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第5章《分式》单元测试·拔尖卷（原卷版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如果x2+x﹣3＝0，那么代数式（ ﹣1）÷ 的值为（ ）
A．﹣ B．0 C． D．3
3．当 时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输 兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式 ＝0，则x的值为（ ）
A．±3 B．3 C．－3 D．0
6．已知： ， 则 的值是（ ）
A． B． C．3 D．-3
7．为满足市场需求，某大型
产品生产厂家更新技术，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产
万件产品，依题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
9．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
11．如图1，设 ，则有（ ）.
A．02
12．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（ ）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．若代数式有意义，则x的取值范围是 .
14．若关于 x 的方程 无解，则 m＝ ．
15．某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
16．某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
18．（本小题8分）化简下列各式．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
19．（本小题8分）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
20．（本小题8分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱。已知A型号的冰墩墩手办比B型号的冰墩墩钥匙扣的单价多30元，用880元购买A型号手办的数量是用290元购买B型号钥匙扣数量的2倍．
（1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6800元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？
21．（本小题8分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
22．（本小题8分）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍．
（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价．
（2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？
（3）在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠元，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？
23．（本小题8分）大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案.
方案一：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆.
方案二：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆.
方案三：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆.
（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？
（2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由.
24．（本小题8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 270 500元
餐椅 a﹣110 70
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同.
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变.商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案.
25．（本小题8分）我们把分子为1的分数叫做单位分数，如： ， ， ， 任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如“ = + ”，“ = + ”……
（1）根据对上述式子的观察，你会发现． = + ·请将问题中的空格补充完整．
（2）进一步思考，单位分数 （n是不小于2的正整数），请写出■和●所表示的代数式，并对你的结论进行验证．
（3）请用（2）中你找出的规律解方程
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第5章《分式》单元测试·拔尖卷（答案解析版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由函数 可得：
x+2≥0， ，
∴x≥-2，x≠-2，
∴x＞-2.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0，分式的分母不等于0，可列出不等式，求解可以得出x的范围.
2．如果x2+x﹣3＝0，那么代数式（ ﹣1）÷ 的值为（ ）
A．﹣ B．0 C． D．3
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式＝（ ）÷
＝
＝
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴原式＝ ，
故答案为：C．
【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
3．当 时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵当 时，x-1=0，
∴ 没有意义，故A选项符合题意；
∵当 时，x≠0，
∴ 有意义，故B选项不符合题意；
∵当 时，x+1≠0，
∴ 有意义，故C选项不符合题意；
∵当 时，x≠0，
∴ 有意义，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式无意义的条件是分母等于0，从而逐一判断选项，即可得到答案.
4．世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输 兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设4G网络的峰值速率为每秒传输
兆数据，依题意，可列方程是：
．
故答案为：A．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输
兆数据，可得5G网络峰值速率为10x兆数据，根据“ 在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒 ”列出方程即可.
5．若分式 ＝0，则x的值为（ ）
A．±3 B．3 C．－3 D．0
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 由题意得：3x2-27=0 ，
∴3（x2-9）=0,
∴3（x-3）(x+3)=0,
∴x=3或x=-3，
∵x-3≠0，
∴x≠3.
∴x=-3.
故答案为：C.
【分析】先令分子等于0，用分解因式法解一元二次方程，结合分母不等于0，求出x的范围，即可确定x的值.
6．已知： ， 则 的值是（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵=
∴=3
∴
故答案为：D.
【分析】根据题意，将式子通分，分子分母倒置，即可得到式子的解。
7．为满足市场需求，某大型
产品生产厂家更新技术，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产
万件产品，依题意得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：现在工作效率=更新技术前工作效率+30；500÷现在工作效率=400÷更新技术前工作效率，列方程即可.
8．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
9．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
10．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
11．如图1，设 ，则有（ ）.
A．02
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；分式的化简求值
【解析】【解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2，
乙图中的阴影部分面积=a2-ab，
K=
=1+，
∵a>b>0，
∴0<<1，
∴ 1故答案为：C.
【分析】分别把图甲和图乙的阴影部分面积用字母表示出来，则k的表达式可知，然后再对右边分式的分子分母分解因式，约分化简，结合a>b>0， 则值的范围， 于是k的取值范围可求.
12．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（ ）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．若代数式有意义，则x的取值范围是 .
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：1-x≥0，且x+1≠0，
∴且
故答案为：且.
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得1-x≥0且x+1≠0，求解可得x的范围.
14．若关于 x 的方程 无解，则 m＝ ．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】原方程可化为x－3=－m，∴x=3－m，由已知得：3－m=2，∴m=1．
【分析】根据解分式方程的步骤，求出分式方程的解为x=3－m，由于分式方程无解，可知分式方程有增根且增根为2，可得x=3－m，从而求出m的值.
15．某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
16．某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
【答案】1500
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
【分析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
【答案】（1）①
（2）否；去括号时，字母y的符号没有变号
（3）解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）小明的计算步骤中，从第①步开始出现错误，题目中有减法和除法，应该先算除法，再算减法，而小明先算的减法，所以出现错误了；
故答案为：①；
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算不正确，错误的原因是去括号时字母y的符号没有变号；
故答案为：否；去括号时字母y的符号没有变号；
【分析】（1）第①步就错了，运算顺序错了，应该先算除法，再算减法；
（2）运算不正确，第一个分式的分子化简出错了，去括号时没有变号；
（3）先把第三项分子分母因式分解，然后把除法转化为乘法并进行约分，最后再通分，需要注意的是减去一个多项式需要加括号，并且去括号一定要变号.
