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5.6分式方程的增根以及分成方程的应用 提升练习
一．分式方程的增根（共13道）
1．（2024春 梁溪区校级期中）若分式方程有增根，则的值为
A．3 B． C． D．
2．（2024春 鲤城区校级期中）关于的分式方程有增根，则增根为
A． B． C． D．
3．（2024春 宜阳县期中）若关于的方程的增根为，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024春 东坡区期中）若关于的分式方程有增根，则的值为
A．1.5 B． C．1或 D．1.5或
5．（2024春 亭湖区期中）若方程有增根，则的值是 ．
6．（2024春 深圳期中）若在解分式方程去分母时产生增根，则 ．
7．（2024 莘县一模）若关于的分式方程，会产生增根，则的值为 ．
8．（2024春 闵行区期中）解分式方程时，产生增根，那么的值是 ．
9．（2024春 徐汇区校级月考）当 时，关于的方程会产生增根．
10．（2023秋 邯郸期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ．
11．（2023春 宜宾月考）已知关于的方程．
（1）为何值时，这个方程的解是5？
（2）为何值时，这个方程有增根？
12．（2023秋 蓝山县期中）关于的方程会产生增根，求的值．
13．（2024春 龙泉驿区期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
（1）解分式方程时产生了增根，这个增根是 ；
（2）若关于的方程有增根，求的值；
（3）已知整数使关于的方程有整数解，求的值．
二．分式方程的应用（共23道）
1．（2024春 罗定市期中）罗定丝苗米具有米粒细长、大小均匀、晶莹洁白，入口柔滑有弹性、香甜回甘、冷不回生的特性，是广东丝苗米臻品．某收割队承接了水稻的收割任务，为了能让丝苗米早日上市，实际工作效率比原计划提高了，结果提前2天完成任务．设该收割队原计划每天收割的面积为，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
2．（2024 禅城区二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶 ，可得方程，则题目中“”表示的条件是
A．速度比原计划增加，结果提前到达
B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达
D．速度比原计划减少，结果晚到达
3．（2024 茌平区一模）“文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校的生态园研学，研学队伍从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后从学校自驾轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为 ，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
4．（2024 大连模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程
A． B． C． D．
5．（2024 河北模拟）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度 嘉嘉： 淇淇：
下列判断正确的是
A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B．淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
C．甲队每天修路的长度是40米
D．乙队每天修路的长度是40米
6．（2024 西宁一模）某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是
A． B． C． D．
7．（2024 东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是
A．0.5米秒 B．1米秒 C．1.5米秒 D．2米秒
8．（2023秋 硚口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是
A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克罗索 D．个克罗索
9．（2024 普宁市二模）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把．
10．（2024 高新区一模）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．
11．（2024春 深圳期中）“绿水青山就是金山银山”某乡村为美化环境，计划种植树木1000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了，结果提前2天完成任务．则实际每天植树 棵．
12．（2023秋 保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为 ．
13．（2024 修文县一模）2024年中央一号文件提出要有力有效推进乡村全面振兴．合力超市为响应国家“提升乡村产业发展水平”号召，用4000元从某果蔬农民专业种植合作社购进一批有机生态水果销售，两天后销售完毕．超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为 元件（用含的代数式表示）；
（2）求合力超市进购第二批生态水果的价格．
14．（2024 白云区模拟）题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．
甲同学所列的方程为
乙同学所列的方程为
（1）甲同学所列方程中的表示 ．乙同学所列方程中的表示 ．
（2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．
15．（2024 北京一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
16．（2024 花溪区一模）“六一”儿童节将至，张老板计划购买型玩具和型玩具进行销售，用1200元购买型玩具的数量比用1500元购买型玩具的数量多20个，且一个型玩具的进价是一个型玩具进价的1.5倍．若设一个型玩具的进价为元，请解答下列问题：
（1）一个型玩具的进价为 元（用含的代数式表示）；
（2）求一个型玩具和一个型玩具的进价分别是多少？
17．（2024 黔南州一模）在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．
根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．
18．（2024 文山州一模）义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知、两个采血点到中心血库的路程分别为、，经了解获得、两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍；
