5.4分式的加减-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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5.4分式的加减 同步分层作业
基础过关
1．化简+的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果等于（　　）
A．2x﹣4 B． C． D．
3．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（　　）
A． B． C．2 D．1
4．分式，，的最简公分母是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x2﹣1） C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）
5．化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C．a D．a﹣1
6．在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（　　）
嘉嘉：＝＝＝1
琪琪：＝＝＝＝1
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
7．分式与的最简公分母为 　　．
8．已知＝2，则的值是　　．
9．计算：＝　　．
10．已知a+b＝5，ab＝3．则 ＝　　，a2+b2＝　　．
11．请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题．
计算：．
解：原式＝第一步
＝第二步
＝x+1﹣4（x+1）第三步
＝﹣3x﹣3第四步
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误 　 ；
（2）从第二步到第三步是否正确？　 　，同分母分式相加减，分母 　　，分子 　　；
（3）正确的结果是 　　．
12．计算：
（1）； （2）； （3）．
13．先化简，再求值：
+，其中a＝+2．
小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式＝（a2﹣4）+（a2﹣4）……①
＝a﹣2+4……②
＝a+2……③
当a＝+2时，原式＝+4．
14．计算：
（1）÷﹣； （2）（a﹣2﹣）÷．
15.先化简，再求值：
（1）÷﹣，其中x＝2；
（2）÷﹣，其中x＝．
能力提升
16．若x为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域（　　）
A．① B．② C．③ D．④
17．为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”、“﹣”、“×”、“＝”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为a﹣2，则所加的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
18．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，则的值等于 （　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
19．已知a2+2a﹣2＝0，则代数式的值为 　﹣1　．
20．已知a，b满足，则的值为 　　．
21．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　　．
22.若＝﹣（A、B为常数），则A B的值为　　．
23.如果x2+x﹣3＝0，那么代数式的值为 　　．
24.已知．
（1）化简A；
（2）若已知x2﹣x﹣1＝0，求A的值．
25.先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
培优拔尖
26．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0）．
（1）【操作发现】再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 　　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）【探究论证】请证明（1）中的结论正确．
27．阅读下列解题过程：
已，求的值．
解：由，知x≠0．∴，即．
∴，∴．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1）已知，，，求的值；
（2）已知，求的值．
答案与解析
基础过关
1．化简+的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据异分母分式加法法则进行计算即可．
【解析】解：+
＝
＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了异分母分式的加法，熟练掌握异分母分式的加法法则是解答此题的关键．
2．计算的结果等于（　　）
A．2x﹣4 B． C． D．
【点拨】根据分式的加减法法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝﹣
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（　　）
A． B． C．2 D．1
【点拨】运用同分母分式相加减方法进行运算．
【解析】解：∵﹣＝＝1，
∴+1＝，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．
4．分式，，的最简公分母是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x2﹣1）
C．x2﹣x D．（x+1）（x﹣1）
【点拨】根据最简公分母的概念确定三个分式的最简公分母，判断即可．
【解析】解：，，的最简公分母是x（x2﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
5．化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C．a D．a﹣1
【点拨】先将分式分解因式，然后化简，再算加法即可．
【解析】解：
＝ +
＝+
＝
＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（　　）
嘉嘉：＝＝＝1
琪琪：＝＝＝＝1
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
【点拨】根据分式的混合运算，结合题意逐步检验即可得到答案．
【解析】解：∵＝
＝
＝
＝2，
∴嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键．
7．分式与的最简公分母为 　（a+2）（a﹣2）　．
【点拨】先将各分母分解因式，最简公分母是各分母的所有因式的高次幂的乘积．
【解析】解：∵a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），
∴分式与的最简公分母为（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的定义是解题关键．
8．已知＝2，则的值是　﹣　．
【点拨】先化简已知，用含ab的式子表示（a﹣b），再代入求值即可．
【解析】解：∵＝2，
∴＝2．
∴b﹣a＝2ab．
即a﹣b＝﹣2ab．
∴原式＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了分式的运算，变形已知用含ab的式子表示出（a﹣b）是解决本题的关键．
9．计算：＝　x　．
【点拨】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到即可最简结果．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝x．
故答案为：x．
【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的加减运算方法是关键．
10．已知a+b＝5，ab＝3．则 ＝　　，a2+b2＝　19　．
【点拨】根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算得到答案．
【解析】解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴+＝＝，
a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19，
故答案为：；19．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
11．请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题．
计算：．
解：原式＝第一步
＝第二步
＝x+1﹣4（x+1）第三步
＝﹣3x﹣3第四步
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误 　第一步　；
（2）从第二步到第三步是否正确？　不正确　，同分母分式相加减，分母 　不变　，分子 　相加减　；
（3）正确的结果是 　　．
【点拨】（1）根据题意可得出第一步出现错误；
（2）根据分式的性质即可得出结论；
（3）根据分式的混合运算即可得出结论．
【解析】解：（1）上述计算过程中，从第一步开始出现错误；
故答案为：第一步；
（2）从第二步到第三步不正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，
故答案为：不正确，不变，相加减；
