浙教版初中数学七年级下册第二单元《二元一次方程组》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）

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浙教版初中数学七年级下册第二单元《二元一次方程组》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是二元一次方程，则( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是二元一次方程的共有( )；；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知，是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为( )
A. B. C. D.
4.若方程组的解为则方程组的解为
( )
A. B. C. D.
5.若关于，的二元一次方程组的解满足互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若方程组的解是，则方程组的解是( )
A. B. C. D.
7.小明在解关于、的二元一次方程组时，解得，则和？代表的数分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8.已知关于，的方程组给出下列结论：是方程组的解；当时，，的值互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的个数是
( )
A. B. C. D.
9.若、是两个实数，且，则等于( )
A. B. C. D.
10.某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板制作如图所示的、两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是( )
甲同学：设制作型盒个数为，根据题意可得；乙同学：设制作型盒用正方形纸板的张数为，根据题意可得；制作型盒个；制作型盒需正方形纸板共张．
A. B. C. D.
11.如图所示，在一圆形跑道上，甲从点、乙从点同时出发，反向而行，后两人相遇，再过甲到点，又过两人再次相遇，则甲环行一周需要的时间是
( )
A. B. C. D.
12.小明热衷于玩解环游戏，他有一条如图链子，是由个铁圈连在一起的。爸爸给他出了道题：要求使这个铁圈环环都脱离，最少要解开几个圈呢亲爱的同学们，你认为至少要解开铁圈的个数是。( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.是二元一次方程，那么______．
14.已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
15.已知关于，的方程组以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若则其中正确的是__________．
16.如图，面积为的大长方形被分割成个正方形两个一样的大正方形，一个小正方形和两个一样的长方形若长方形的周长为，则大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知都是关于，的二元一次方程的解，且，求的值．
18.本小题分
已知：．
用的代数式表示；
如果、为自然数，那么、的值分别为多少？
如果、为整数，求的值．
19.本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解适合方程，求的值．
20.本小题分
已知关于，的方程组，
若方程组的解满足方程，求的值；
请你给出的一个值，使方程组的解中，都是正整数，并直接写出方程组的解．
21.本小题分
甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了第一个方程解得，乙看错了第二个方程解得，求的值。
22.本小题分
如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组、方程组、方程组方程组．
将方程组的解填入图中；
请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组和它的解直接填入集合图中；
若方程组的解是求的值，并判断该方程组是否符合中的规律．
23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材 图是一张学生椅，主要由靠背、坐垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，坐垫尺寸为图是靠背与坐垫的尺寸示意图．
素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与坐垫．已知该板材长为，宽为裁切时不计损耗
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和坐垫张． 方法二：裁切靠背________张和坐垫________张． 方法三：裁切靠背________张和坐垫________张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张坐垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案．
24.本小题分
某人购物，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．
请问商品和商品每件各多少钱？
买件商品和件商品打折后共花了元，比不打折少花了多少钱？
25.本小题分
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
甲，乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售若某单位想在一家裔场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请设计出所有方案且选择出最佳方案，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程的概念和代入消元法解二元一次方程组，根据题意可得出一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出、．
【解答】
解：根据题意，得
，
解得．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二元一次方程的定义二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】
解：是二元一次方程，故正确；
，含未知数的项的最高次数为二次，不是二元一次方程，故错误；
，含未知数的项的最高次数为二次，不是二元一次方程，故错误；
，含有三个未知数，不是二元一次方程，故错误；
，不是整式方程，故不是二元一次方程，故错误．
综上，是二元一次方程的有，共个．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，．
．
故选：．
根据二元一次方程的解的定义解决此题．
本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：，
得：，
，
，
解得．
故选：．
直接用，即可得出，根据，再求出的值即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握整体思想解二元一次方程组是关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，运用了换元法的有关知识，将给出的方程组进行变形，然后设，将给出的方程组进行变形，再根据的解是求解即可．
【解答】
解：，
，
设，
，
方程组的解是，
方程组的解为，
，
解得：．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得，则？代表的数为，
，则代表的数为．
故选：．
把代入第一个方程中，从而可求得，再代入相应的式子即可求解．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：．
．
故选：．
根据、的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围去绝对值符号是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】制作型盒个数为，则制作型盒需要长方形纸板张，正方形纸板张，
制作一个型盒需要两张正方形纸板，
可制作塑盒的数量为个，制作型盒需要长方形纸板张，
，故正确；
制作型盒用正方形纸板的张数为，则型盒有个，需要长方形纸板张，程盒有个，需长方形纸板张．
，故正确；
设制作型盒个，型盒个，
依题意，得，解得
制作型盒个，型盒个，
制作型盒需正方形纸板共张，故正确，故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，理清题目数量关系，设出未知数并确定出两个等量关系是解题的关键，本题巧妙之处在于不需要求出所设的未知数．方法一：设甲、乙的速度分别为、，一圈的路程为，然后根据第一次相遇后甲到达地和两次相遇间隔时间为分钟分别列出方程，然后消掉，再求出即可得解；方法二：根据两次相遇的间隔为一圈求出甲、乙行驶一圈的时间，再根据甲、乙第一次相遇的时间求出出发时两人的间隔占一圈的份数，然后根据甲从到的时间列式计算即可得解．
【解答】
解：方法一：设甲、乙的速度分别为、，一圈的路程为，
由题意得，
消掉得，，
所以，，
所以，甲环行一周需要的时间是分钟；
方法二：由题意得，第一次相遇后分钟两人第二次相遇，
反向出发分钟后两人第一次相遇，
、两点相距圈，
甲从到的时间为分钟，
甲环行一周需要的时间是分钟．
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查学生方案设计的能力，认真观察链子，可得出只要解开第、、、、、个铁圈，可得解．
【解答】
解：只要解开第、、、、、个铁圈，这个铁圈环环都脱离．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知：
解得：
，
故答案为：．
根据二元一次方程的定义即可求出与的值．
本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】
【解析】解：，
得：
，
，
得：
，
，
原方程组的解为：．
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
．
故答案为：．
求得原方程组的解，再将方程组的解代入，得到关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组的能力，关键是熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义．
直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【解答】
解：当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：
，
即正确，
解方程组得：
，
若，
则，
解得：，
即存在实数，使得，
即正确，
解方程组得：
，
，
不论取什么实数，的值始终不变，故正确；
由知，
把，代入得
，
故错误，
其中正确的是 ，
16.【答案】

