浙教版初中数学七年级下册第三单元《整式的乘除 》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）

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浙教版初中数学七年级下册第三单元《整式的乘除》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.我们知道下面的结论：若，且，则利用这个结论解决下列问题：设，，，下列，，三者之间的三个关系式正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知、、是自然数，且满足，则的取值不可能是( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.设，为任意有理数，定义运算：，得到下列五个结论：；；；；其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
6.若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
8.有两个正方形、现将放在的内部得图甲；将、并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则、两个正方形的面积之和为( )
A. B. C. D.
9.如图，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张，其中把纸片Ⅰ，Ⅲ按图所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为( )
A. B. C. D.
10.如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为若，则：的值为( )
A. B. C. D.
11.我们知道下面的结论：若，且，则设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是( )
A. B. C. D.
12.设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：若@，则或；@@@不存在实数，，满足@；设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大其中正确的是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，，则_________．
14.填空： ．
15.已知，，则的值为 ．
16.
已知，则代数式的值为 ；
若，则的个位数字是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，求的值；
已知，求的值．
18.本小题分
已知，，求的值．
若，，用，表示的值．
若为正整数，且，求的值．
19.本小题分
若，求的值．
20.本小题分
我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如就能用图或图等图形的面积表示：
请你写出图所表示的一个等式：____．
试画出一个图形，使它的面积能表示：．
21.本小题分
数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张．
根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求的值；
已知，求的值．
22.本小题分
两个边长分别为、的正方形如图放置，现在取的中点，连接、，如图，把图形分割成三部分，分别标记、、，对应的图形面积分别记为、、．
用字母、分别表示、．
若，，求．
若，，求．
23.本小题分
求值
已知，求的值．
已知，，求的值．
24.本小题分
已知，，。
求与的值；
试说明：。
25.本小题分
【计算】
小红计算时，得到的结果是，则“”表示的数为 ．
【发现】
小红对计算结果很感兴趣，她发现有些数可以表示成、为自然数的形式，她把这类数称为“神秘数”，例如：，，，所以，，是“神秘数”请写出两个以内的“神秘数”不包含： ， ．
【探究】
小红进一步研究，发现像，这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”试说明所有“双奇神秘数”被除余．
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是，则这两个“双奇神秘数”是 和 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故错误；
B、，故错误；
C、，不是同类项不能合并，故错误；
D、，故正确；
故选：．
根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则及合并同类项的法则进行运算即可．
本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方、合并同类项的法则的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据同底数幂的乘法公式即可求出、、的关系．
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方的运算以及分解质因数，熟练掌握同底数幂乘法以及分解质因数是解题关键，把变形，再把分解成，最后分类讨论即可．
【解答】
解：，
，
、、是自然数，，，
当时，，，则，
当时，，舍去，
当时，，，则，
当时，，舍去，
当时，， ，则，
当时，， 舍去，
当时，， ，则，
的取值不可能是．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
故正确；
，
，
，
故错误；
．
．
，
故正确；
，
，
故错误；
，
．
故错误．
综上所述，正确的个数为．
故选：．
根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．
本题考查多项式乘多项式，理解新定义问题是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，，，
，，，
，
只有D正确，
故选：．
根据多项式乘以多项式法则展开括号，得到，，，求出，，的值计算判断．
此题考查了整式的乘法：多项式乘以多项式法则，正确掌握计算法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，正方形的边长为，，，
若，则正方形的边长为，，
即，
，
，
选项A不正确；
若，则正方形的边长为，，
即，
，
选项B不正确；
若，则，
，
，
，
若，则，解得：，，
，正确，
选项C正确；
若，则，
，
，
，
若，则，解得不符合题意，，
选项D不正确，
故选：．
【分析】本题主要考查完全平方公式，正确表示出正方形的面积以及熟练进行代数式的变形是解题的关键．
根据已知条件以及，之间的关系，求出正方形的面积可判断，，根据正方形的面积求出边长，从而得出，的值可判断，，从而可得出答案．
8.【答案】
【解析】【分析】
设正方形和的边长各为和，得，，进而可得出的值．
此题考查了完全平方公式的应用，关键是能根据图形准确列式，并能根据完全平方公式灵活变形．
【解答】
解：正方形的边长为，正方形的边长，
由题意得，，，
，
即：、两个正方形的面积之和为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，用含，的代数式表示出，是解答此题的关键．
用含，的代数式表示出，，即可得出答案．
10.【答案】
【解析】解：设大长方形的宽短边长为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
：的值为，
故选：．
【分析】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入即可求解．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，
故选：．
根据同底数幂的乘法法则求解即可．
本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：@
，
整理得：，即，
解得：或，正确；
@
@@
，
@@@正确；
@，@，
令，
，即
解得，，，故错误；
@，
，则，即，
，
的最大值是，此时，
解得，，
@最大时，，故正确，
故选C．
根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、完全平方公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是幂的乘方与积的乘方的有关知识．
先将等式两边同时乘方，然后将两个等式相乘，再利用积的乘方转化即可．
【解答】
解：，，
，，
，，
，
，
．
14.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
根据乘法的意义先进行，即可得到答案．
本题考查的是单项式乘单项式，单项式除以单项式，掌握“单项式除以单项式的法则进行运算”是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，掌握幂的乘方和积的乘方的法则是解决问题的关键．
【解答】
解：，，
，，
，
，
，
，


