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第3章《整式的乘除》单元综合测试培优卷（原卷版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算（ab）3的结果为（ ）
A．ab3 B．a3b C．a3b3 D．3ab
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2
B．2a3 3a2＝6a6
C．（m﹣n）6÷（n﹣m）3＝（n﹣m）3
D．（﹣2x3）4＝8x12
4．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 的乘积中不含 项和 项，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
6．计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（ ）
A．x +1 B．x ﹣1 C．（x+1） D．（x﹣1）
7．已知 、 均为正整数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a
10．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（ ）
A． B．- C．6 D．-6
11．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
12．如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．计算： .
14．如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
15．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
16．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶（约公元年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为 ．
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
18．（本小题8分）计算：
（1）2a2×（﹣2ab）×（﹣ab）3
（2）（﹣ xy2）3 （2xy3）3 y2．
19．（本小题8分）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
20．（本小题8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以用a，b表示阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式)．
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为 (用式子表达)．
（4）运用你所得到的公式，计算：
①101×99 ；
②2X(3+ 1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1．
21．（本小题8分）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含a．b的式子表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
22．（本小题8分）一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式： .
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 块， 块， 块；
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是 （填序号）.
① x+y＝m；② x2﹣y2＝mn；③ 4xy ④ x2+y2＝ .
23．（本小题8分）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
24．（本小题8分）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系： ；
（2）若，，则 ； ；
（3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为m，n（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
25．（本小题8分）“杨辉三角”揭示了 (为非负整数)展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是在年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年．请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
第一行
第二行 各项系数和为
第三行 各项系数和为
第四行
第五行
根据上述规律，完成下列各题：
（1）第四行各项系数和为
（2）第五行各项系数和为
（3）将展开后，各项的系数和为 ．
（4） ．
（5）将展开后，各项的系数和为 ．
（6）
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行 … …
若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ．
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第3章《整式的乘除》单元综合测试培优卷（答案解析版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.，能用平方差公式计算，不符合题意；
B.，不能用平方差公式计算，符合题意；
C.，能用平方差公式计算，不符合题意；
D.，能用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．计算（ab）3的结果为（ ）
A．ab3 B．a3b C．a3b3 D．3ab
【答案】C
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】解：（ab）3＝a3b3.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”进行计算.
3．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2
B．2a3 3a2＝6a6
C．（m﹣n）6÷（n﹣m）3＝（n﹣m）3
D．（﹣2x3）4＝8x12
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：（A）原式＝a2+2ab+b2，故A错误.
（B）原式＝6a5，故B错误.
（C）原式＝（n﹣m）6÷（n﹣m）3＝（n﹣m）3，
（D）原式＝16x12，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可得原式=a2+2ab+b2；
B、由单项式乘以单项式法则可得原式=6a5；
C、由题意把（n-m）看作一个整体，再根据单项式除以单项式法则可得原式=（n-m）3；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可得原式=16x12.
4．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵平方差公式为
，
两个因式中都是两项式，一项相同，另一项互为相反数；
A.
两项都是互为相反数，不能用平方差公式计算，A符合题意；
B.
两个因式中都是两项式，前项相同，后项互为相反数，
，能用平方差公式计算，B不符合题意；
C.
两个因式中都是两项式，后项相同，前项互为相反数
能用平方差公式计算，C不符合题意；
D.
两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，
前一项相同，后一项互为相反数，可以用平方差公式计算，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用平方差的计算方法逐项判断即可。
5．已知 的乘积中不含 项和 项，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
中不含 项和 项，
解得：
故答案为：B.
【分析】利用多项式与多项式的乘法法则可得：(x2+ax)(x2-3x+b)=x4+(a-3)x3+(b-3a)x2+abx，结合题意可得b-3a=0且a-3=0，求解即可.
6．计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（ ）
A．x +1 B．x ﹣1 C．（x+1） D．（x﹣1）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1），
＝（x4+1）（x2+1）（x2﹣1），
＝（x4+1）（x4﹣1），
＝x8﹣1．
故答案为：B．
【分析】多次利用平方差公式计算即可.
