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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题3.5 平方差和完全平方与几何图形专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ．
A．
B．
C．
D．
(2)应用这个公式完成下列各题．
①已知，，求的值；
②计算：．
2．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
3．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）．
A． B．
C． D．
(2)请利用你从（1）选出的等式计算：．
4．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）（ ）．
请你利用这个公式计算：．
6．[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
[应用]（2）计算：．
[拓展]（3）计算：．
7．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：．
8．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
9．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．
10．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．
11．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
12．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
13．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
14．图1是一个长为，宽为的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．
(1)图2中阴影部分的面积可表示为 ；对于，，，这三者间的等量关系为 ．
(2)利用（1）中所得到的结论计算：若，，则 ．
(3)观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若，试求的值．
15．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图中阴影部分的正方形的边长是______．
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
(3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题3.5 平方差和完全平方与几何图形专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ．
A．
B．
C．
D．
(2)应用这个公式完成下列各题．
①已知，，求的值；
②计算：．
【答案】(1)A
(2)①；②
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算；
（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为；
（2）①用平方差公式分解，将已知值代入可求解；
②原式乘以，应用平方差公式展开后合并同类项即可．
【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，，
故选：A；
（2）①，
，
又，
；
②
．
2．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)①②③
(2)4
(3)
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键；
（1）分别表示各图形面积，再利用等面积法可得答案；
（2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可；
（3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：图①：由等面积可得：，
图②：由等面积可得：，
图③：由等面积可得：，
图④：由等面积可得：，
故答案为：①②③
（2）原式
．
（3）原式
．
3．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）．
A． B．
C． D．
(2)请利用你从（1）选出的等式计算：．
【答案】(1)D
(2)
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（2）根据平方差公式，，，，，由此即可得到答案．
【详解】（1）图1阴影部分的面积为：，图2阴影部分的面积为，
图1和图2阴影部分面积相等，
；
故选A．
（2）
．
4．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【答案】(1)C
(2)①3；②
【分析】本题考查平方差公式与图形面积，平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题关键．
（1）根据图1中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面即得出，图2的面积为：，即可得出等式；
（2）①根据平方差公式计算即可；
②根据平方差公式可将原式变形为，即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：，
图2的面积为：，
∴上述操作能验证的等式是．
故选C．
（2）解：①∵
∴．
∵，
∴；
②
．
5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）（ ）．
请你利用这个公式计算：．
【答案】，；
【分析】本题考查了平方差公式．分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解；利用平方差公式，即可解答．
【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积，
右边图形中，阴影部分的面积，
两个图形中的阴影部分的面积相等，
．
故答案为：，；
．
6．[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）
[应用]（2）计算：．
[拓展]（3）计算：．
【答案】（1）；（2）4；（3）5050
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据阴影部分的面积相等，得到；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为，
图（2）中的阴影部分面积为，，
通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式，
故答案为：；
（2）
；
（3）
．
7．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)1．
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
故答案为：，；
（2）解：以上结果可以验证乘法公式为：，
故答案为：；
（3）
．
8．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①1；②9
【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解：
（1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式；
（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；
（3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：；
故答案为：；；
（2）解：；
（3）解：①∵，
∴；
②．
9．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；
（2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（3）由（2）的结论代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为，
周长为：，
故答案为：；
（2）解：由图可得：
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
（3）解：由（2）知：，
，，
，
或．
10．通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出．，之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：，；
（3）由（2）得，
故答案为：；
（4）∵，，，
∴
，
∴
故答案为：．
11．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行应用即可；
（3）设，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
【详解】（1）解：由图形面积得，
故答案为：；
（2）由（1）题所得，
∴，
∴当，时，
，
∴或-2；
（3）解：设，，
则，，
又由，得
，
∴图中阴影部分的面积为：．
12．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式；
（2）根据阴影部分的面积相等可得答案；
（3）由（2）可得，代入，求值即可；
（4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可．
【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为，
故答案为：，
（2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，
故答案为：
（3）由（2）可得，
若，，
则，
∴，
故答案为：
（4）如图所示，
图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即，
∴．
13．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可；
【详解】（1）；
（2）∵，，
∴；
14．图1是一个长为，宽为的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．
(1)图2中阴影部分的面积可表示为 ；对于，，，这三者间的等量关系为 ．
(2)利用（1）中所得到的结论计算：若，，则 ．
(3)观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若，试求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3) 1或 3
【分析】（1）根据正方形阴影部分是边长为，得到阴影部分面积为，根据图中三部分的面积分别为，，，，得到；
（2）根据（1）中结论可得，，开平方得到；
（3）大长方形是长为，宽为，得到面积为，根据大长方形的面积是由8部分的面积组成，推出；根据， ，推出，得到或，解得或 ．
【详解】（1）解：∵正方形阴影部分是边长为，
∴面积为：，
∵正方形阴影部分的面积还可以表示为：，
∴，
故答案为：； ；
（2）由（1）可得，，
∴，
故答案为：；
（3）∵整个长方形是长为，宽为，
∴面积为，
∵长方形面积是由8个部分组成，，
∴；
由图看出，
∵，
∴，
∴或，
∵
∴或 ．
15．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图中阴影部分的正方形的边长是______．
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
(3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
【答案】(1)；
(2)，
(3)；
(4)14．
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即
故答案为：，
（3）由（2）得，，
故答案为：；
（4），，
，
故答案为：．
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