第四单元《因式分解 》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）

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浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果多项式分解因式为，那么的值为( )
A. B. C. D.
2.已知在中，，为整数，能使这个因式分解过程成立的值的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.三个多项式：，，的最大公因式是( )
A. B. C. D.
6.的值是( )
A. B. C. D.
7.设是质数，并且也是质数，则是
( )
A. 质数 B. 合数 C. 分数 D. 无法判断
8.多项式的公因式是
A. B. C. D.
9.如图为乘法表的一部分，每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，则个阴影空格中填入的数之和是( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足，其中为自然数，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
11.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )
A. B. C. D.
12.把多项式分解因式的结果正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果有两个因式和，那么 ．
14.在中，有一个因式为，则的值为________．
15.分解因式：________．
16.已知、、为三角形的三边，且则，则三角形的形状是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
阅读下列材料，然后解答问题：
分解因式：．
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值．再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
求上述式子中，的值；
请你用“试根法”分解因式：．
18.本小题分
分解因式：
；
．
19.本小题分
因式分解：；
设，是否存在实数，使得上式的化简结果为？求出所有满足条件的的值若不能，请说明理由．
20.本小题分
阅读下列分解因式的过程，并回答所提出的问题：
．
上述分解因式的步骤中，第一步运用的是 法；
直接写出分解因式为正数，的结果．
21.本小题分
先将代数式因式分解，再求值：
，其中，，
，其中，．
22.本小题分
【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是的倍数．
【验证】 ______；
【证明】设两个正整数为、，请验证“发现”中的结论正确；
【拓展】请说明当两个正整数、同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差．
23.本小题分
对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图可以得到：．
由图可以得到：______；
利用图所得的等式解答下列问题：
若实数，，满足，，则的值为______；
若实数，，满足，，求的值．
24.本小题分
已知，，求的值．
化简求值：，其中，．
25.本小题分
定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
求，的“和方差数”．
若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值．
若，，求，的“和方差数”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，解答此题要熟练掌握多项式乘法的运算法则；
解答此题把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解．
【解答】
解：
，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：，
或或或或或，
即或或．
则的可能值的个数为，
故选：．
，，的取值有五种可能．
本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，是整式乘法，故选项不合题意；
B.，是因式分解，故选项符合题意；
C.，是整式乘法，故选项不合题意；
D.，故选项不合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．
4.【答案】
【解析】解：、，是因式分解，故本选项符合题意；
B、，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5.【答案】
【解析】解：，，．
最大公因式是，故D正确．
故选：．
先把多项式因式分解，再进行解答即可．
本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案．
【解答】
解：
．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式、因式分解的提公因式法及质数合数的问题，分及两种情况讨论即可解答．
【解答】
解：当时，是质数，也是质数，符合题意，
当时，质数就不是的倍数，不妨设或，是正整数．
若，则，是合数，舍去；
若，则，也是合数，舍去，
所以既不是型质数，也不是型质数．
因此是质数，并且也是质数，则是质数．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了多项式中公因式的提取方法，根据公因式的概念及确定方法，从系数、相同字母、指数三个方面进行确定，即可求得多项式的公因式．
【解答】
解：根据找公因式的方法，可得
、的各项整数系数的最大公约数为，
各项的相同字母为、，且的最小指数，的最小指数，
所以多项式的公因式是，
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，列式计算即可．
【详解】解：每一个空格填入该格最上方与最左方的两数之积，
个阴影空格中填入的数之和是：
；
故选B．
本题考查有理数的混合运算．正确的理解题意，列出算式，是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】由原式知，，进一步变形得，因为，所以，得代入得，，配方法求极值．
【详解】由原式知，
代入得，，整理，得
自然数的最小值为
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
考查了公式法分解因式，解题关键是正确应用公式法因式分解．
直接利用公式法或提取公因式法分解因式进而判断．
【解答】
A、，故此选项错误；
B、，无法分解因式，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，无法分解因式，故此选项错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
应先提取公因式，然后根据平方差公式的特点，再利用平方差公式分解．
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看能否用公式．注意分解要彻底．
13.【答案】
【解析】由题意得与均为的解，
则
即
得，将代入得，
所以．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．认真审题，根据多项式中含有，并且进行因式分解后含有一个因式，所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案．
【解答】
解：设另一个因式为：，
则：
，
，
解得：，
，
．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果．
【解答】
解：原式，
故答案为：
16.【答案】等边三角形
【解析】解：，
，
，
，
即，
，，，
，
为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
分析题目所给的式子，将等号两边均乘以，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可．
本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题
17.【答案】【小题】，，，，．
【小题】把代入，多项式的值为，则多项式中有因式，于是可设，，，．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】解：，
，
，
；
原式，
，
．
【解析】把第二项整理为含的式子，提取公因式，进而整理为完全平方公式即可；
把第二个括号内的式子整理为，进而整理用完全平方公式分解即可．
考查了提公因式法分解因式，两个因式互为相反数，公因式应是其中的一个，另一个的系数的符号与原符号相反；考查了利用完全平方公式分解因式，注意运用整体思想与公式法结合进行因式分解．
19.【答案】解：原式；
将代入上式得：
；
令，
，
解得：或．
【解析】首先提取公因式，进而分解因式得出答案；
将代入进而利用使得上式的化简结果为，即可得出关于的等式求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．关键是掌握具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．如果多项式的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数成为正数．注意提出“”号时，多项式的各项都要变号．
20.【答案】【小题】
提公因式
【小题】

【解析】 略
略
21.【答案】【小题】
原式，
当，，时，
原式．
【小题】
原式
，
当，时，
原式．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：；
设两个正整数为、，
则
，
能被整除，
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是的倍数的结论正确．
由得：，
，
正整数、同为偶数或同为奇数，
，同为偶数，
，都是整数，
可以表示为两个整数的平方差．
根据平方差公式计算即可；
设两个正整数为、，则计算并验证结论即可；
由得：，可得，根据偶数和奇数的知识，可知，都是整数，从而得可以表示为两个整数的平方差．
本题考查的是因式分解的应用和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由图可知，，
故答案为：；
根据，，，
可得：
，
故答案为：；
，
，
，
，
，
，
，
．
根据长方形和正方形的面积公式计算即可；
根据中的公式变形计算即可；
根据，，可知，，则，代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘和完全平方公式的几何意义，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
24.【答案】解：，，
原式
；
原式
；
当，时，原式．
【解析】根据提公因式法将原式进行变形，再代入计算即可；
根据整式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可．
本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
25.【答案】解：；
两个非零数，的积是，的“和方差数”，
，
，
，
；
，，
．
【解析】根据新定义计算即可；
根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可；
根据题意，可知，再将，代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
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