浙教版七年级下册数学第四章因式分解基础巩固练习（含解析）

浙教版七年级下册数学第四章因式分解基础巩固练习
一、选择题
1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列添括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A．a3b B．4a2b2 C．4a3b D．8a3b2
4．多项式分解因式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
6．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（　　）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
7．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （　　）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
8．若把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1）·(x-3)，则a，b的值分别为（　　）
A．2，3 B．-2，-3 C．-2，3 D．2，-3
9．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
10．对于正整数m，若m=pq(p>q>0，且p，q为整数)，当p=q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f(12)若关于正整数n的代数式，也有同样的“最佳分解”，则对于下列结果不可能的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果多项式3x+m可以分解为3（x+3），那么m的值为　 　
12．因式分解：　 　
13． 如果一个正方形的面积是平方米，则该正方形的边长为　 　米．
14．用简便方法计算：　 　
15．已知a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则代数式的值为　 　
16．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是　 　；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是　 　．
三、解答题
17．现有三个多项式： a2+a-4， a2+5a+4， a2-a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
18．已知x，y满足方程组 求 的值.
19．把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗 为什么
20． 如图，在一块边长为 a 的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为b 的正方形.用关于a，b的多项式表示阴影部分的面积.这个多项式能分解因式吗 若a=13.2cm，b=3.4cm，计算阴影部分的面积.
21．下面是某同学对多项式(x2-4x)(x2-4x+8)+16进行因式分解的过程：
解：设x2-4x=y，
原式= y(y+8)+16 (第-步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ____．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 　 　(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，则该因式分解的最终结果为　 　
（3）请你模仿上述方法，对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解．
22．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为　 　，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为　 　.
（2）由(1)的结果得出结论　 　.
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
23．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地得到多项式的乘法公式.
（1）从图1可以容易得到；，等乘法公式（如图1），根据得到的乘法公式完成下列问题：
①若，，则 ▲ ；
②若x满足，求的值.
（2）观察图2，回答下列问题：
①请你从图2中得到 ▲ ；
②根据得到的结论，解决问题：若，，，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A.，不是因式分解，故A不符合题意；
B.，是因式分解，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解概念： 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】 添括号时，如果括号前面是加号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号．根据法则分别判断，即可解答．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：多项式4a3b2+12a3bc中，各项的公因式为4a3b.
故答案为：C.
【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此可得答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，只有两项，不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式分解因式；
B、，平方项符号不相同，不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式分解因式；
C、，2×2×1＝4≠2，不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式分解因式；
D、，2×2×1＝4，符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式分解因式.
故答案为：D.
【分析】完全平方公式的特点：首先是三项式，其次有两项能写成一个整式的完全平方，且这两项的符号相同，剩下的第三项是两平方项底数积的2倍，据此分析选择即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴，
∴m=2n，n2=25，
∴m=2n=±10，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式得出，然后比较每项的系数，分别列出等式，先求出n值，则可解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵
又∵ (x+1)(x-3)=x2+ax+b，
∴
故答案为：B.
，【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算(x+1)(x-3)后与x2+ax+b进行比较即可得出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∵n为正整数，
∴
∴
∴为的最佳分解，
A、当时，与n是正整数出现矛盾，故此选项错误，符合题意；
B、当时，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，没有出现矛盾，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据最佳分解的定义可得n(n+3)是n2+3n的最佳分解，进而令分别等于各个选项中的数值，求解得出n的值，然后与n是正整数进行比较即可得出答案.
11．【答案】9
【解析】【解答】解：3（x+3）=3x+9=3x+m，
∴m=9.
故答案为：9.
【分析】把3（x+3）化为多项式，再与多项式3x+m相等即可.
12．【答案】(3-2x)(3+2x)
【解析】【解答】解：，
故答案为：(3-2x)(3+2x).
【分析】直接利用平方差公式计算即可.
13．【答案】()
【解析】【解答】解：∵，
∴这个正方形的边长是，
∵m>0，n>0，
∴，
故答案为：()．
【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，故边长就是面积的算术平方根，从而对式子进行因式分解，然后根据二次根式的性质可得答案．
14．【答案】102
【解析】【解答】解：
故答案为：102.
【分析】利用提公因式法计算即可求解.
15．【答案】3
【解析】【解答】解：∵a＝2022x+2023，b＝2022x+2024，c＝2022x+2025，
∴a-b＝-1，a﹣c＝-2，b-c＝-1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
故答案为：3.