7．已知 、 均为正整数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = .
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方，把 变形为 ，然后把 代入计算即可.
8．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故答案为：B．
【分析】设出图1中长方形的宽为d，根据题意表示出，代入 即可解答.
9．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
10．当x=-6，y=时，x2018y2019的值为（ ）
A． B．- C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2018y2019=x2018y2018y，x=-6，y=，
∴原式=（xy）2018y=（-6×）2018 ×=，
故答案为：A.
【分析】先根据同底数幂乘方的逆运算将y2019转化为y2018y，再利用积的乘方的逆运算将原式变形为（xy）2018y，代入已知条件求解即可.
11．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
12．如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则① ；② ；③ ；④ ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图得x-y=n， x+y=m，
则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn，
x-y+x+y=2x=m+n，
(x+y)-(x-y)=2y=m-n，
∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2，
∴，
∴
∴①②③ 正确， ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x，y用m，n的代数式表示，根据x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．计算： .
【答案】a5
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：a2×a3=a2+3=a5.
故答案为：a5.
【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.
14．如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵小球的半径为r，
∴一个小球的体积=，沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，
∴摆放小球的总数=·=，
∴摆放小球的总体积=·=，
∵长方体体积=2abr，
∴纸盒的空间利用率==.
故答案为：.
【分析】根据球体体积公式求出一个小球的体积，再表示出沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，即得摆放小球的总数，从而得摆放小球的总体积，再求出长方体体积，最后根据纸盒的空间利用率=小球的总体积÷纸箱的容积，代入数据化简求值即可.
15．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
【答案】7﹣7i
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2
＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i2﹣7i
＝6﹣（﹣1）﹣7i
＝7﹣7i.
故答案为：7﹣7i.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，然后结合i2=-1进行计算.
16．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自世纪中叶（约公元年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．请你探索杨辉三角中每一行中所有数字之和的规律，并求出第行中所有数字之和为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘方法则；单项式的次数与系数
【解析】【解答】杨辉三角形的规律公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2n-1。
5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
6、第n行的第m个数和第n-m个数相等。
依据第4个公式，第2022行数字之和是22022-1=22021
故填：22021
【分析】了解杨辉三角形的相关公式。
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
18．（本小题8分）计算：
（1）2a2×（﹣2ab）×（﹣ab）3
（2）（﹣ xy2）3 （2xy3）3 y2．
【答案】（1）解：原式=2a2×2ab×a3b3
=4a6b4
（2）解：原式=﹣ x3y6 8x3y9 y2
=﹣8x6y17
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可；（2）根据积的乘方和单项式乘以单项式的法则进行计算即可．
19．（本小题8分）如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，分别表示边长为x、y的正方形的面积，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵整个大正方形的面积为：（a+b）2，四个小长方形的面积为4ab，中间小正方形的面积为（a-b）2，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
【分析】（1）根据几何图形的面积计算方法分别算出各个图形的面积，进而根据大正方形的面积-四个矩形的面积=小正方形的面积得出关系式；
（2）根据（1）的结论得（m-n）2=（m+n）2-4mn，整体代入算出（m-n）2的值，再开平方即可得出答案；
（3）根据正方形的面积公式可得S1+S2=x2+y2=20，根据x+y=6可得（x+y）2=x2+y2+2xy=36，然后整体代入可求出xy的值，进而根据三角形面积计算公式列式后整体代入计算即可.
20．（本小题8分）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以用a，b表示阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式)．
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为 (用式子表达)．
（4）运用你所得到的公式，计算：
①101×99 ；
②2X(3+ 1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1．
【答案】（1）a2-b2
（2）；；
（3）a2-b2=（a+b）（a-b）
（4）解：①原式.
②原式
.
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形面积-小正方形面积，
故阴影部分的面积为：a2-b2；
故答案为：a2-b2.
