第5章 分式 单元检测B卷(提升卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第5章 分式 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春 镇海区校级期末）下列各式中，成立的是（　　）
A． B．＝ C．＝ D．＝（a≠﹣1）
4．下列约分正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
6．化简的结果为（　　）
A．a﹣3 B．a C．3 D．
7．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
9．设p＝，q＝，则p，q的关系是（　　）
A．p＝q B．p＞q C．p+q＝0 D．p＜q
10．若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣3或1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．①当x 　 　时，分式有意义．
②若分式的值为0，则x＝　 　．
12．分式和的最简公分母是 　 　．
13．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b＝，如3※2＝．若（x﹣4）※（x+1）＝0，则x的值为 　 　．
14．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　 　．
15．已知，则＝　 　．
16．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的负整数k的值是 　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．计算：
（1）（﹣3xy）÷ （）2；
（2）（﹣）÷ （+）．
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．老师在黑板上出了一道题：“先化简，再求值：，其中x＝2021．”，小敏同学把条件“x＝2021”错抄成“x＝2012”，但她的结果也是正确的，请你通过计算说明理由．
21．给出4个整式：2，x+2，x﹣2，2x+1．
（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；
（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式．请你列出一个算式，并写出运算过程．
22．观察下面的等式：，，，，……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，其中n为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
23．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
（2）若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为1.5万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
24．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：﹣＝0．
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣2．
经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1；
当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
B．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义（已知A、B都是整式，如果式子的分母B中含有字母，那么式子叫分式）是解此题的关键．
2．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【解析】解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝＝x+y，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
3．（2023春 镇海区校级期末）下列各式中，成立的是（　　）
A． B．＝ C．＝ D．＝（a≠﹣1）
【点拨】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：∵a≠﹣1，
∴a﹣1≠0，
根据分式的基本性质得，＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4．下列约分正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变．
【解析】解：A、原式＝a3，故A选项不合题意；
B、原式不能约分，故B选项不合题意；
C、原式不能约分，故C选项不合题意；
D、原式＝＝，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质及变号法则，正确确定公因式是关键，要特别注意性质中“都”和“同”的含义．
5．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【点拨】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解析】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
6．化简的结果为（　　）
A．a﹣3 B．a C．3 D．
【点拨】首先把分母（3﹣a）化为（a﹣3），再根据同分母分式加减法法则计算，分子用完全平方公式分解因式后约分即可．
【解析】解：
＝+
＝
＝
＝a﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则，用完全平方公式分解因式后约分是解题关键．
7．从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【点拨】等量关系为：乘坐普通动车组列车所用的时间﹣乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间＝1，根据等量关系列式．
【解析】解：乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间为，乘坐普通动车组列车所用的时间为：，
所以可列方程为：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是分别求出乘坐普通动车组列车和乘坐高速动车组列车，找出等量关系，列方程．
8．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意残损部分的式子为 +，再计算即可．
【解析】解：残损部分的式子为 +
＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
9．设p＝，q＝，则p，q的关系是（　　）
A．p＝q B．p＞q C．p+q＝0 D．p＜q
【点拨】把两个式子进行相加运算，从而可得结果．
【解析】解：∵p＝，q＝，
∴p+q
＝+
＝
＝1﹣1
＝0，
即p+q＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．0或﹣1 C．0或1 D．﹣3或1
【点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解析】解：方程去分母得：mx＝﹣3，
解得：x＝，
∴当x＝﹣3时分母为0，方程无解，
即＝﹣3，
∴m＝1时方程无解，
∵，
∴当m＝0时，0≠﹣，
∴方程也无解．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是得出当m＝0时，方程无解．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．①当x 　≠1　时，分式有意义．
②若分式的值为0，则x＝　﹣3　．
【点拨】①根据分式有意义的条件即可求出结果；
②根据分式的值为0的条件即可求出结果．
【解析】解：①∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，即x≠1；
②∵分式的值为0，
∴x﹣3≠0，且|x|﹣3＝0，
∴x＝﹣3，
故答案为：≠1；﹣3．
【点评】本题考查分式有意义的条件及分式的值为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件及分式的值为0的条件是解题的关键．
12．分式和的最简公分母是 　x（x﹣2）　．
【点拨】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此解答即可．
【解析】解：＝，则分式，的分母分别是（x﹣2）、x（x﹣2），所以它们的最简公分母是x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
13．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定a※b＝，如3※2＝．若（x﹣4）※（x+1）＝0，则x的值为 　﹣6　．
