浙教版七年级下册数学 第五章 分式 综合练习（含解析）

浙教版七年级下册数学分式综合练习
一、选择题
1．在式子① ，② ，③ ，④ 中，是分式的个数（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x≠﹣10
3．把分式中的分子与分母都变为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．变为原来的6倍 B．变为原来的倍
C．变为原来的2倍 D．不变
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．方程的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
7．若分式方程无解，则实数的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
8．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
9．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组 有解，且使关于x的分式方程 ﹣1= 有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题
11．化简 　 　.
12．若，则　 　．
13．甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x天完成，列方程得　 　．
14．若方程的解为，则方程的解为　 　．
15．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
16．若，则　 　．
三、解答题
17． 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M，并写出完整的解答过程．
例：先化简，再求值：，其中 解：原式． ……
（1）整式　 　；
（2）请写出完整的解答过程．
18．先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
19．已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
20．圆圆和方方在做一道练习题：已知，试比较与的大小．
圆圆说：“当时，有，；因为，所以”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
21． 数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数． 小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，①求x的值．②求的值．
（2）若，则　 　．
22．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
23．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式.一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”.
（1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是　 　.
①；②；③.
（2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”.
①求真分式；②当时，求的值.
（3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】① 是分式；② 是整式；③ 是分式；④ 是整式，
所以分式有2个，
故答案为：C.
【分析】根据分式的定义结合整式的概念逐一进行分析即可得.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据分母不为0，建立不等式求解。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：分式中的a，b都扩大为原来的2倍得：
，
∴分式的值变为原来的2倍，
故答案为：C.
【分析】分别用2a、2b替换原式中的a、b，分子利用单项式的乘法法则计算，分母利用提取公因式法分解因式，然后约分化简，进而与原式比较即可得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式，不符合题意；
B、原式不能约分，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，可判断A；B中分式的分子、分母没有公因式，不能约分，据此可判断；根据异分母分式的加法，先通分为同分母分式，然后分母不变，分子相加，可判断C；首先将除法化为乘法，再根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”可判断D.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：=.
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质，即分子分母同时扩大或缩小分式值保持不变，即给分子分母同乘以10可得，即可得出正确答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】
解：
因式分解得：.
通分得：.
去分母得：x＋2＋x－2＝2
合并同类项得：2x＝2
系数化为1得：x＝2÷2
x＝1
经检验：x=1为该分式方程的根
故答案为：A
【分析】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题关键.
7．【答案】D
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 有解，
∴直线y=﹣2x+2与直线y= x+ 不平行，
∴ ≠﹣2，
∴m≠﹣4，
解 ﹣1= 得，x=4﹣m，
∵x=4﹣m是正数，
∴m=﹣3，1，3，
当m=3时，原方式方程无意义，
故m=﹣3，1，
∴﹣3+1=﹣2，
故答案为：D．
【分析】可数形结合，方程组有解即两直线相交，解析式中的k不等，即m≠﹣4，又分式方程有正数解，即分式方程的解是正数且不能使分母为0的数，4-m>0，且4-m1，即-3+1=-2.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
11．【答案】
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】将分子利用平方差公式因式分解，然后约分即可解答.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意导出x与y的之间的等量关系，再将所求式子中的x用y表示，即可计算.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，
由题意，得
．
故答案为 ．
【分析】设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，由题意，列方程，解之即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
【分析】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x=是方程的解，即得2y=，即可求得y的值.
15．【答案】4：5
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
16．【答案】或
【解析】【解答】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，；
当a2+3a+1=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为0或.
故答案为：0或.
【分析】先将已知方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而得出a=0或a2+3a+1=0，从而分两种情况求值；当a=0时易得所求式子的 值为零；当a2+3a+1=0时，等式的两边同时除以a得，再将该式两边同时平方得，进而可求出待求式子的倒数，即可解决此题.
17．【答案】（1）
（2）解：原式=—===
当=2023时，代入原式==
【解析】【解答】解：（1）由题可得
【分析】（1）根据解题过程，由分式的基本性质即可求解；
（2）先通分、化简后将a的值代入计算即可求解.
18．【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【解析】【分析】先将被除式的分母利用完全平方公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，接着利用同分母分式的减法法则计算分式的减法得到最简结果，最后根据分式有意义，把代入，计算求解即可．
19．【答案】（1）解：当▲＝6时，方程为，
方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
所以x＝5是原分式方程的解；
（2）解：设▲＝m，，
方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，
把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：
m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴原分式方程中“▲”代表的数为2．
【解析】【分析】（1）把▲=6代入方程，解分式方程即可；
（2）设▲为m，根据分式方程无解得到增根，求解即可．
20．【答案】解：
【解析】【分析】根据异分母分式的减法法则计算，求出，可得差值小于0，则．
21．【答案】（1）解：①当时，，
整理得，
，
解得，
②∵，
∴
.
（2）23
【解析】【解答】解：（2）当时，联立方程组得
将，得：
整理，得：，
，
又∵
∴，
将①+②，得：，
整理，得：，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【分析】（1）①当时，，整理得到，然后利用因式分解法解此方程即可求出x的值；
②将x和y的值代入计算即可；
（2）当时，联立方程组得，用①-②得，用①+②得，进而根据完全平方公式恒等变形求出，进而即可求解.
22．【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
23．【答案】（1）②
（2）解：①∵，
∴
②∵，
∴.
当时，
（3）解：，0，1，3，4，6
【解析】【解答】】解：（1）①∵
，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
②∵，
则该分式与假分式的和是整式，
∴该分式与假分式互为“和整分式”；
③∵，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
故答案为：②；
（2）①∵，
又∵存在一个真分式与互为“和整分式”，
∴；
②∵，
∴，
当时，；
（3）∵与均与真分式互为“和整分式”，
设，，
∴，都是整式，且，
∵的值为整数，
∴为整数，
∴能被整除，且即，
∴或或，
解得：或或或或或，
∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数．
【分析】（1）根据“和整分式”的定义结合题意进行判断即可求解；
（2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据得到，进而代入计算即可求解；
（3）先根据“和整分式”的定义可得出为整数，进而即可求解；
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