（2）矩形的宽是a-b，长是a+b，面积是（a+b）（a-b）；
故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）.
（3）∵图1与图2面积相等
故可得到a2-b2=（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）.
【分析】（1）阴影部分的面积计算方法为大的正方形面积减去小的正方形面积，即可得出答案；
（2）则根据图形即可得出答案；
（3）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（4）①根据两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差进行计算即可；②将2转化为（3-1），根据两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差计算即可求解.
21．（本小题8分）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含a．b的式子表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【答案】（1）a2﹣b2；（a＋b）（a﹣b）
（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202＋1
＝1．
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ＝a2﹣b2，S ＝（a＋b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案为：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【分析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得答案；
（2）由（1）所得 S 和 S 的面积相等，可得答案；
（3）根据（2）中的公式，将 2019×2021 写成 （2020﹣1）×（2020＋1） ，再按照平方差公式进行化简，再按照有理数的混合运算计算出答案即可。
22．（本小题8分）一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式： .
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 块， 块， 块；
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是 （填序号）.
① x+y＝m；② x2﹣y2＝mn；③ 4xy ④ x2+y2＝ .
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
（2）2；7；3
（3）①②③④
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2.（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2
故答案为：2；7；3.（3）∵x+y=m
∴①正确；
∵x+y=m，x-y=n
∴（x+y）（x-y）=mn，即x2-y2=mn，
∴②正确；
∵m2-n2=4xy
故③正确；
∵m2+n2=（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=2（x2+y2）
∴④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】（1）由图形根据面积公式可得答案；（2）将（a+3b）（2a+b）展开化简即可得答案；（3）根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个.
23．（本小题8分）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得：，，
；
（3）解：由题意得，图中阴影部分的面积为：，
，，
图中阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据所给的图形判断求解即可；
（2）根据图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为， 求出 ，， 再求解即可；
（3）先求出 ，， 再求阴影部分的面积即可。
24．（本小题8分）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系： ；
（2）若，，则 ； ；
（3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为m，n（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
【答案】（1）
（2）28；20
（3）解：如图所示，
由题意得，，
∵长方形的周长为12，面积为，
∴，
∴
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） 图1中，阴影部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2，
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；
故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2） ∵，，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=62-2×4=28，
（x-y）2=x2+y2-2xy=28-2×4=20；
故答案为：28，20.
【分析】（1）由图1中的阴影部分的面积的两种不同表示，即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式变形为x2+y2=（x+y）2-2xy，（x-y）2=x2+y2-2xy，然后代入计算即可；
（3）由题意得，则m+n=6，mn=8.5，从而求出m2+n2=19，根据，再代入计算即可.
25．（本小题8分）“杨辉三角”揭示了 (为非负整数)展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是在年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年．请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
第一行
第二行 各项系数和为
第三行 各项系数和为
第四行
第五行
根据上述规律，完成下列各题：
（1）第四行各项系数和为
（2）第五行各项系数和为
（3）将展开后，各项的系数和为 ．
（4） ．
（5）将展开后，各项的系数和为 ．
（6）
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行 … …
若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ，表示的数是 ．
【答案】（1）8
（2）16
（3）32
（4）
（5）
（6）；
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（1）第四行各项系数和为，
故答案为：8；
（2）第五行各项系数和为，
故答案为：16；
（3）将展开后，各项的系数和为，
故答案为：32；
（4）由题意得，
故答案为：；
（5）由题意得第二行各项系数和为，第三行各项系数和为，第四行各项系数和为.......
∴将展开后，各项的系数和为，
故答案为：；
（6）由“莱布尼茨三角形”所呈现的规律可得，表示的数是，表示的数是，
故答案为：；
【分析】（1）根据题目数据即可求解；
（2）根据题目数据即可求解；
（3）根据的各项系数即可求解；
（4）根据题目的规律结合题意即可求解；
（5）根据每一行的数据即可得到将展开后，各项的系数和为；
（6）根据“莱布尼茨三角形”所呈现的规律结合题意即可求解。
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