信息二：、两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求、两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？
19．（2024 新余模拟）下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．任务：
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设等量关系：甲图书单价乙图书单价
（1）解法一所列方程中的表示 ，解法二所列方程中的表示 ；
．甲种图书每本单价元．乙种图书每本单价元．甲种图书购买本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
20．（2024 九龙坡区模拟）为进一步健全城市公园体系，某市大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”．某城区要建设、两个口袋公园，公园的面积比公园大300平方米．目前准备参与竞标的甲、乙两家公司报价都是：公园的造价为368万元，公园的造价为280万元，且公园平均每平方米的造价是公园每平方米造价的．
（1）求报价中口袋公园平均每平方米的造价为多少万元？
（2）为了竞标成功，两个公司在确保质量的前提下，在报价的基础上都进行了优惠，甲公司：统一按公园的单位造价收费；乙公司：统一按九五折收费．请说明选择哪一家公司更划算？
21．（2024春 晋江市期中）某经销商3月份用18000元购进一批恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这种恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．请用含的代数式表示．
22．（2024 冠县一模）某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
23．（2023秋 大足区期末）某工厂加工生产、两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的零件的数量是零件数量的，并且生产240个零件所用的时间比生产同样数量的零件要少用5天．
（1）求一名熟练工每天可以生产多少个零件；
（2）该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个零件或3个零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产零件，其余工人全部生产零件，已知2个零件与3个零件刚好配套．若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产零件，才能使得该工厂每天生产的、两种型号的零件刚好配套？
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5.6分式方程的增根以及分成方程的应用 提升练习
一．分式方程的增根
1．（2024春 梁溪区校级期中）若分式方程有增根，则的值为
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解析】去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．故选．
2．（2024春 鲤城区校级期中）关于的分式方程有增根，则增根为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简公分母等于零，可得不等式的增根．
【解析】关于的分式方程有增根，则增根为．故选．
3．（2024春 宜阳县期中）若关于的方程的增根为，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程的增根为，代入整式方程求出的值即可．
【解析】去分母，得：，
分式方程有增根，
把代入整式方程，可得：．故选．
4．（2024春 东坡区期中）若关于的分式方程有增根，则的值为
A．1.5 B． C．1或 D．1.5或
【答案】
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【解析】，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为1，得．
关于的分式方程有增根，
或．
或1.5．故选．
5．（2024春 亭湖区期中）若方程有增根，则的值是 ．
【答案】3．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解析】去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．故答案为：3．
6．（2024春 深圳期中）若在解分式方程去分母时产生增根，则 ．
【答案】．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【解析】分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：．故答案为：．
7．（2024 莘县一模）若关于的分式方程，会产生增根，则的值为 ．
【答案】．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解析】去分母，得：，
由分式方程有增根，得到或，即，，，
把代入整式方程，可得：，解得，
当时，，方程的解为，没有产生增根，不符合题意；
把代入整式方程，可得：，解得；
把代入整式方程，可得：，无解．
综上，可得若关于的分式方程，会产生增根，则的值为．故答案为：．
8．（2024春 闵行区期中）解分式方程时，产生增根，那么的值是 ．
【答案】．
【分析】先把原方程去分母得到，再根据题意得到是方程的解，据此把代入方程中求出的值即可得到答案．
【解析】，
去分母得：，
解分式方程时，产生增根，
是方程的解，
．故答案为：．
9．（2024春 徐汇区校级月考）当 时，关于的方程会产生增根．
【答案】．
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，得出，再根据增根的定义，即可求出．
【解析】，
，
，
当时，原方程会产生增根，
即当时，原方程会产生增根，
，解得：．故答案为：．
10．（2023秋 邯郸期末）若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ．
【答案】2，3．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解析】去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，故答案为：2，3．
11．（2023春 宜宾月考）已知关于的方程．
（1）为何值时，这个方程的解是5？
（2）为何值时，这个方程有增根？
【分析】（1）把代入，然后解关于的方程即可；
（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时的值，代入整式方程即可求出的值．
【解析】（1）方程的解是5，
把代入，得
，
解得；
（2），
两边都乘以，得
，
整理得，
方程有增根，
或，
当时，
，
当时，
，
的值为或0．
12．（2023秋 蓝山县期中）关于的方程会产生增根，求的值．
