第5章 分式（单元测试·培优卷）（含解析）

第5章 分式（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ ）
A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大
3．若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则值为（　　）
A．10 B．11 C．15 D．16
5．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程的解是负数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．定义运算“★”：．若，则x的值为（ ）
A．3 B．10 C．或10 D．或
8．已知,且，则为（　　）
A． B． C． D．
9．五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
10．若关于的方程的两个解为，；关于的方程的两个解为，；关于的方程的两个解为，；…，则以下说法中：
①关于的方程的两个解为，；
②关于的方程的两个解为，；
③关于的方程的两个解为，．
④关于的方程的两个解为，．
正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果分式无意义，的值为0，那么 ．
12．已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ．
13．约分： ．
14．已知，那么 ．
15．对于任意的x值都有，则 ．
16．关于的分式方程无解，则的值为 ．
17．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为
18．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：

则第4次运算的结果 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1)； (2)．
20．（8分）先化简，再求值：，从，，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（10分）解方程：
(1)； (2)
22．（10分）某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8．一学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20，且购买笔记本的数量是10的倍数．
(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
23．（10分）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
(1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
24．（12分）[阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”（即的关联因式是）．
例如：与，因为，
所以是的“关联分式”．
【解决问题】
（1）______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”是．则．
所以．所以，即的“关联分式”是．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
【拓展延伸】
（3）观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：______．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，逐项分析即可，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．
【详解】、由可知当，即时，分式无意义，不符合题意；
、由可知，即取任何值时，分式都有意义，符合题意；
、由可知当时，分式无意义，不符合题意；
、由可知当，即时，分式无意义，不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质．
【详解】、当，当时，分时的值为，原选项说法错误，不符合题意；
、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意；
、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意；
、，比大，原选项说法正确，符合题意；
故选：．
3．C
【分析】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．
先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出“□”中的式子的可能式，即可得出答案．
【详解】解：
=
=，
∵运算结果为整式，
∴“□”中的式子应该是含有因式的式子，
只有选项C中符合题意，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案．
【详解】解：∵，且根据题意有：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故选：B
6．D
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，正确求出分式方程的解是解本题的关键．注意不要忽略方程的解不能使分母为零．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，且，
解得且，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查新定义的应用，以及解分式方程．分和两种情况根据新定义得出方程，求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，，
经检验，是原方程的根；
当时，，
解得，，
经检验，是原方程的根；
综上，的值为：或10
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出，据此得出其循环规律，再进一步求解可得．
【详解】解：，
，
，
，
这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
，
．
故选C．
9．A
【分析】本题考查列分式方程，根据速度、时间、路程之间的关系，以及“同时到达”的等量关系建立方程即可．
【详解】解：由题意得，大巴车所用时间为：小时，
老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，
老师自驾小车所用时间为：小时，
可列方程为，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解．观察已知方程的解的特征确定出所求方程的解即可．
【详解】解：①由题意得，关于的方程的两个解为，，正确；
②关于的方程即为，
由题意得它的两个解为或，
，，正确；
③关于的方程即为，
，
，
它的两个解为或，
，，正确；
④关于的方程即为，
∴，
∴，
∴它的两个解为或，
∴，，④正确，
所以正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
11．
【分析】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为0的条件，先求解的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
解得：，
∵的值为0，
∴，
∴；
∴；
故答案为：
12．
【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件；
根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可．
【详解】解：∵当时，该分式没有意义，
∴，
∴，
∵当时，该分式的值为0，
∴，此时，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了分式的化简和求值，把整体代入到代数式中化简求值是解题的关键．由条件得，整体代入到代数式中化简求值即可．
【详解】解：由得，，
，
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握异分母分式相加要先通分．
先将等式右边通分合并，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
右边
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
16．或
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．
【详解】解：方程两边同乘以得，，
整理的，，
当，即时，方程无解；
当，即时，，
∵方程无解，
∴是方程的增根，
∴，
解得；
∴的值为或，
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【详解】解：∵方程的解为，
∴，解得：
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故答案为：
18．
【分析】根据题干中的程序图分别计算出，，，找到规律，可以得到．
【详解】解：，
，
，
观察上式可得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】（）根据同分母的分式加法运算即可；
（）由分式的乘除和约分计算即可；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
．
20．，
【分析】本题考查了分式的混合运算化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把合适的的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，，，
，，
当时，原式．
21．(1)
(2)无解
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
方程两边同乘以，
得：，
去括号，可得：，
移项、合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
22．(1)笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支
(2)见解析
【分析】（1）设笔记本的单价为元本，根据“用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件”列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买钢笔支，笔记本本．根据“总花费为元”列出方程，根据，，且是的倍数，求出，的值即可．
【详解】（1）设笔记本的单价为元本，则钢笔的单价为元本．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时．
答：笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支．
（2）设购买钢笔支，笔记本本．根据题意，得
，
化简得．
由题意，得，，且是10的倍数，
∴或或 ．
故有以下方案：方案一：购买钢笔30支，笔记本20本；
方案二：购买钢笔25支，笔记本30本；
方案三：购买钢笔20支，笔记本40本．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为；
假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明：
，其中，
∴，
∴，即，
故答案为：；．
（3）证明：由（2）可知
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
24．（1）是；（2）；（3）
【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础．
（1）根据关联分式的定义判断；
（2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可；
（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．
【详解】解：（1）∵，
，
∴是的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）设的关联分式是N，则：
，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．