28．（2023 雁塔区校级开学）关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
29．（2023春 江都区期中）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
30．（2022秋 阳谷县期末）关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.2 分式方程的解法（两大类型）
【题型1 解分式方程】
【题型2 分式方程有增根问题】
【题型1 解分式方程】
1．（2023秋 钢城区期末）解方程：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：12﹣2（x+3）＝x﹣3，
去括号得：12﹣2x﹣6＝x﹣3，
移项合并得：3x＝9，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解．
2．（2023秋 房山区期末）解方程：﹣＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2x﹣3﹣（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
3．（2023秋 五莲县期末）解下列方程：
（1）；
（2）+1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程两边乘x2﹣4，
得x（x+2）﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，
故原方程无解；
（2）原方程去分母得：x（x﹣1）＝x+1+x（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝﹣．
4．（2022秋 同心县校级期末）解分式方程：﹣＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：﹣＝1
（x+1）2﹣4＝x2﹣1
x2+2x+1﹣4＝x2﹣1
x＝1，
检验：把x＝1代入x2﹣1＝1﹣1＝0，
∴x＝1不是原方程的根，原方程无解．
5．（2023秋 常德期末）解方程：+＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边乘 （x﹣3）（x+3），
得 x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，
解得：x＝1，
检验：当 x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝1．
6．（2023秋 新田县期末）解分式方程：．
【答案】x＝．
【解答】解：去分母得：2x＝3﹣（x﹣2），
去括号得：2x＝3﹣x+2，
移项得：2x+x＝3+2，
合并同类项得：3x＝5，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
7．（2023秋 霍林郭勒市校级期末）解方程：+1＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），
整理得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
8．（2023秋 纳溪区期末）解方程：+＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得 2（x+1）+（x﹣1）＝7，
去括号，得 2x+2+x﹣1＝7，
移项，合并，得 3x＝6，
系数化1，得 x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根，
所以原方程的解为x＝2．
9．（2023秋 庆阳期末）解分式方程：．
【答案】x＝1．
【解答】解：两边都乘以x﹣2，得
3+x﹣2＝3﹣x，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
所以原方程的解为x＝1．
10．（2023秋 盐山县期末）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）无解．
【解答】解：（1）
方程两边同时乘以（x﹣2），得
2＝1+x+x﹣2，
解得：；
当时，，
∴是原方程的解；
（2），
方程两边同时乘以3（x﹣3），得
2x+9﹣3（4x﹣7）＝6（x﹣3），
即2x+9﹣12x+21＝6x﹣18，
解得：x＝3，
当x＝3时，3（x﹣3）＝0，
∴原方程无解．
11．（2023秋 陇县期末）解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）原分式方程无解．
【解答】解：（1），
2﹣x﹣1＝3（x﹣3），
2﹣x﹣1＝3x﹣9，
﹣4x＝﹣10，
，
检验：当时，，
所以原分式方程的解．
（2），
x（x+3）﹣（x+3）（x﹣1）＝4，
x2+3x﹣x2﹣2x+3＝4，
x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0，
∴x＝1不是原分式方程的解，原分式方程无解．
12．（2023秋 淄川区期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝1；（2）x＝15．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（2x﹣3）得：x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
∴原分式方程的解为x＝1；
（2）方程两边同时乘以2（x﹣5）得：2（2x+5）＝7（x﹣5），
解得：x＝15，
检验：当x＝15时，x﹣5≠0，
∴原分式方程的解为x＝15．
13．（2023秋 扶沟县期末）解分式方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）x＝﹣1；
（2）无解．
【解答】解：（1）去分母得：2x+1﹣x＝0，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入得：x（1﹣x）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1；
（2）去分母得：x（x﹣4）+3＝（x﹣1）（x﹣4），
整理得：x2﹣4x+3＝x2﹣5x+4，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x﹣4）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
14．（2023秋 凉州区校级期末）解方程：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣1），
得：x+5＝5x﹣3（x﹣1），
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入x（x﹣1）＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解．
则原方程的解为：x＝2．
15．（2023秋 重庆期末）解下列方程：
（1）；
（2）﹣1．
【答案】（1）x＝﹣3；
（2）x＝﹣．
【解答】解：（1）原方程去分母得：3（x﹣2）＝5x，
整理得：3x﹣6＝5x，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣2）≠0，
故原分式方程的解为x＝﹣3；
（2）解：原方程去分母得：3x＝2x﹣3x﹣3，
整理得：3x＝﹣x﹣3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，3（x+1）≠0，
故原分式方程的解为x＝﹣．
【题型2 分式方程有增根问题】
16．（2023秋 永兴县期中）已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
【答案】（1）m＝﹣6；
（2）或﹣6或﹣1．
【解答】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1，
整理，得（m+1）x＝﹣5，
（1）将x＝1代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝﹣6；
（2）∵方程无解，
当x＝1时，m＝﹣6；
将x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝，
当m+1＝0时，m＝﹣1，
∴满足条件的m的值有或﹣6或﹣1．
17．（2023春 新民市期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
18．（2023春 濉溪县校级月考）已知关于x的方程．
（1）当k＝1时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
【答案】（1）x＝；