【分析】分式方程去分母化为整式方程，使得分式方程分母为0的整式方程的根为分式方程的增根；原方程化为，由或，得增根为或，代入求得．
【解析】去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，即或，
把代入方程得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
故当或时，方程有增根．
13．（2024春 龙泉驿区期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
（1）解分式方程时产生了增根，这个增根是 ；
（2）若关于的方程有增根，求的值；
（3）已知整数使关于的方程有整数解，求的值．
【分析】（1）解分式方程时产生了增根，则，据此求出这个增根即可；
（2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可；
（3）首先根据，用含的式子表示出，然后根据关于的方程有整数解，求出的值即可．
【解析】（1）解分式方程时产生了增根，
则，解得．
故答案为：．
（2）去分母，得：，
由分式方程有增根，得到或，即或，
把代入整式方程，可得：，解得；
把代入整式方程，可得：，无解；
综上，可得若关于的方程有增根，的值为2．
（3），
，
，
解得，
，，即，
解得，，
关于的方程有整数解，
，，1，
解得，或．
二．分式方程的应用
1．（2024春 罗定市期中）罗定丝苗米具有米粒细长、大小均匀、晶莹洁白，入口柔滑有弹性、香甜回甘、冷不回生的特性，是广东丝苗米臻品．某收割队承接了水稻的收割任务，为了能让丝苗米早日上市，实际工作效率比原计划提高了，结果提前2天完成任务．设该收割队原计划每天收割的面积为，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设原计划每天收割的面积为 ，则实际每天收割的面积为 ，根据结果提前2天完成任务即可列出相应的分式方程．
【解析】设原计划每天收割的面积为 ，则实际每天收割的面积为 ，根据题意可得：
，故选．
2．（2024 禅城区二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶 ，可得方程，则题目中“”表示的条件是
A．速度比原计划增加，结果提前到达
B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达
D．速度比原计划减少，结果晚到达
【答案】
【分析】由汽车原计划需行驶 ，可得出表示汽车实际行驶时间，进而可得出实际比原计划提前到达，由速度路程时间，结合所列方程，可得出实际行驶速度比原计划增加，进而可得出题目中“”表示的条件．
【解析】汽车原计划需行驶 ，
表示汽车实际行驶时间，
实际比原计划提前到达．
甲、乙两地相距，
表示原计划的行驶速度，表示实际的行驶速度，
又所列方程为，
实际行驶速度比原计划增加，
题目中“”表示的条件是速度比原计划增加，结果提前到达．故选．
3．（2024 茌平区一模）“文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校的生态园研学，研学队伍从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后从学校自驾轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为 ，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设大巴的平均速度为 ，小车的平均速度为 根据题意列出分式方程即可．
【解析】设大巴的平均速度为 ，小车的平均速度为 ．
根据题意得：，故选．
4．（2024 大连模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，利用人均分得钱数总钱数参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解析】设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，
依题意得：，故选．
5．（2024 河北模拟）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度 嘉嘉： 淇淇：
下列判断正确的是
A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度
B．淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
C．甲队每天修路的长度是40米
D．乙队每天修路的长度是40米
【答案】
【分析】根据所列方程中未知数的表示即可判断出未知数所表示的含义．
【解析】根据嘉嘉所列方程中未知数都是，说明是相同的量，所以表示的应用是时间，故错误；
根据淇淇所列方程中未知数，应该表示的是修建数量较少的一队，应该为甲队修路的长度，故错误；
根据淇淇所列方程，求出甲每天修路长度为，乙队每天修路长度为60，故正确，错误．
故选．
6．（2024 西宁一模）某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的速度的2倍，则自行车的速度是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设自行车的速度是 ，则汽车的速度是 ，根据一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出分式方程，解方程即可．
【解析】设自行车的速度是 ，则汽车的速度是 ，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
即自行车的速度是，故选．
7．（2024 东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是
A．0.5米秒 B．1米秒 C．1.5米秒 D．2米秒
【答案】
【分析】设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒，利用时间路程速度，结合小敏共用22秒通过路段，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小敏通过路段时的速度是1米秒．故选．
8．（2023秋 硚口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是
A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克罗索 D．个克罗索
【答案】
【分析】设第一个农妇所带鸡蛋个数为个，利用两人卖的钱数相同列出方程，解方程即可得出结论．
【解析】设第一个农妇所带鸡蛋个数为个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为个，由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的根，
第一个农妇的每个鸡蛋价格是（元．故选．
9．（2024 普宁市二模）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把．
【答案】200．
