第5章 分式（单元测试·基础卷）（含解析）

第5章 分式（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【知识点2】分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【知识点3】分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
分式及相关概念的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
【知识点4】分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，若有甲、乙两张卡片，分别写有一个式子，则对卡片中的式子判断正确的是（ ）

A．甲是分式，乙不是 B．乙是分式，甲不是
C．甲和乙都是分式 D．甲和乙都不是分式
2．某H品牌手机上使用芯片，，则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简分式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
7．若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．关于x的分式方程有增根，则增根为（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
10．风动石景区维修工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期9天，现由两工队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为天，则下面所列方程正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．实数m满足，且，那么 ．
12．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
13．已知，求分式 ．
14．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
15．若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
16．若关于的分式方程无解，则的值是 ．
17．数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为 ．
18．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) (2)
20．（8分）解分式方程：
(1)； (2)．
21．（10分）已知 ．
(1)化简A；
(2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
22．（10分）【观察】（1）， ；＝，＝，……
（2），；，……
【猜想】 　 ； 　 ；（n，a为正整数）
【拓展】
（1）利用你发现的规律巧计算
（2）利用上述规律巧解方程：＋＝．
23．（10分）为了响应国家号召，我市开展公益直播拓展兴企助农新渠道．已知，西红柿和土豆两种蔬菜单价分别是每斤5元和每斤2元，售卖这两种蔬菜一天的销售总额为600元，其中西红柿比土豆少卖20斤，
(1)求这一天中，西红柿和土豆各卖了多少斤？
(2)线上开展直播平台后，两种蔬菜每天售卖数量大幅提升，据统计，线上这段时间西红柿共销售了4800斤，土豆共销售了5000斤，西红柿每天销售数量是土豆的，西红柿销售天数比土豆多了10天，求线上土豆的每天销售量．
24．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如：，，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）．
①；②；③；④；
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 ．
(3)拓展：若，求A、B的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据分式的定义：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母” 即可求解．
【详解】解：是分式，不是分式，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了科学记数法，先进行单位换算，得，然后根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案．
【详解】解：A，，变形正确；
B，，变形错误；
C，，变形错误；
D，的分子和分母不能约分，，变形错误；
故选A．
4．A
【分析】本题考查的是分式的除法，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．分子与分母能因式分解的先因式分解，再约分即可
【详解】解：
，
故选：A．
5．B
【分析】
本题考查了分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】解：
，
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握分式的化简是解决本题的关键．
由题意列出盖住部分的代数式，然后进行化简．
【详解】解：盖住部分化简的结果为：
，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及分式的化简，解题关键是理解指数幂的运算法则．逆用幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴，
故选A．
8．D
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据最简公分母为零计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键．首先根据工程期限为天，结合题意得出甲每天完成总工程的，而乙每天完成总工程的，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可．
【详解】解：设工程期限为天，
∴甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，
∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，
∴可列方程为：，
故选：A．
11．
【分析】由题意易得且，进而分类讨论求解即可．
【详解】解：∵实数m满足，且，
∴且，
当时，则有：，
当时，则有：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式的值，解题的关键是得到m的范围及分类讨论思想．
12．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．根据分母不为零列不等式求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
13．1
【分析】本题考查的是分式的化简求值．设，用含有k的代数式分别表示出a、b、c，代入分式化简即可求值．
【详解】解：设，则，，，
∴，
故答案为：1．
14．且
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
15．4
【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根意义是解题的关键．去分母后，根据有增根，即可求出的值．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
∵有增根，
∴，
∴．
故答案为：4．
16．1
【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了分式的除法计算，根据题意列得分式除法计算式子，计算可得答案，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
∴，
故答案为．
18．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了异分母分式的运算和分式的混合运算，正确进行分式运算是解题的关键．
（1）先利用平方差公式通分，再利用完全平方公式进行化简即可；
（2）先利用平方差公式通分、计算括号内的，再按照分式乘除法则运算化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，掌握等式的性质，解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．
（1）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；
（2）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可．
【详解】（1）解：两边都乘以，得，
即
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为；
（2）两边都乘以，得，
去括号得，
移项得，
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先算分式的减法，再算除法即可；
（2）根据分式的值为零，可得分式的分子为零，分母不为零，求得x的值，代入求解即可．
【详解】（1）
；
（2）由题意得，，
∴，
解得，
∴原式．
22．；（1）；（2）
【分析】根据题意可得：，，由此发现规律即可得结果；，，据此规律即可得结果；
（1）根据【猜想】中第二个结论进行变形化简计算即可得；
（2）根据【猜想】中第一个结论进行变形计算求出方程的解，然后进行检验即可确定分式方程的解．
【详解】解：根据题意可得：
∵，，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：；；
（1）
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
检验：当时，，
∴为分式方程的解．
【点睛】题目主要考查有理数的混合运算，分式的化简及解分式方程的方法，理解题目中找到的规律运用其中是解题关键．
23．(1)西红柿卖了80斤．土豆卖了100斤
(2)线上土豆每天销售量为500斤
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键．
（1）设西红柿卖了x斤，则土豆卖了斤，根据题意列出方程，解答即可；
（2）设线上土豆每天销售数量y斤，根据题意列出方程，解答即可．
【详解】（1）解：设西红柿卖了x斤，则土豆卖了斤，
根据题意得：，
解得：，
土豆卖了：斤,
答：西红柿卖了80斤，土豆卖了100斤．
（2）解：设线上土豆每天销售数量y斤.
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程根，且符合题意，
答：线上土豆每天销售量为500斤．
24．(1)①③④
(2)
(3)，
【分析】本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解．
（1）分别对各式化简，即可得出答案．
（2）结合完全平方公式化简即可得出答案．
（3）将原式化简，可得，进而可得，的值．
【详解】（1）解：，
故①是“和谐分式”；
，
是整式，不是分式，
故②不是“和谐分式”；
，
故③是“和谐分式”；
，
故④是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）
．
故答案为：．
（3）
，
，
，．