（3）原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算减法，即可解答．
12．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可；
（2）先通分，再计算加减即可；
（3）先计算括号内分式的减法，再约分即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝
＝a+b；
（2）原式＝++
＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13．先化简，再求值：
+，其中a＝+2．
小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式＝（a2﹣4）+（a2﹣4）……①
＝a﹣2+4……②
＝a+2……③
当a＝+2时，原式＝+4．
【点拨】根据分式的加减运算顺序和法则即可判断错误位置，先将两分式通分，再计算加法，继而约分即可化简，最后将a的值代入计算即可．
【解析】解：小明的解答中步骤①开始出现错误，
正确解答过程如下：
原式＝+
＝
＝，
当a＝+2时，
原式＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
14．计算：
（1）÷﹣；
（2）（a﹣2﹣）÷．
【点拨】（1）把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约会，最后算减法即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解析】解：（1）÷﹣
＝
＝
＝；
（2）（a﹣2﹣）÷
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.先化简，再求值：
（1）÷﹣，其中x＝2；
（2）÷﹣，其中x＝．
【点拨】（1）、（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝，
当x＝2时，原式＝＝；
（2）原式＝ ﹣
＝﹣
＝
当x＝时，原式＝．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
能力提升
16．若x为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【点拨】先根据分式的混合计算法则求出，然后求出即可得到答案．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝，
∵x为正整数，
∴x≥1，
∴x+x≥x+1，即2x≥x+1，
∴，
∴表示的值的点落在如图所示的区域②，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，不等式的性质，正确求出是解题的关键．
17．为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”、“﹣”、“×”、“＝”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为a﹣2，则所加的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【点拨】根据分式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答．
【解析】解：A、+＝＝＝a﹣2，故A符合题意；
B、﹣＝，故B不符合题意；
C、 ＝﹣，故C不符合题意；
D、÷＝ ＝﹣，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．已知（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，则的值等于 （　　）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【点拨】根据完全平方公式展开得出a2+2ab+b2＝4，a2﹣2ab+b2＝8，求出a2+b2＝6，ab＝﹣1，再通分，最后代入求出答案即可．
【解析】解：∵（a+b）2＝4，（a﹣b）2＝8，
∴a2+2ab+b2＝4①，a2﹣2ab+b2＝8②，
①+②得：2a2+2b2＝12，
a2+b2＝6，
①﹣②得：4ab＝﹣4，
ab＝﹣1，
∴＝＝＝﹣6．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式和分式的化简求值，能求出a2+b2＝6和ab＝﹣1是解此题的关键．
19．已知a2+2a﹣2＝0，则代数式的值为 　﹣1　．
【点拨】先对所求式子化简，然后根据a2+2a﹣2＝0，可以得到a2+a＝2﹣a，再代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2+2a﹣2＝0，
∴a2+a＝2﹣a，
∴原式＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．已知a，b满足，则的值为 　　．
【点拨】由整理得（a+b）（a﹣b）＝2ab或a2﹣b2＝2ab，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解．
【解析】解：∵，
∴，即（a+b）（a﹣b）＝2ab，
∴a2﹣b2＝2ab，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确运算．
21．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　．　．
【点拨】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【解析】解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.若＝﹣（A、B为常数），则A B的值为　7　．
【点拨】通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，则易求A B的值．
【解析】解：∵﹣＝＝，
∴＝，
∴，
解得，
∴A B＝7×1＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．
23.如果x2+x﹣3＝0，那么代数式的值为 　　．
【点拨】先根据已知条件求出x2+x＝3，然后进行分组分解，再把x2+x＝3 整体代入计算即可．
【解析】解：原式＝（）÷
＝
＝，
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴原式＝．
【点睛】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．
24.已知．
（1）化简A；
（2）若已知x2﹣x﹣1＝0，求A的值．
【点拨】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；
（2）根据等式的性质把x2﹣x﹣1＝0化为x2＝x+1，代入计算即可．
【解析】解：（1）A＝（﹣）÷
＝
＝
＝；
（2）∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
则原式＝1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
25.先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．
【解析】解：原式＝（﹣）÷
＝
＝
＝
＝﹣，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
∴当x＝0时，原式＝﹣＝1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
培优拔尖
26．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0）．
（1）【操作发现】再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）【探究论证】请证明（1）中的结论正确．
【点拨】（1）根据生活中的经验，即可解答；
（2）利用作差法进行比较，即可解答．
【解析】解：（1）【操作发现】再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为＞，
故答案为：＞；
（2）证明：，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，b+m＞0，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.
27．阅读下列解题过程：
已，求的值．
解：由，知x≠0．∴，即．
∴，∴．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法“解决下面问题：
（1）已知，，，求的值；
（2）已知，求的值．
【点拨】（1）利用“倒数法“进行计算，即可解答；
（2）利用“倒数法“进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）∵，，，
∴＝，＝，＝，
∴+＝，+＝，+＝，
∴2（++）＝2，
∴++＝1，
∴＝1，
∴＝1，
∴的值为1；
（2）∵，
∴＝7，
∴x﹣1+＝7，
∴x+＝8，
∴＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝64﹣2+1＝63，
∴＝，
∴的值为．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，理解“倒数法”是解题的关键．
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