第5章 分式 单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第5章 分式 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式中不属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．化简的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
5．分式方程的解为（　　）
A．y＝1 B．y＝2 C．y＝3 D．y＝4
6．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的2倍 D．缩小为原来的4倍
8．已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
9．在公式中，以下变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．分式，，的最简公分母是 　 　．
12．如果分式的值为0，那么x的值是 　 　．
13．化简：＝　 　．
14．关于x的分式方程有增根，则m＝　 　．
15．定义新运算：，若，则的值是 　 　．
16．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：．
解：方程两边同乘x﹣2，得x﹣3+2＝﹣3第一步
解得x＝﹣2第二步
∴原分式方程的解为x＝﹣2第三步
（1）上面的解题过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
（2）请写出正确的解题过程．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．先化简，再求值；其中x、y满足（x+2）2+＝0．
21．定义a b＝2a+．根据定义，解答下列问题：
（1）2 （﹣1）＝　 　；
（2）计算；
（3）求方程2 （x﹣2）＝1 （4﹣2x）的解．
22．已知，求和的值．
23．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米．
（1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？
（2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？
24．先阅读下面的材料，然后回答问题
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 　 　．
（2）猜想关于x的方程的解并验证你的结论．
（3）请仿照上述方程的解法，对方程进行变形，并求出方程的解．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式中不属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解析】解：观察选项，只有选项B中的的分母不是字母，即它不是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数不是字母．
2．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简分式的概念判断即可．
【解析】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、﹣＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、＝x+1，不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简分式的概念，关键是记忆一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解析】解：由题可知，
2x﹣3≠0，
解得x．
故选：C．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
4．化简的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
【点拨】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝a+b，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
5．分式方程的解为（　　）
A．y＝1 B．y＝2 C．y＝3 D．y＝4
【点拨】两边都乘以y﹣3化为整式方程求解，然后检验．
【解析】解：两边都乘以y﹣3去分母，得
y﹣2＝2（y﹣3）+3，
解得y＝1，
检验：当y＝1时，y﹣3≠0，
∴y＝1是原方程的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
6．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”逐项判断即可．
【解析】解：，变形正确，故A选项符合题意；
只有当a＝b时才成立，故B选项不合题意；
，故C选项不合题意；
，故D选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式得基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
7．若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的2倍 D．缩小为原来的4倍
【点拨】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解析】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得：
，
可见新分式与原分式的值相等．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
8．已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
【点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用x表示出x2+x的值，代入原式进行计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+x+x﹣2＝0，
∴x2+x＝2﹣x，
∴原式＝＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
9．在公式中，以下变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据等式的性质以及分式加减法的计算方法逐项进行计算后再判断即可．
【解析】解：∵，即＝，
∴R＝，
因此选项C、选项D不符合题意；
∵，即＝﹣，
∴即＝，
∴R1＝，
因此选项A不符合题意；
∵，即＝﹣，
∴即＝，
∴R2＝，
因此选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的解决运算，掌握分式加减的计算方法以及等式的性质是正确解答的关键．
10．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】等量关系为：乘坐普通动车组列车所用的时间﹣乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间＝1，根据等量关系列式．
【解析】解：乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间为，乘坐普通动车组列车所用的时间为：，
所以可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别求出乘坐普通动车组列车和乘坐高速动车组列车，找出等量关系，列方程．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．分式，，的最简公分母是 　20xy2　．
【点拨】按照求最简公分母的方法求解即可．
【解析】解：∵2、4、5的最小公倍数为20，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为2，
∴最简公分母为20xy2，
故答案为：20xy2．
【点睛】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12．如果分式的值为0，那么x的值是 　3　．
【点拨】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解析】解：由题意得：
，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
13．化简：＝　3a﹣3b　．
【点拨】分子直接提取公因式3，然后利用平方差公式即可求解．
【解析】解：原式＝＝3a﹣3b．