．
故答案为．
16.【答案】【小题】

【小题】

【解析】 略
略
17.【答案】解：
；
，
，
，
．
【解析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可；
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，做题关键是掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则．
18.【答案】解：原式
．
因为，，
所以．
原式
．
因为，
所以原式．

【解析】本题考查幂的乘方与积的乘方以及整体代入法．
先运用积的乘方法则进行计算，然后转化为已知条件，再把已知条件代入即可；
易得，，将转化为，再把已知条件代入即可解答；
先把转化为，再把已知条件代入即可解答．
19.【答案】解：，
，
解得：，
故．
【解析】直接利用单项式乘以单项式计算得出关于，的等式进而得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
20.【答案】解：；
图形面积为：，
长方形的面积宽长，
由此可画出的图形为：

【解析】【分析】
本题考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型．
由题意得：长方形的面积长宽，或者可以表示为个小正方形的面积个小长方形的面积，由此即可得出等式；
已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，再结合等号右边各项的系数即可画出图形．
【解答】
解：由图可知：
图的面积或，
故图所表示的一个等式：，
故答案为：；
见答案．
21.【答案】解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
；
，，，
，
，即的值为；
令，
，
，
，
，
解得．
．
．
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，用不同的方法表示面积是得出等量关系是解题的关键．
用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
计算的结果为，因此需要号卡片张，号卡片张，号卡片张；
根据题公式计算即可；令，从而得到，，代入计算即可．
【解答】
见答案；
，
需要号卡片张，号卡片张，号卡片张，
故答案为：；
见答案．
22.【答案】解：由题意得，，，，
，
；
由题可得，
，
当，时，
；
由题意得，
，
，，
即，
解得，
．
【解析】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，关键是能根据图形准确列式，并能根据完全平方公式进行变形应用．
由，，，分别列式表示出、；
由题结果可得，再将，代入计算；
由可得，然后代入计算即可．
23.【答案】解：，
，
则，
解得：；
，，
．
【解析】由得，即可知，解之可得；
将、代入可得．
本题主要考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法与积的乘方、幂的乘方法则是解题的关键．
24.【答案】解：；
；
因为，
所以；
又因为，
所以，
所以．
【解析】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
把变形为，把变形为，然后计算即可；
因为，所以；又因为，所以，所以．
25.【答案】解：计算：设“”表示的数为，
即：
，
计算得到的结果为，
，即：，
“”表示的数为，
故答案为：；
发现：由定义可知，，，
故答案为：，答案不唯一；
探究：由题意可得：“双奇神秘数”可表示为，
，
所有“双奇神秘数”被除余．
应用：设第一个“双奇神秘数”数为，
第二个“双奇神秘数”数为，
它们的差是，
，
则，
或
解得：舍去或
当，时，，，
即这两个“双奇神秘数”是和，
故答案为：，．

【解析】【分析】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键．
计算：设“”表示的数为，通过计算可得其结果为，进而可知，即可求解；
发现：根据“神秘数”可以表示成，即可求解；
探究：“双奇神秘数”可表示为，化简可得，即可说明所有“双奇神秘数”被除余；
应用：设第一个“双奇神秘数”数为，第二个“双奇神秘数”数为，两数作差求解即可．
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