【解析】【分析】
此题考查二元一次方程的应用，题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．通过理解题意可知本题的等量关系，小正方形边长加上大正方形的边长得到长方形的长，大正方形的边长减去小正方形的边长得长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】
解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为．
则
解方程得，
大正方形的面积为，
小正方形的面积为，
答：大正方形的面积为，小正方形的面积为．
故答案为； ．
17.【答案】解：，都是关于，的二元一次方程的解，
，
．
又，
．
化简得，解得：．

【解析】本题主要考查的是二元一次方程的解和解一元二次方程组，列出关于的一元二次方程是解题的关键．将方程的解代入方程，得到关于、的方程的方程组，从而得到，结合已知条件列出关于的方程求解即可．
18.【答案】解：，
消去得：；
当时，；时，；时，；时，；
方程组整理得：，
则原式．
【解析】方程组消去得到与关系式即可；
根据与为自然数，确定出与的值即可；
方程组整理表示出的值，原式利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则变形，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是消去．
19.【答案】解：方程组消元得：，
联立得：，
解得：，
则．
【解析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．方程组消元后，与已知方程联立求出与的值，即可确定出的值．
20.【答案】解：由，解得
把，代入，得
．
，则，答案不唯一．
【解析】由方程组解出、，再代入即可解决问题．
是大于的整数，任意取一个值即可．
本题考查二元一次方程组、二元一次方程的解等整数，解题的关键是灵活掌握解方程组的方法，属于中考常考题型．
21.【答案】解：把代入第二个方程，把代入第一个方程，
组成方程组得：
解得
【解析】本题考查的是二元一次方程组的解有关知识，甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙看错了第二个方程把他解得答案代入第一个方程，把组成关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值．
22.【答案】【小题】

【小题】

【小题】
把，代入方程组的第二个方程得，解得，所以方程组为，不符合中的规律．

【解析】 略
略
见答案
23.【答案】任务一：
任务二：因为张，所以该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅．
任务三：设用张板每张材裁切靠背张和坐垫张，用张板材每张裁切靠背张和坐垫张，
根据题意得解得
因为张，
所以需要购买该型号板材张，用张板材每张裁切靠背张和坐垫张，用张板材每张裁切靠背张和坐垫张．

【解析】设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得，所以因为、为非负整数，所以或或所以方法二：裁切靠背张和坐垫张．方法三：裁切靠背张和坐垫张．
24.【答案】解：设买件商品和件商品各需要元，元．根据题意，得
，
化简得，
解得．
答：买件商品和件商品各需要元，元．
元．
答：比不打折少花元．
【解析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到个合适的等量关系．本题中个等量关系为：买件商品和件商品用了元；买件商品和件商品用了元．根据这两个等量关系可列出方程组．
由求得打折前和两种商品的价格，再计算比不打折少花的钱数．
此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组，熟练运用代入消元法或加减消元法解方程组．
25.【答案】解：设一个水瓶元，表示出一个水杯为元，
根据题意得：，
解得：，
元，
答：一个水瓶元，一个水杯是元；
方案一：甲商场所需费用为元；
方案二：乙商场所需费用为元；
方案三：乙商场购买个水瓶送个水杯；剩下的个水杯去甲商场购买，
元；
，
选择乙商场购买更合算；乙商场购买个水瓶送个水杯；剩下的个水杯去甲商场购买，最合算．
【解析】设一个水瓶元，表示出一个水杯为元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
计算出两商场得费用，比较即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
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