故答案为：3a﹣3b．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
14．关于x的分式方程有增根，则m＝　﹣1　．
【点拨】根据分式方程有增根，即可得到x＝2，进而得到m的值．
【解析】解：去分母，得2x﹣（3﹣m）＝x﹣2，
解得x＝1﹣m，
∵分式方程有增根，
∴该分式方程增根为x＝2，
∴1﹣m＝2，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．
15．定义新运算：，若，则的值是 　﹣2　．
【点拨】根据新定义运算以及分式加减法的计算方法进行计算即可．
【解析】解：∵，，
∴﹣＝，
即＝，
∴＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查分式加减法，新定义运算，掌握新定义运算的意义以及分式加减法的计算方法是正确解答的关键．
16．若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 　﹣3　．
【点拨】根据分式的值为整数，x的值也为整数，可得x﹣1＝±4或±2或±1，求出x的值，即可确定x的最小值．
【解析】解：分式的值为整数，x的值也为整数，
∴x﹣1＝±4或±2或±1，
∴x＝5或﹣3或3或﹣1或2或0，
∴x的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了分式的值，理解题意是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）先利用相反数和分数的性质，把分式化为同分母的分式，再加减；
（2）利用分式的除法法则直接计算；
（3）先把分式的分子、分母因式分解，再按分式的除法法则计算；
（4）先算括号里面的减法，再算除法．
【解析】解：（1）
＝﹣
＝
＝1；
（2）
＝×
＝；
（3）
＝×
＝；
（4）
＝[﹣]×
＝×
＝×
＝．
【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则、分式的性质是解决本题的关键．
18．下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：．
解：方程两边同乘x﹣2，得x﹣3+2＝﹣3第一步
解得x＝﹣2第二步
∴原分式方程的解为x＝﹣2第三步
（1）上面的解题过程从第 　一　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　常数项漏乘最简公分母　；
（2）请写出正确的解题过程．
【点拨】（1）根据解分式方程的步骤即可得到答案；
（2）按照解分式方程的正确步骤进行解答即可．
【解析】解：（1）上面的解题过程从第一开始出现错误，这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母；
故答案为：一，常数项漏乘最简公分母
（2）
方程两边同乘x﹣2，得
x﹣3+2（x﹣2）＝﹣3，
解得，
当时，，
∴原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
19．解方程：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先去分母化成整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；
（2）先去分母得到整式方程x＝2x﹣1+2，求出x＝﹣1，检验即可．
【解析】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
（x+3）（x﹣1）+4＝x2﹣1，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）两边都乘以2x﹣1，得
x＝2x﹣1+2，
解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为x＝﹣1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握等式的性质以及分式方程的解法是正确解答的关键，解分式方程一定注意检验．
20．先化简，再求值；其中x、y满足（x+2）2+＝0．
【点拨】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据（x+2）2+＝0，可以得到x、y的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：
＝﹣
＝﹣
＝，
∵（x+2）2+＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
当x＝﹣2，y＝3时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的计算法则．
21．定义a b＝2a+．根据定义，解答下列问题：
（1）2 （﹣1）＝　3　；
（2）计算；
（3）求方程2 （x﹣2）＝1 （4﹣2x）的解．
【点拨】（1）根据定义的运算列式计算即可；
（2）根据定义的运算列式计算即可；
（3）根据定义的运算列得分式方程，解方程并检验即可．
【解析】解：（1）原式＝2×2+
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3；
（2）原式＝+﹣（+）
＝+﹣﹣
＝﹣
＝
＝；
（3）由题意可得4+＝2+，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解．
【点睛】本题考查有理数及分式的运算，解分式方程，结合已知条件列得正确的算式及方程是解题的关键．
22．已知，求和的值．
【点拨】利用完全平方公式变形，即可解答．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，解决本题的关键是利用完全平方公式变形．
23．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米．
（1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？
（2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？
【点拨】（1）设乙工程队修建步道x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米，根据半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出乙工程队修建步道的长度，再将其代入（2x﹣400）中，即可求出甲工程队修建步道的长度；
（2）设乙工程队每天修建步道y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出乙工程队每天修建步道的长度，再将其代入（y+5）中，即可求出甲工程队每天修建步道的长度．
【解析】解：（1）设乙工程队修建步道x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米，
根据题意得：2x﹣400+x＝2000，
解得：x＝800，
∴2x﹣400＝2×800﹣400＝1200（米）．
答：甲工程队修建步道1200米，乙工程队修建步道800米；
（2）设乙工程队每天修建步道y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米，
根据题意得：＝×1.2，
解得：y＝20，
经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴y+5＝20+5＝25（米）．
答：甲工程队每天修建步道25米，乙工程队每天修建步道20米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．先阅读下面的材料，然后回答问题
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 　x1＝2019；　．
（2）猜想关于x的方程的解并验证你的结论．
（3）请仿照上述方程的解法，对方程进行变形，并求出方程的解．
【点拨】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【解析】解：（1）猜想方程x+＝2019+的解是x1＝2019，x2＝，
故答案为：x1＝2019，x2＝；
（2）猜想关于x的方程x﹣＝﹣+3的解为x1＝3，x2＝﹣，理由为：
方程变形得：x+（﹣）＝3+（﹣），依此类推得到解为x1＝3，x2＝﹣；
（3）方程变形，得，
∴y+2＝2022或，
解得y1＝2020，，
所以原方程的解是y1＝2020，．
【点睛】此题考查了分式方程的解和数字类的规律问题，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
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