第5章 分式（单元测试·拔尖卷）（含解析）

第5章 分式（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
3．如果，那么的值是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．4
4．已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若关于的方程有解，则必须满足条件（ ）.
A． B．
C． D．，
9．已知，则的值是（　　）
A．9 B．8 C． D．
10．“”汶川大地震导致某段铁路隧道被严重破坏，为尽快抢修其中一段1200米的铁路，施工队每天比原计划多修10米，结果提前4天开通列车，设原计划每天修x米，则下面列出的方程正确的是　　
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
12．已知，则的值 ．
13．已，则的值是 ．
14．已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ．
15．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
16．已知方程（是常数，）的解是或，那么方程（是常数，且）的解是 ．
17．按如图所示的程序，若输入一个数字x，经过一次运算后，可得对应的y值．若输入的x值为﹣5，则输出的y值为 ；若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平均数的倒数是50，则所输入的最小的自然数是 ．
18．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解关于的分式方程
20．（8分）若
(1)化简A；
(2)若 ，且 ，求A的最小值；
(3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值．
21．（10分）计算：
（1）； （2）；
（3）先化简再求值：（1），其中x是﹣2，1，2中的一个数值．
22．（10分）阅读材料，下列关于的方程：
的解为：，； 的解为：，；
的解为：，； 的解为：，；
根据这些材料解决下列问题：
(1)方程的解是____________；
(2)方程的解是____________；
(3)解方程：．
23．（10分）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元）
12月10日 4 6 2160
12月11日 6 8 3040
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
24．（12分）去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元．
(1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？
(2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
2．A
【分析】由，得，．代入所求的式子化简即可．
【详解】解：由，得，
．
故选：A．
【点拨】本题解题关键是用到了整体代入的思想．
3．A
【分析】先将方程变形为，再利用完全平方公式化为，从而求得.
【详解】解：方程可变形为
∴
∴
故选A.
【点拨】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全平方公式解题是关键.
4．B
【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
；
∵，当时，，方程不成立，
∴，
∴方程两边同除以得：，
∴，
∴，即：；
故选B．
【点拨】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
5．A
【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：由可得
=
=
=
=
=
=-2
故答案为A．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．
6．D
【分析】由，则，然后将其代入原方程即可.
【详解】解：∵
∴
∴可化为，即．
故答案为D．
【点拨】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法和解分式方程的去分母是解答本题的关键．
7．C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的m的值．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组至多有5个整数解，
，
解得，
∴整数的值为，
解方程得：，
又为整数，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
符合条件的整数的个数为，
故选：C．
【点拨】本题考查了已知不等式组的解集求参数，分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
8．D
【分析】先将方程去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．
【详解】方程两边都乘以d(b x)，得d(x a)=c(b x)，
∴dx da=cb cx，即(d+c)x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠ d时，原方程的解为x= ，
同时要满足d≠0，b x≠0，即x=，解得 b≠a，
∴c≠ d且b≠a时，原方程有解.
故选D.
【点拨】本题考查解含有字母系数的分式方程的能力以及分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题关键.
9．D
【分析】根据 可知 即 ，把 分子、分母同时除以 得 ，把代入即可.
【详解】由得，即
=，
把代入得= ，
故选D
【点拨】本题考查利用恒等变形求分式的值，利用分式的性质，找到可以等量代换的代数式是解题关键.
10．C
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
，
故选C．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11．4
【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
12．为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
【详解】∵，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点拨】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件．
13．4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
14．且
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型，要求掌握．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
∵关于x的方程的解是非负数，，
∴，且，
解得：且，
∴m的取值范围是且．
15．10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点拨】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
16．或
【分析】观察方程：（是常数，c≠0）的特点，发现此方程的左边是未知数与其倒数的和，方程右边的形式与左边的形式完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接求解．本题需要将方程x+ 变形，使等号左边未知数的系数变得相同，等号右边的代数式可变为．为此，方程的两边同乘2，整理后，即可写成方程的形式，从而求出原方程的解．
【详解】将 整理得
，
即，
所以或,
故答案为：或．
【点拨】本题考查了阅读理解能力与知识的迁移能力．关键在于将所求方程变形为已知方程的形式．难点是方程左边含未知数的项的系数不相同．
17． 5
【分析】①将x=-5代入计算可得答案；②根据平均数的概念可得：++++=，即，进一步计算即可求得答案．
【详解】解：①当x=-5时，；
②根据平均数的概念可得：++++=，
即，
∴
解得x＝5或x＝-10（舍去），
故答案为：；5．
【点拨】本题主要考查了流程图与有理数计算、分式方程求解，解题的关键在于读懂流程图的含义，并将x代入式子进行求解．
18．4
【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∴，
∴，
∴，
，
当时，，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
19．，
【分析】将原方程变形为，得到或，进行计算并检验即可得到答案．
【详解】解：方程两边同乘以2，得，
方程两边同减3，得，
即，
或，
解得：，，
经检验，，均是原分式方程的解，
原分式方程的解为：，．
【点拨】本题考查了解分式方程，解本题的关键是将变形为．
20．(1)
(2)A的最小值为；
(3)
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解；
（3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：由（1）得：
把代入得：
∵
∴
∴
∴
∴
∴A的最小值为；
（3）∵A，B均为正整数
∴
当时，
，解得：
当时
或，解得：或
经检验，是原方程的解
∵a， b为正整数，
∴
∴
【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（1）1；（2）；（3）x﹣1，x＝2时，原式=1．
【分析】（1）先约分，再相加即可求解；
（2）先因式分解，将除法变为乘法约分，再通分，相减即可求解；
（3）先计算括号里面的减法，再因式分解，将除法变为乘法约分化简，再把x＝2代入计算即可求解．
【详解】（1），
＝，
＝，
＝1；
（2），
＝，
＝，
＝，
＝；
（3）（1），
＝，
＝x﹣1，
∵x+2≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣2，x≠1，
当x＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点拨】此题考查分式的混合运算及化简求值，正确将分式的分子与分母因式分解是解题的关键.
22．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解；
（2）根据材料中方程的解法求解即可；
（3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为，
故答案为：，
（2）由方程可得或，
解得，，
故答案为：，
（3）将方程变形为，
可得或，
解得，
【点拨】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解．
23．(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元
(2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元
(3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高．
【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案．
【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键．
24．(1)购买半盔型个，全盔型个
(2)
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键．
（1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可．
（2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可．
【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个．
由题意得：，
解得
故半盔型个，全盔型为：．
答：购买半盔型个，全盔型个．
（2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，
全盔型降价后，一个全盔型的获利为，
根据题意可得，
解得：
经检验，为原方程的解，且符合题意．
故．