18．（本小题8分）化简下列各式．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1）解： =﹣
（2）解： =﹣
（3）解： =
（4）解： = =
（5）解： = =
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】根据分式的基本性质作答，分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．
19．（本小题8分）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
20．（本小题8分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱。已知A型号的冰墩墩手办比B型号的冰墩墩钥匙扣的单价多30元，用880元购买A型号手办的数量是用290元购买B型号钥匙扣数量的2倍．
（1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6800元，求最多能购买多少个A型号的纪念品？
【答案】（1）解：设B型号的冰墩墩钥匙扣的单价为x元，A型号的冰墩墩手办的单价为(x+30)元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴
所以，A型号的冰墩墩手办的单价为88元，B型号的冰墩墩钥匙扣的单价为58元．
（2）解：设最多能购买m个A型号的纪念品，(100-m)个B型号的纪念品，根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴最多能购买33个A型号的纪念品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设B型号的冰墩墩钥匙扣的单价为x元，A型号的冰墩墩手办的单价为(x+30)元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设最多能购买m个A型号的纪念品，(100-m)个B型号的纪念品，根据题意列出不等式求解即可。
21．（本小题8分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）解：设篮球每个x元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：（元），
答：篮球每个100元，足球每个80元
（2）解：由题意得：，
即w与m的函数关系式为
（3）解：由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】 (1)、设篮球每个x元，足球每个元， 根据 购买篮球的个数比足球的个数少2个，列出等量关系式求出.
(2)、 根据题意列出函数关系式.
(3)、根据计划总费用不多于5200元列出不等式，根据一次函数的性质求出最小值.
22．（本小题8分）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍．
（1）求甲、乙两种品牌篮球的单价．
（2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？
（3）在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠元，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？
【答案】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元
（2）解：设购买甲品牌篮球m个，则购买乙品牌篮球个，
由题意可得，且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴该校共有11种购买方案
（3）解：设总利润为W，
则，
①当时，，W随m的增大而增大，
所以，当时，W有最小值，，
即此时应购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个；
②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；；
③当时，，W随m的增大而减小，
所以，当时，W有最小值，；
即此时应购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为（x+40）元，根据数量=总价÷单价，结合题意列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设购买甲品牌篮球m个，则购买乙品牌篮球（90-m）个，根据题意列出不等式组并求解即可得出答案；
（3）设总利润为W，根据题意表示出W与m的函数关系式，再根据一次函数的增减性结合a的范围即可求解。
23．（本小题8分）大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案.
方案一：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆.
方案二：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆.
方案三：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆.
（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？
（2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由.
【答案】（1）解：设方案一大货车有x辆，每辆装有机器 台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器 台，
依题意得方程 =28，
解得x=12，
经检验：x=12是原方程的解
小货车为27-12=15（辆），
大货车每辆装180÷12=15台，
小货车每辆装180÷15=12台，
答：大货车每辆装15台，小货车每辆装12台.
（2）解：方案二大货车有360× ÷15=8台；
方案三大货车有360× ÷15=16台；
设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元，
方案一：w1=（27+12m%）a=12am%＋27a
方案二：w2=（28+8m%）a=8am%＋28a
方案三：w3=（26+16m%）a=16am%＋26a
当w1= w2时，
解得：m=25；
当w1= w3时，
解得：m=25；
画出w与m的函数图象，如下所示
由图象可知：当0∴w3当m=25时，w1=w2=w3，三种方案运费一样，
当m>25时，w2答：当025时，方案二运费最低.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设方案一大货车有x辆，每辆装有机器 台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器 台，根据方案二列出分式方程即可求出结论；（2）设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元，分别求出w1、w2、w3与m的函数关系式，然后画出对应的图象，根据图象即可得出结论.
24．（本小题8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 270 500元
餐椅 a﹣110 70
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同.
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变.商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案.
【答案】（1）解：根据题意，得： ，
解得： ，
经检验 符合实际且有意义
（2）解：设购进的餐桌为x张，则餐椅为（5x+20）张，
，
解得： ，
设利润为为w元，则：
当 时，w最大值
（3）解：设成套销售n套，零售桌子y张，零售椅子z张，
由题意得： ，
化简得： ，
∴ ，
则 ，
∴ ， ， ， .
【知识点】三元一次方程组解法及应用；分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据用 元购进的餐桌数量 用 元购进的餐椅数量列方程求解可得；（2）设购进的餐桌为x张，则餐椅为 张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张求出x的取值范围，再设利润为w元，列出利润关于x的函数解析式，利用一次函数性质求解可得；（3）设成套销售n套，零售桌子y张，零售椅子z张，由题意得出 ，由 .
25．（本小题8分）我们把分子为1的分数叫做单位分数，如： ， ， ， 任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如“ = + ”，“ = + ”……
（1）根据对上述式子的观察，你会发现． = + ·请将问题中的空格补充完整．
（2）进一步思考，单位分数 （n是不小于2的正整数），请写出■和●所表示的代数式，并对你的结论进行验证．
（3）请用（2）中你找出的规律解方程
【答案】（1）7；42
（2）解：根据题意得： ，
验证：
则等式成立；
（3）解：由（2）知： ，
∴
∴原方程可变形为：
∴
整理得，2x+2=x+9
解得，x=7，
经检验，x=7是原方程的根，
∴原方程的解为：x=7
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）根据题意得： ，
故答案为：7，42；
【分析】（1）由已知式子可知等号左边的分母等于右边最后的分母与前面分母的商来确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，确定出所求，验证即可；（3）根据所得规律解方程即可．
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