（2）10或﹣14．
【解答】解：（1）把k＝1代入方程得：﹣＝，
去分母得：1﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）分式方程去分母得：k﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝±1，
把x＝1代入方程得：k﹣10＝0，解得：k＝10；
把x＝﹣1代入方程得：k＝﹣14．
故k的值为10或﹣14．
19．（2023春 灌云县期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程无解，求a的值．
【答案】（1）a＝2；（2）a＝﹣3或a＝2．
【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
综上可知，a＝2；
（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，
当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，
综上可知，a＝﹣3或a＝2．
20．（2023春 洛江区校级月考）关于x的分式方程﹣＝1．
（1）若方程的增根为x＝3，求a的值；
（2）若方程无解，求a的值．
【答案】（1）a＝﹣3；（2）a＝4或a＝﹣3．
【解答】解：（1）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
因为x＝3是原方程的增根，
所以（a﹣4）×3＝﹣21，
解得a＝﹣3．
（2）去分母并整理得（a﹣4）x＝﹣21，
①当a﹣4＝0时，该整式方程无解，
此时a＝4；
②当3﹣a≠0时，要使原方程无解，
则x（x﹣3）＝0，即x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程，a的值不存在，
把x＝3代入整式方程，得a＝﹣3．
综合①②得a＝4或a＝﹣3．
21．（2023春 邗江区月考）已知关于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1），
4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，＝1，
解得：k＝6，
当x＝﹣1时，＝﹣1，
解得：k＝﹣8，
∴k的值为6或﹣8；
（2）∵方程的解为负数，
∴x＜0且x≠±1，
∴＜0且≠±1，
∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8，
∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8．
22．（2023春 宜宾月考）已知关于x的方程．
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
【答案】（1）3；
（2）﹣3或0．
【解答】解：（1）∵方程的解是5，
∴把x＝5代入，得
，
解得m＝3；
（2），
两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得
x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，
整理得3x﹣12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3﹣12＝﹣3，
当x＝4时，
m＝3×4﹣12＝0，
∴m的值为﹣3或0．
23．（2023春 和平区校级期中）关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值．
【答案】（1）m＝﹣3；
（2）m的值为﹣3或9时，方程有增根；
（3）当m＝﹣3或m＝9或m＝1时方程无解．
【解答】解：去分母，得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
（1﹣m）x＝8，
（1）当方程的增根为x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；
（2）若原分式方程有增根，则（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3；
当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，
所以m的值为﹣3或9时，方程有增根；
（3）当方程无解时，即 当1﹣m＝0时，（1﹣m）x＝8无解，所以m＝1；
当方程有增根时，原方程也无解，即m＝﹣3或m＝9时，方程无解
所以，当m＝﹣3或m＝9或m＝1时方程无解．
24．（2022秋 赫山区校级月考）已知关于x的分式方程﹣＝1
（1）若方程的增根为x＝2，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得，x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
（1）∵方程的增根为x＝2，
∴把x＝2代入x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2）得，
4+2a＝0，
∴a＝﹣2；
（2）由分式方程有增根，得到x（x﹣2）＝0，
解得：x＝2或x＝0，
把x＝2代入整式方程得：a＝﹣2；
把x＝0代入整式方程得：a的值不存在，
（3）化简整式方程得：（a﹣3）x＝﹣10，
当a﹣3＝0时，该方程无解，此时a＝3；
当a﹣3≠0时，要使原方程无解，由（2）得：a＝﹣2，
综上，a的值为3或﹣2．
25．（2022秋 巨野县期中）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解；方程两边都乘以3x（x﹣1），得
3（x+1）﹣（x﹣1）＝x（x+k）
化简，得
x2+（k﹣2）x﹣4＝0．
∵分式方程有增根，
∴x＝1或x＝0，
x＝1，k＝5，此时方程的解为﹣4，1是增根，
x＝0时，不合题意舍弃，
答：增根是1，k是5．
26．（2022秋 永定区期中）若关于x的分式方程＝5有增根，求m的值．
【答案】m＝4．
【解答】解：去分母得：2m﹣1﹣7x＝5x﹣5，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝4．
27．（2022秋 临武县校级月考）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，求a的值．
【答案】﹣2．
【解答】解：﹣＝1，
去分母得：x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
解得：ax﹣3x+10＝0，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或2，
当x＝0时，0﹣0+10＝0，
此时不存在a的值，
当x＝2时，2a﹣6+10＝0，
∴a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．
28．（2023 雁塔区校级开学）关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝2；
（2）a＞﹣2且a≠2．
【解答】解：（1）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
将增根x＝1代入，得a+1﹣3＝0，
解得a＝2；
（2）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
解得x＝，
∵此方程解为正数，
∴＞0且≠1，
解得a＞﹣2且a≠2．
29．（2023春 江都区期中）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
【答案】（1）a＝﹣1；（2）a＝2；（3）a＝﹣3或a＝2．
【解答】解：（1）把x＝5代入得，，
解得a＝﹣1；
（2），
两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
综上可知，a＝2；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，
当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，
综上可知，a＝﹣3或a＝2．
30．（2022秋 阳谷县期末）关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．
【答案】（1）m＝﹣3；（2）m＝9或m＝﹣3．
【解答】解：（1）∵，
去分母得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
移项并合并同类项，得：（m﹣1）x+8＝0，
当方程的增根为x＝2时，（m﹣1）×2+8＝0，
∴m＝﹣3；
（2）当方程有增根时，方程的增根为x＝﹣1或x＝2，
当x＝2时，m＝﹣3，
当x＝﹣1时，（m﹣1）×（﹣1）+8＝0，
解得：m＝9，
∴m＝9或m＝﹣3．
