第5章 分式（单元测试·综合卷）（含解析）

第5章 分式（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若分式，则（ ）
A． B．
C． D．不存在，使得
2．在对分式约分时，公因式可以是（ ）
A．4 B． C． D．
3．从整式中任意选取两个分别作为分子和分母，则能构成分式的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（ ）
A． B． C．2 D．1
5．若为正整数，则计算的结果是（ ）
A．正整数 B．负整数
C．非负整数 D．非正整数
6．若，则A是（ ）
A． B．2 C．3 D．
7．嘉淇准备完成题目：解方程，发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
8．“若关于x的方程无解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：
尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， . 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得.
图1 图2
下列说法正确的是（ ）
尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
9．设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
10．C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．请写出一个有意义的条件是的分式 ．
12．计算： ．
13．已知，则分式为 ．
14．已知．
（1）若关于的方程有增根，则的值是 ；
（2）若为整数，当时，的所有整数值的和为 ．
15．如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ．
16．已知对任意x有，则 ， ， ．
17．定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为 ．
18．为了进一步优化环境，某区计划对长3000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高20%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了 天．（结果化为最简）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算或化简：
(1) ； (2)
20．（8分）解方程
(1) ； (2)
21．（10分）小艺在作业本上看到一个化简题，但不小心把墨水洒了，遮住了原式子的一部分．
(1) 小艺假定被墨水遮住的式子是，请代入原式，先化简，然后再选取一个你喜欢的a值代入求值．
(2) 若这道题的答案是．则被墨水遮住的式子是多少？
22．（10分）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；
按照以上规律，解决下列问题：
写出第6个等式： ；
写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
23．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．菜苗可以在市场上或菜苗基地购买．据了解，市场上甲种菜苗的价格是菜苗基地甲种菜苗的价格的倍．
(1)学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种菜苗共用了1600元，求菜苗基地甲种菜苗的价格；
(2)据了解，菜苗基地有甲、乙两种菜苗出售，菜苗基地为了支持学校的农耕种植活动，决定对甲种菜苗降价出售给学校，乙种菜苗是甲种菜苗降价后的倍，用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆．求菜苗基地乙种菜苗的价格．
24．（12分）阅读理解：下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①得或；由②得或；由③得或，
(1)问题解决：请写出第四个方程______________；
(2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________；
(3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可得，此方程组无解．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
故无解，
故选：D．
【点拨】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键．
2．B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：，
所以公因式是，
故选：B
【点拨】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分子及分母的公因式．
3．C
【分析】分别把三个整式作为分母，另外两个整式作为分母，一共可构成6个式子，再根据分式的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：当2400为分母为，构成的式子有，这两个式子都不是分式；
当为分母为，构成的式子有，这两个式子都是分式；
当为分母为，构成的式子有，这两个式子都是分式；
∴能构成分式的个数为4个，
故选C．
【点拨】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键：对于两个整式A和B（含有字母），把形如的式子叫做分式．
4．D
【分析】本题主要考查分式的化简，熟练掌握分式的化简是解决本题的关键．
由题意列出盖住部分的代数式，然后进行化简．
【详解】解：盖住部分化简的结果为：
，
故选：D．
5．C
【分析】先将分式化简约分，由化简的结果判断，即可得答案．
【详解】，
∵为正整数，即x最小取1，
∴
∴结果为非负整数；
故选：C．
【点拨】本题主要考查分式的乘法运算，解题关键在于分式的约分化简．
6．C
【分析】本题考查了分式的加法运算．根据题意得到，再利用同分母分式的加法法则计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，，得出，进而逐项分析判段，即可求解．
【详解】解：设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，
解得：
当时，，故A选项正确，符合题意；
，B选项错误，
，C选项错误；
，D选项错误
故选：A．
8．D
【分析】先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：
，
∴为增根或，
当，解得，此时，解得；
当，解得；
综上所述：的值为3或4，
故选：D．
【点拨】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
9．D
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原方程为：，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得：，
∵关于x的方程无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：C919所用时间-普通客机所用的时间，据此列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：D．
11．（答案不唯一）
【分析】根据分式有意义的条件，得出 ，将作为分母即可．
【详解】解：要使分式有意义的条件，
，
可用其中均可作为分母，
取一个简单的分式：．
故答案：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了分式的运算，先算乘方，再算乘法即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了分式的加减和分式的值，解题的关键是掌握分式的性质和整体代入求值．利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值．
【详解】解：，
，即，
．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了分式方程增根问题，分式的值为整数，将分式方程化为整式方程是解题的关键．
（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；
（2）先化简分式为，再根据为整数，为整数，从而可以确定的值，从而可得答案．
【详解】解：（1）
方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得；
故答案为：3
（2）∵，
∴
；
∵为整数，为整数，
∴，，
解得：或或或；
此时对应的为0或4或1或3，
∴的所有整数值的和为；
故答案为：8
15．
【分析】本题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容．
【详解】解：
．
故答案为：．
16． 1
【分析】先根据异分母分式加法计算得到，进而得到关于A、B、C的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：
，
又∵
∴，
解得．
故答案为：，，．
【点拨】本题主要考查了异分母分式加法计算，解三元一次方程组，正确把变成是解题的关键．
17．2或4/4或2
【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
，
，
，
整理得：，
整理得：，
关于x的方程无解，
当时，原方程无解，
即，
当，时是增根，原方程无解，
即或，
即，
综上实数k的值为2或4．
故答案为：2或4．
【点拨】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
18．
【分析】根据原计划完成的天数-实际完成的天数=缩短的工期天数，解答即可．
【详解】解：根据题意，得：（天），
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式的运用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式，注意化简．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先把括号里的式子通分，然后计算除法即可；
（2）先算负整数指数幂与零指数幂，再算乘除，最后加减即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】此题考查了分式的乘除加减混合运算、含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握分式的乘除加减混合运算法则和含整数指数幂的混合运算．
20．(1)原方程无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验．
（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】（1）解：
，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
21．(1)，当时，原式；
(2)
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：，然后先算乘法，再算减法，即可解答．
【详解】（1）解：（1）由题意得：
，
∵，，
∴，，
∴当时，原式；
（2）解：由题意得：
，
∴被墨水遮住的式子是，
故答案为：．
【点拨】此题考查了分式的化简求值，分式的四则运算，解题的关键是掌握分式的四则运算法则．
22．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【详解】（1）解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
（2）解：猜想第个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
猜想成立；
故答案为：．
23．(1)菜苗基地每捆甲种菜苗的价格是16元
(2)菜苗基地每捆乙种菜苗的价格是18元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元，根据学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种共用了1600元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元，根据用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆．列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元，
由题意得：，
解得：，
答：菜苗基地甲种菜苗的价格为16元；
（2）解：设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：菜苗基地乙种菜苗的价格为18元．
24．(1)
(2)， x=n或x=n+1
(3)n=12或11
【分析】（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程；
（2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可；
（3）利用已知解题方法得出方程的解．
【详解】（1）第四个方程为：，
即．
故答案为：；
（2）可得第n个方程为：，
解得：x=n或x=n+1；
故答案为：， x=n或x=n+1；
（3）将原方程变形，，
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n-2，或x=n-1，
当n-2=10时，n=12，
当n-1=10时，n=11，
∴n=12或11．