浙教版数学七年级下册第四章因式分解提高训练（含解析）

浙教版数学七年级下册第四章因式分解提高训练
一、选择题
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．把分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
3．若，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
4．若是一个完全平方式，则n等于（　　）
A． B． C． D．
5．当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
6．如图，点B、C、E在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
8．已知a-b=3，b+c=-5，则代数式ac-bc+a2-ab的值为（　　）
A．-15 B．-2 C．-6 D．6
9．已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．分解因式：　 　.
12．将16y2+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为　 　.
13． 若 且则x-3y的值是　 　.
14．甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝　 　．
15．若一个四位正整数满足， 我们就称该数是 “振兴数” ， 则最小的 “振兴数” 是若一个 “振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被 5 整除. 则满足条件的 “振兴数” 的最小值为　 　
16． 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为，则是一个“顺利数”，且，若四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，，为整数，，，，，且，以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”，若，则的值为　 　 ；满足条件的所有数的最大值为　 　 ．
三、解答题
17．因式分解：
（1）9－
（2）＋2ab＋－4
18．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在聊天.老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195 ”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩的年龄的平方差也是195.”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩的年龄的平方差也是195.”请你想一想，这些人的年龄各是多少岁？
19．如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”.
（1）写出10，11，12，…，20中的“好数”.
（2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
21．阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
22．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
23．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为为实数叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：．
（1）填空：　 　，　 　．
（2）计算：①；②；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D没有写成积的形式，故A、C、D选项不符合题意；
B选项，根据平方差公式写成积的形式，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可得解.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴应提取的公因式是，
故答案为：C.
【分析】利用提取公因式的因式分解的计算方法分析求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式对所求式子分解因式，然后整体代入计算即可．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特征：尾项是一次项系数一半的平方，据此求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2
n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故答案为：D
【分析】先利用平方差公式因式分解，再根据结果可得答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
根据题意得：，
则阴影部分的面积为：
，
故答案为：B．
【分析】设大正方形ABCD的边长为，小正方形CEFG的边长为，则，然后根据三角形的面积公式求出阴影部分面积，再利用整式的运算法则进行整理，整体代入计算可得答案．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a-b=3①，b+c=-5②，
由①+②得：a+c=-2，
∴原式=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（a-c）=3×（-2）=-6.
故答案为：C.
【分析】由①+②可求出a+c的值，再利用因式分解法将代数式转化为（a-b）（a-c），再整体代入求值即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：若原多项式为x-y-z-m-n，“加算操作后”为(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，
①令x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，
∴m+n=0，
∴当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等，
∴①说法符合题意；
②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，
即“加算操作后”的结果=-（x-y-z-m-n）=-x+y+z+m+n，
显然-x+y+z+m+n≠x-y-z+m+n，
∴不存在任何“加算操作后”的结与原多项式的和为0，
∴②说法符合题意；
③由①可知，存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，即为第1种；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第4种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第5种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n，
∴③说法符合题意，
∴①②③说法正确.
故答案为：D.
【分析】①列出加算操作后”的结果与原来多项式相等的式子，即x-y-z-m-n=x-y-z+m+n，当m和n互为相反数时，存在“加算操作后”的结果与原来多项式相等；②若原多项式与“加算操作后”的结果和为0，即二者互为相反数，表示出原多项式的相反数后即为“加算操作后”的结果，与加算操作后”的结果比较，显然不相等；③对原多项式从左往右分别加括号，结合①存在一种“加算操作后”的结果与原来多项式相等，可得所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．据此逐项分析判断即可得出正确答案.
11．【答案】
【解析】【解答】解：2x2-12x+18，
=2(x2-6x+9)，
=2(x-3)2.
故答案为：2(x-3)2.
【分析】首先提取2，然后利用完全平方公式进行分解.
12．【答案】8y，-8y，64y4
【解析】【解答】解：∵16y2+1=（4y）2+1，
∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，
∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，
∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2.
故答案为：8y，-8y，64y4.
【分析】若添加的是中间项，根据完全平方式的特点可得中间项应为±2·4y×1；若16y2为中间项，则二次项应为(16÷2)2y4，据此解答.