【分析】设商场第一批购进把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，利用单价总价数量，结合第二批的购进单价比第一批贵4元，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【解析】设商场第一批购进把这种太阳伞，则第二批购进把这种太阳伞，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，故答案为：200．
10．（2024 高新区一模）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．
【答案】乙每小时比甲多做6个．
【分析】设甲每小时做个，乙每小时做个，根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解析】被墨迹弄污的条件应是乙每小时比甲多做6个，
故答案为：乙每小时比甲多做6个．
11．（2024春 深圳期中）“绿水青山就是金山银山”某乡村为美化环境，计划种植树木1000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了，结果提前2天完成任务．则实际每天植树 棵．
【答案】125．
【分析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，列出分式方程，解之经检验后即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．
【解析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
即实际每天植树125棵，故答案为：125．
12．（2023秋 保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 ；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为 ．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由甲队先独立施工1周完成总工程的，即可得出结果；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据“甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通，记总工程量为1”，列出分式方程即可．
【解析】（1）甲队先独立施工1周完成总工程的，
甲队单独施工1天完成总工程的：，
故答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，
根据题意得：，
故答案为：．
13．（2024 修文县一模）2024年中央一号文件提出要有力有效推进乡村全面振兴．合力超市为响应国家“提升乡村产业发展水平”号召，用4000元从某果蔬农民专业种植合作社购进一批有机生态水果销售，两天后销售完毕．超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为 元件（用含的代数式表示）；
（2）求合力超市进购第二批生态水果的价格．
【分析】（1）根据第二批每件的进价贵了4元，即可得出结论；
（2）根据超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，列出分式方程，解方程即可．
【解析】（1）设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为元件，
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：合力超市进购第二批生态水果的价格为44元件．
14．（2024 白云区模拟）题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．
甲同学所列的方程为
乙同学所列的方程为
（1）甲同学所列方程中的表示 ．乙同学所列方程中的表示 ．
（2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．
【分析】（1）根据题意和题目中的式子，可知和表示的实际意义；
（2）根据题意，选择甲同学的方法进行解答，注意分式方程要检验，也可选择乙同学的作法，注意乙中求得的值后，还要继续计算，知道计算出原计划平均每月的绿化面积结束．
【解析】（1）由题意可得，
甲同学所列方程中的表示原计划平均每月的绿化面积，乙同学所列方程中的表示实际完成这项工程需要的月数，
故答案为：原计划平均每月的绿化面积；实际完成这项工程需要的月数；
（2）按甲同学的作法解答，
，
方程两边同乘以，得
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积是．
15．（2024 北京一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
【分析】设边衬的宽度为米，根据题意可知，装裱后的长为米，宽为米，再根据整幅图画长与宽的比是，即可得到相应的方程进行求解即可．
【解析】设边衬的宽度为米，则装裱后的长为米，宽为米，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：边衬的宽度为0.1米．
16．（2024 花溪区一模）“六一”儿童节将至，张老板计划购买型玩具和型玩具进行销售，用1200元购买型玩具的数量比用1500元购买型玩具的数量多20个，且一个型玩具的进价是一个型玩具进价的1.5倍．若设一个型玩具的进价为元，请解答下列问题：
（1）一个型玩具的进价为 元（用含的代数式表示）；
（2）求一个型玩具和一个型玩具的进价分别是多少？
【分析】（1）根据一个型玩具的进价是一个型玩具进价的1.5倍，即可得出结论；
（2）根据用1200元购买型玩具的数量比用1500元购买型玩具的数量多20个，列出分式方程，解方程即可．
【解析】（1）一个型玩具的进价是一个型玩具进价的1.5倍，设一个型玩具的进价为元，
一个型玩具的进价为元，
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一个型玩具的进价是10元，一个型玩具的进价是15元．
17．（2024 黔南州一模）在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．
根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．
【分析】设甲种客车每辆有个座位，则乙种客车每辆有个座位，根据题意：若单独租用甲种客车若干辆则刚好坐满，若单独租 用同样辆数的乙种客车，则有20个空座位，列方程求解．
【解析】设甲种客车每辆有个座位，则乙种客车每辆有个座位，可得：，
解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意；
，
答：甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．
18．（2024 文山州一模）义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知、两个采血点到中心血库的路程分别为、，经了解获得、两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍；
信息二：、两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求、两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？