【点拨】根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
【解析】解：∵，
∴（x﹣4）※（x+1）
＝，
∵（x﹣4）※（x+1）＝0，
∴，
解得：x＝﹣6，
经检验，x＝﹣6是的解．
故答案为：﹣6
【点评】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．
14．若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　　．
【点拨】把p，b看作已知数求出a即可．
【解析】解：由p＝，变形得：pa＝b﹣a，
解得：a＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．已知，则＝　7　．
【点拨】利用整体代入的思想计算即可．
【解析】解：∵+＝2，
∴x+y＝2xy，
∴＝＝＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查分式的加减法，分式的值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
16．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的负整数k的值是 　﹣1　．
【点拨】根据分式方程的解以及整数解的定义可求出相应的k的值，再根据分式方程增根的定义进一步确定k的取值，再由负整数解的意义进行解答即可．
【解析】解：将关于x的方程的两边都乘以x+1，得
kx﹣x﹣1＝3，
解得x＝，
由于分式方程的解为整数，
∴k﹣1＝±1或k﹣1＝±2或k﹣1＝±4，
解得k＝2或k＝0或k＝3或k＝﹣1或＝5或k＝﹣3，
由于分式方程的增根为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即k﹣1＝﹣4，
解得k＝﹣3，
因此k≠﹣3，
∴k为负整数且k≠﹣3，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程的增根以及整数解的意义是正确解答的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【点拨】（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
（2）先通分，然后利用同分母分式的运算法则求解即可．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的减法和除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
18．计算：
（1）（﹣3xy）÷ （）2；
（2）（﹣）÷ （+）．
【点拨】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可；
（2）先算括号内的加减，再把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解析】解：（1）原式＝（﹣3xy）÷
＝（﹣3xy）
＝﹣；
（2）原式＝÷
＝
＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．解方程：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【解析】解：（1），
去分母得：2x+9＝﹣4x+7，
整理得：6x＝﹣2，
解得：，
检验：当时，3﹣x≠0，
∴是原方程的根；
（2），
∴，
去分母得：（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得：2x＝2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是方程的增根，原方程无解．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．
20．老师在黑板上出了一道题：“先化简，再求值：，其中x＝2021．”，小敏同学把条件“x＝2021”错抄成“x＝2012”，但她的结果也是正确的，请你通过计算说明理由．
【点拨】先将分式中的分子分母分解因式，然后化简，观察结果，即可得到小敏同学把条件“x＝2021”错抄成“x＝2012”，但她的结果也是正确的．
【解析】解：
＝ ﹣x
＝x﹣x
＝0，
∵化简后的结果不含x，
∴小敏同学把条件“x＝2021”错抄成“x＝2012”，但她的结果也是正确的．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
21．给出4个整式：2，x+2，x﹣2，2x+1．
（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；
（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式．请你列出一个算式，并写出运算过程．
【点拨】（1）根据分式的定义即可写出，答案不唯一；
（2）由于4个整式中2是常数，次数为0，另外三个都是含同一个字母x的一次二项式，根据多项式的乘法法则，从这三个一次二项式中选择两个相乘（不能同时选择x+2与x﹣2），即可得出一个二次三项式，答案不唯一．
【解析】解：（1）从4个整式：2，x+2，x﹣2，2x+1中选择2个整式，写出的分式有：，等，答案不唯一；
（2）从4个整式：2，x+2，x﹣2，2x+1中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式的有：
（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，答案不唯一．
【点评】本题是开放性试题，答案不唯一．主要考查了分式的定义及多项式的乘法法则．
分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
22．观察下面的等式：，，，，……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，其中n为正整数）．
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【点拨】（1）利用已知等式中各分母之间的数量关系得到一般的结论为＝+（n为正整数）；
（2）利用通分把等式右边通分、约分得到等式的左边．
【解析】解：（1）一般的结论为：＝+（n为正整数）；
（2）∵+＝+＝＝，
∴＝+（n为正整数）．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
23．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成．
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？
（2）若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为1.5万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【点拨】（1）设乙施工队每天修建的长度为x千米，则甲施工队每天修建1.5x千米，列方程并进行计算，注意验根；
（2）设甲施工队单独修建y天，列式1.5×（y+3）+1×3＝12，得出y＝3，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答．
【解析】解：（1）设乙施工队每天修建的长度为x千米，则甲施工队每天修建1.5x千米，
依题意，得，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
∴1.5×1＝1.5（千米），
∴甲施工队每天修建1.5千米，乙施工队每天修建1千米；
（2）设甲施工队单独修建y天，
依题意，得1.5×（y+3）+1×3＝12，
解得y＝3，
∴甲施工队单独修建3天，
则20000×（3+3）+15000×3＝165000（元），
∴共需修建费用165000元．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：﹣＝0．
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣2．
经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得：x＝﹣1；
当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程﹣＝0中，设y＝，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
【点拨】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解析】解：（1）将代入原方程，则原方程化为．
故答案为：；
（2）将代入方程，则原方程可化为．
故答案为：；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解，
当y＝1时，，该方程无解，
当y＝﹣1时，，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．
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