13．【答案】6
【解析】【解答】解： ∵
∴(x+y)(x-y)=6，
∵
∴x-y=2，
∴ x-3y =6.
故答案为：6.
【分析】利用平方差公式将原式变为(x+y)(x-y)=6，据此求出x-y的值，继而得解.
14．【答案】21
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
15．【答案】4114
【解析】【解答】解：，且，，，，
当，，，时，四位数最小，
故答案为：1001．
根据题意，得，，是正整数，
，，
，，
解得：，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
解得：，，
故，，或，，，，
故当时，，或，
当时，，或，
当时，或，
当时，，
最小，
，，，
根据，
故，
故最小数是4114，
故答案为：4114
【分析】根据题意因式分解，进而分类讨论，从而即可求解。
16．【答案】9；5438
【解析】【解答】解：由题意知，
，
100d2+c2+20dc-（100c2+d2+20dc）=1001a+110b，
99d2-99c2=1001a+110b，
左右同时除以11得：9d2-9c2=91a+10b，
∴9d2-9c2-91a-10b=0
左右同时加（a+b）得，
a+b=9d2-9c2-90a-9b，
即，
∵a，b，c，d是整数，
∴a+b是9的倍数，
又，，，，得，
得a+b=9或18，
∵，，，，且，
∴当c=1，d=2时，（d2-c2）min=3，当c=1，d=9时，（d2-c2）max=80，
得，
当a+b=18时，a=9，b=9，代入9d2-9c2-91a-10b=0得d2-c2=101，不符合题意舍去，
∴a+b=9，
把a+b=9代入9d2-9c2-91a-10b=0得，
∵，
∴3≤9a+10≤80，
分类讨论：
根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
则当为时，是满足条件的最大值．
故答案为：9；5438.
【分析】由题意知，，整理变形得，得a+b是9的倍数，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，，分类讨论：根据a为千位数字， a+b=9，可知b越小，a越大， n越大，当a=9时，9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意，即可求解.
17．【答案】（1）9（m+n）－(m－n) ===4（2m+n）(m+2n)
(2) a＋2ab＋b－4=（a+b）2-22=(a+b+2) (a+b－2)
【解析】【分析】因式分解-运用公式法．
18．【答案】解：设这些人的年龄从高到低分别为x，y，a，b，m，n，则由题意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.∵195=1×195=3×65=5×39=13×15（最后一组数据不符合题意，舍去），
∴
解得：
所以两位老人的年龄分别是98岁、97 岁，中年夫妇的年龄分别是34岁、31岁，两个青年的年龄分别是22岁、17岁.
【解析】【分析】由题意可知：这两个老人，两个年青人，一对中年夫妇的年龄都是正整数，而且年龄差不大。所以由意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.然后列方程组 ，，，分别求出方程组的解，验证即可.
19．【答案】（1）解：“好数”有：10、13、16、17、18、20.
（2）解：∵一个“好数”能表示成（，是整数）.
∴一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”.
判断：不一定是“好数”，举反例如下（其他反例均可）
若，，则、均为“好数”.
但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”
∴当、为“好数”时，不一定是“好数”
判断一定是“好数”，理由如下：
∵、为“好数”
∴可设，（a、b、c、d均为整数）
则
∵a、b、c、d均为整数
∴、肯定也为整数
∴一定是“好数”
【解析】【分析】（1）根据“好数”的意义判断，即可求得.
（2）举反例即可判断m+n不是“好数”，设，，则=，即可求得.
20．【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
21．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【解析】【分析】（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
22．【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
23．【答案】（1）-i；1
（2）解：①；
②
（3）解：，
，
（4）解：
【解析】【解答】解：
（3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi
即x=2，y=-3
（4）
【分析】本题考查实数的运算，整式乘法的计算，属于阅读题型.
（1）根据题意，
（2）利用平方差公式与完全平方公式将式子展开，再把代入计算即可.
（3）根据题意实部与实部相等，虚部与虚部相等即可列出关于x与y的二元一次方程组，解方程组即可.
（4）先利用平方差公式将分母有理化，分子分母同时乘（2+i），再将公式展开计算即可.
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