6.3用乘法公式分解因式(2)同步练习

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6.3 用乘法公式分解因式（二）
【知识提要】
1．掌握完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
2．能熟练运用乘法公式将多项式进行因式分解．
【学法指导】
1．完全平方公式的左边相当于一个二次三项式．
2．首末两项符号相同且能写成某数或某式的完全平方．
3．中间一项是这两个数或两个式子的积的两倍，符号可正可负．
4．公式的右边是两数或两式的和与差的平方．
5．公式中的a、b可以是单独的数或字母或其他整式．
范例积累
【例1】 判断下列各式能否用完全平方公式因式分解，为什么？
（1）a2-6a+9； （2）x2-8x+9；
（3）4x2-12x-9； （4）-12xy+x2+36y2．
【分析】 本题四个小题都是三项式，从项数看与完全平方公式相符，再看能否凑成a2±2ab+b2这个形式，可按“先两边，后中间”的步骤进行，即先定a2、b2，再看中间的项能否写成±2ab的形式．
【解】 （1）因为a2=（a）2，9=32，-6a=-2·a·3，所以a2-6a+9=（a-3）2能用完全平方公式分解．
（2）因为x2=（x）2，9=32，-8x≠-2·x·3，所以x2-8x+9不能用完全平方公式因式分解；
（3）因为4x2=（2x）2，-9=-32，但（2x）2与-32的符号不同，所以4x2-12x-9不能用完全平方公式因式分解；
（4）先整理为x2-12xy+36y2．因为x2=（x）2，36y2=（6y）2，-12xy=-2·x·（6y），所以-12xy+x2+36y2能用完全平方公式因式分解，且结果为：（x-6y）2．
【例2】 把下列各式分解因式：
（1）-x2+4x-4； （2）（a+b）2+2（a+b）+1；
（3）（m-2n）2-6（2n-m）（m+n）+9（m+n）2．
【分析】 （1）先提负号；（2）把（a+b）看成一个数；（3）把m-2n，m+n分别看成一个数，且2n-m=-（m-2n）．
【解】 （1）-x2+4x-4=-（x2-4x+4）=-（x-2）2；
（2）（a+b）2+2（a+b）+1=（a+b+1）2；
（3）（m-2n）2-6（2n-m）（m+n）+9（m+n）2
=（m-2n）2+6（m-2n）（m+n）+[3（m+n）]2
=[（m-2n）+3（m+n）]2=（4m+n）2．
【注意】 在运用完全平方公式分解因式过程中，再次体现“整体换元”思想方法．分解后的各因式最后只能是留一层括号的最简形式．
【例3】 把下列各式分解因式：
（1）a3-4a2b+4ab2； （2）18a4x2+24a2x2y+8x2y2．
【解】 （1）a3-4a2b+4ab2=a（a2-4ab+4b2）=a（a-2b）2；
（2）18a4x2+24a2x2y+8x2y2
=2x2（9a4+12a2y+4y2）
=2x2（3a2+2y）2．
【注意】 各式都有公因式，先把公因式提出来，再运用公式分解因式．
基础训练
1．填空题：
（1）4x2+______+9y2=（2x+3y）2； （2）16x2-24x+________=（4x-3）2；
（3）a2-ab+b2=（a-_______）2； （4）（m+n）2-2（m+n）+1=（_____-1）2．
2．下列各式为完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab-b2 B．a2b-2ab+ab=2
C．4（a+b）2-20（a+b）2+25 D．-2a2+4ab+2b2
3．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+2xy-y2 B．-xy+y2 C．-x2+2xy+y2 D．x2+xy+y2
4．若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（ ）
A． B．- C． D．±
5．若x2-kx+9是完全平方式，则k的值是（ ）
A．±3 B．±6 C．6 D．-6
6．计算：10.12-10.1×2.2+1.21=________．
7．把49a2-112ab2+64b4因式分解的结果是（ ）
A．（7a2-8b）2 B．（7a-8b2）（7a+8b2） C．（7a-8b2）2 D．（7a+8b2）2
8．把下列各式分解因式：
（1）16x4+24x2+9； （2）a2x2-16ax+64；
（3）-12ab-a2-36b2； （4）（2m-13n）2-20（2m-13n）+100；
（5）-2m3+24m2-72m．
提高训练
9．若a2-ab-4p是一个完全平方式，则p=_______．
10．分解因式：++n4=_________．
11．分解因式：xn+2xn+1+xn+2（n为正整数）．
12．已知a、b、c是△ABC的三边，试说明a2-b2-c2-2bc的值是正数、零、还是负数．
13．若100（a-b）2+（2k+4）（b2-a2）+400（a+b2）是一个完全平方式，求k的值．
应用拓展
14．已知x=156，y=144，求代数式x2+xy+y的值．
15．已知x+y=1，xy=-1，则x2+y2=_______．
答案:
1．（1）12xy （2）9 （3）b （4）m+n
2．C 3．B 4．C 5．B 6．81 7．C
8．（1）（4x2+3）2 （2）（ax-8）2 （3）-（a+6b）2
（4）（2m-13n-10）2 （5）-2m（m-6）2
9．- 10．n2（m+3n）2 11．（x+1）2·xn
12．负数 13．k=198或-202 14．45000 15．3
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