【分析】设采血点运送车辆的平均速度是 ，则采血点运送车辆的平均速度为 ，根据“、两个采血点到中心血库的路程分别为、，、两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”，列出分式方程，解分式方程即可．
【解析】设采血点运送车辆的平均速度是 ，则采血点运送车辆的平均速度为 ，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为．
19．（2024 新余模拟）下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．任务：
题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设等量关系：甲图书数量乙图书数量
解法二 设等量关系：甲图书单价乙图书单价
（1）解法一所列方程中的表示 ，解法二所列方程中的表示 ；
．甲种图书每本单价元．乙种图书每本单价元．甲种图书购买本
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；（2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案．
【解析】（1）由甲图书数量乙图书数量，可得：中的表示甲种图书每本单价元，
由甲图书单价乙图书单价，可得：中的表示甲种图书购买本；
故答案为：，；
（2），
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
，
答：甲、乙两种图书的单价为50元本，30元本．
20．（2024 九龙坡区模拟）为进一步健全城市公园体系，某市大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”．某城区要建设、两个口袋公园，公园的面积比公园大300平方米．目前准备参与竞标的甲、乙两家公司报价都是：公园的造价为368万元，公园的造价为280万元，且公园平均每平方米的造价是公园每平方米造价的．
（1）求报价中口袋公园平均每平方米的造价为多少万元？
（2）为了竞标成功，两个公司在确保质量的前提下，在报价的基础上都进行了优惠，甲公司：统一按公园的单位造价收费；乙公司：统一按九五折收费．请说明选择哪一家公司更划算？
【分析】（1）设报价中口袋公园平均每平方米的造价为万元，根据公园的面积比公园大300平方米得：，解方程并检验可得报价中口袋公园平均每平方米的造价为0.16万元；
（2）求出口袋公园的面积为2300（平方米），口袋公园的面积为2000（平方米），分别计算出甲公司收费，乙公司收费，再比较可得答案．
【解析】（1）设报价中口袋公园平均每平方米的造价为万元，则报价中口袋公园平均每平方米的造价为万元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
报价中口袋公园平均每平方米的造价为0.16万元；
（2）由（1）知，口袋公园的面积为（平方米），口袋公园的面积为（平方米），
甲公司收费为（万元），
乙公司收费为（万元），
，
选择甲公司更划算．
21．（2024春 晋江市期中）某经销商3月份用18000元购进一批恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这种恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价打八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同．请用含的代数式表示．
【分析】（1）设3月份购进件恤衫，则4月份进了这种恤衫件，由题意：经销商3月份用18000元购进一批恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．列出分式方程，解方程即可；
（2）根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于、的等式，然后化简即可．
【解析】（1）设3月份购进件恤衫，则4月份进了这种恤衫件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：4月份进了这种恤衫300件；
（2）每件恤衫的进价为：（元，
由题意得：，
化简，得：．
22．（2024 冠县一模）某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
【分析】（1）设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，根据该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，根据每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，列出分式方程，解方程即可．
【解析】（1）设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，
由题意得：，
解得：，
答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶；
（2）学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：学校购买食醋40瓶．
23．（2023秋 大足区期末）某工厂加工生产、两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的零件的数量是零件数量的，并且生产240个零件所用的时间比生产同样数量的零件要少用5天．
（1）求一名熟练工每天可以生产多少个零件；
（2）该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个零件或3个零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产零件，其余工人全部生产零件，已知2个零件与3个零件刚好配套．若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产零件，才能使得该工厂每天生产的、两种型号的零件刚好配套？
【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个零件，则一名熟练工每天可以生产个零件，根据生产240个零件所用的时间比生产同样数量的零件要少用5天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排名新工人生产零件，则安排名新工人生产零件，根据2个零件与3个零件刚好配套．根据2个零件与3个零件刚好配套．列出一元一次方程，解方程即可．
【解析】（1）设一名熟练工每天可以生产个零件，则一名熟练工每天可以生产个零件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：一名熟练工每天可以生产24个零件；
（2）由（1）可知，，
设安排名新工人生产零件，则安排名新工人生产零件，
由题意得：，
解得：，
答：安排4名新工人生产零件，才能使得该工厂每天生产的、两种型号的零件刚好配套．
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