【分析】根据等式性质可以得到a-b，a-c，b-c的值，然后将所求式子利用配方法及分组分解法分解因式变形，最后将a-b，a-c，b-c的值代入变形后的式子计算即可．
16．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
图1阴影部分面积为：a2+b2=32+42=25，
故答案为：25；
（2）由题意得a2+b2=3，
∵am-bn=2，an+bm=4，
∴将两式分别平方得：a2m2-2abmn+b2n2=4①，
a2n2+2abmn+b2m2=16②，
∴①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）=20，
∵a2+b2=3，
∴m2+n2=，
∴图2阴影部分的面积=S四边形ABCD--=5- =5- =
故答案为：.
【分析】 （1）根据正方形的面积公式计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2=3，将题干中两个等式分别平方后求和，然后再将等式的一边分解因式得（a2+b2）（m2+n2）=20，求得m2+n2=，最后利用割补法求图2中阴影部分的面积．
17．【答案】解：①（ a2+a-4）+（ a2+5a+4）= a2+a-4+ a2+5a+4=a2+16a=a（a+6）；
②（ a2+a-4）+（ a2-a）= a2+a-4+ a2-a=a2-4=（a+2）（a-2）；
③（ a2+5a+4）+（ a2-a）= a2+5a+4+ a2-a=a2+4a+4=（a+2） 。
【解析】【分析】先把多项式进行化简，再运用提公因式法、平方差公式、完全平方式进行因式分解。
18．【答案】解： ∵
∴=(2x-y)2(2x-y-x+3y) =(2x-y)2(x+2y) =122×11=1584.
【解析】【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式得(2x-y)2(x+2y) ，然后整体代入计算即可.
19．【答案】解：一定是4的倍数，理由如下：
设两个连续偶数为2n，2n+2，
（2n+2）2-(2n)2
=4n2+8n+4-4n2
=4(2n+1)
∵n为整数，
∴(2n+1)是正奇数，
∴4(2n+1)是4的倍数，
故相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数.
【解析】【分析】由题意设两个连续偶数为2n，2n+2，由完全平方公式去括号，再合并同类项将多项式化简整理，并根据n是整数即可判断求解.
20．【答案】解： 阴影部分的面积=a2-b2=(a+b)(a-b)，
当a=13.2cm，b=3.4cm，
阴影部分的面积=a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+2×3.4)(13.2-2×3.4)=128cm2.
【解析】【分析】由图形知： 阴影部分的面积 =大正方形的面积-小正方形的面积，据此列出代数式，然后利用平方差公式分解，再将a、b值代入计算即可.
21．【答案】（1）D
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2-2x=A，
原式=(A-1)(A+3)+4
=A2+2A-3+4
=A2+2A+1
=(A+1)2
=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
【解析】【解答】解：（1） 该同学第二步到第三步运用了 “ 两数和的完全平方公式 ”；
故答案为：C；
（2） 该同学因式分解的结果不彻底，该多项式因式分解的最终结果为（x-2）4；
故答案为：不彻底；（x-2）4；
【分析】（1）该同学第二步到第三步是将一个完全平方式变形成了两个数和的完全平方，据此可得答案；
（2）因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，由于第四步中，底数“x2-4x+4”是一个完全平方式，还可以继续分解，据此可解答此题；
（3）设x2-2x=A，然后代入原式并整理得A2+2A+1，从而用完全平方公式分解因式，进而再将x2-2x=A代入，再一次使用完全平方公式分解即可.
22．【答案】（1）a2-b2；（a-b）（a+b）
（2）a2-b2=（a-b）（a+b）
（3）解：原式=（2017+2016）（2017-2016）=4033
【解析】【解答】解：（1）图1的阴影部分的面积为a2-b2；
图2中阴影部分的面积为
故答案为：a2-b2，（a-b）（a+b）.
（2）∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a-b）（a+b）.
故答案为：a2-b2=（a-b）（a+b）.
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积，可表示出图1中阴影部分的面积；由图2可知，阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形的面积公式，可表示出阴影部分的面积.
（2）利用已知可得到两个图形的阴影部分的面积相等，即可求解.
（3）利用a2-b2=（a-b）（a+b），导入公式进行计算.
23．【答案】（1）解：①28；②设则
，
因为 ，
所以
；
（2）解：①；
②由①得 ．
【解析】【解答】解：（1）① ，
，
故答案为： ；
②设则
，
因为 ，
所以 ；
（2）① ；
故答案为：；
②由①得 ．
【分析】本题考查整式的化简求值，完全平方公式
（1）①根据完全平方公式变形可得，代入数据可求出答案；②设，根据题意可求出 和 ，再利用完全平方公式的变形：，代入数据可求出答案；
（2）①根据完全平方公式展开即可得到答案；②根据完全平方公式变形可得：，代入数据可求出答案.
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