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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于任意的 值都有 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 已知 且 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4． 若 为实数且满足 ， 设 ， 有以下 2 个结论： ①若 ， 则 ； ②若 ， 则 ． 下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
5．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
6．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若实数a，b，c，d满足号，则的值为（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-2 D．1或-1
9．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
10．已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
12．若，则的值为 ．
13．若，则 ．
14．若正数a，b，c满足abc=1，，则 ．
15．已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为 ．
16．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
18．操作实验：一张大小为1个单位面积的纸条，按照如下方法将它剪去：第1次剪去纸条面积的，第2次剪去纸条剩余面积的，第3次剪去纸条剩余面积的，第4次剪去纸条剩余面积的，…，第n次剪去纸条剩余面积的.
（1）完成下表表格内容：
剪去的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 … 第n次
剪去的面积 …
剩余的面积 …
（2）由于面积总量为1，可得 ；
（3）计算，并逆用计算结果证明（2）中的等式.
19．阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由已知可得，则，即．
，
．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，，求的值．
20．已知 ， ， ．
（1）当 ， ， 时，求 的值；
（2）当 时,求 的值．
21．已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
23．在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为(当为常数时，)，则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式.
（1）在下列分式，，中，是字母的三次分式的有 ；
（2）已知，，(其中，为常数).
①若，，则，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值.
24．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式.一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”.
（1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是 .
①；②；③.
（2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”.
①求真分式；②当时，求的值.
（3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数.
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2023-2024学年七下数学第5章分式
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．对于任意的 值都有 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 对于任意的 值都有，
且，
∴M+N=2，2N-M=7.
解得：M=-1，N=3.
故答案为：B
2． 已知 且 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，此时发现a4=a1，即a5=a2，a6=a3，按此规律，.
故答案为：A.
3．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】∵
=
=
=
=，
当n=4时，，当n=5时，，
当n=6时，，当n=7时，，
则，
故更接近；
故答案为：A.
4． 若 为实数且满足 ， 设 ， 有以下 2 个结论： ①若 ， 则 ； ②若 ， 则 ． 下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】C
【解析】∵，
若ab＞1时，即2（ab-1）＞0，（a+1）（b+1）=a+b+ab+1＞a+b+2，
当a+b＞-2时，（a+1）（b+1）＞0，则M-N＞0，即M＞N，
当a+b＜-2时，（a+1）（b+1）＜0，则M-N＜0，即M＜N，
∴①不正确；
若ab＜1时，即2（ab-1）＜0，（a+1）（b+1）=a+b+ab+1，
当0＜ab＜1时，0＜ab+1＜2，a+b＜（a+1）（b+1）＜a+b+2，
故a+b＞0时，（a+1）（b+1）＞0，则M-N＜0，即M＜N，
故a+b＜-2时，（a+1）（b+1）＜0，则M-N＞0，即M＞N，
∴②不正确；
综上所述，结论①②都不正确，
故答案为：C.
5．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
【答案】B
【解析】
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
6．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
7．关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
8．若实数a，b，c，d满足号，则的值为（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-2 D．1或-1
【答案】D
【解析】设，
∴a=bk，b=ck，c=dk，d=ak，
∴a=bk=ck2=dk3=ak4，
∴k=1或-1，
当k=1时，a=b=c=d，
∴原式=，
当k=-1时，a=-b=c=-d，b=-a，d=-a，
∴原式=，
∴的值为1或-1.
故答案为：D
9．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
10．已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
∴
∴
∴
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
【答案】5050
【解析】∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
12．若，则的值为 ．
【答案】或
【解析】∵，
∴ac+a2=b2+bc，
∴若a-b≠0，那么-c=a+b，
∴原式=；
∵当a=b=c时，已知条件是成立的，
∴原式=，
综上，的值为或，
故答案为：或.
13．若，则 ．
【答案】或
【解析】∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，；
当a2+3a+1=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为0或.
故答案为：0或.
14．若正数a，b，c满足abc=1，，则 ．
【解析】
【答案】
15．已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为 ．
【答案】3
【解析】，，，，
∴，
解得：a=3。
故答案为：3.
16．已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为 .
【答案】1
【解析】∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
18．操作实验：一张大小为1个单位面积的纸条，按照如下方法将它剪去：第1次剪去纸条面积的，第2次剪去纸条剩余面积的，第3次剪去纸条剩余面积的，第4次剪去纸条剩余面积的，…，第n次剪去纸条剩余面积的.
（1）完成下表表格内容：
剪去的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 … 第n次
剪去的面积 …
剩余的面积 …
（2）由于面积总量为1，可得 ；
（3）计算，并逆用计算结果证明（2）中的等式.
【答案】（1）解：补全表格如下：
剪去的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 … 第n次
剪去的面积 …
剩余的面积 …
（2）
（3）解：
则
=
=
=
【解析】（2）1-剩余面积
故答案为： ；
19．阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由已知可得，则，即．
，
．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由，知，
则，
即，
得：．
∵=，
；
（2）解：由，，
得，
即：；
同理可知：；．
，
解得：．
，
．
20．已知 ， ， ．
（1）当 ， ， 时，求 的值；
（2）当 时,求 的值．
【答案】（1）解： ，
当 时，
∴
∴
∴
（2）解： ，
，
，
∵ ，
∴===1.
21．已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若，，，你能很快求出的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足，，，且．求代数式的值．
【答案】（1）解：等式右边左边，得证
（2）解：当，，时，
（3）解：，
，
，，，
，，，
原式．
23．在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为(当为常数时，)，则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式.
（1）在下列分式，，中，是字母的三次分式的有 ；
（2）已知，，(其中，为常数).
①若，，则，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值.
【答案】（1），
（2）解：①，
②∵，∴=+
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，所以n=1，
∴=＋＝
∴m=0 ，3m-n=0-1=-1
由 ①知，时也符合条件，此时 =0-（-4）=4，
综上，3m-n的值为-1或4。
【解析】（1） 分母的次数为3，分子的次数为0，故为三次分式 ； ，
中 分母的次数为4，分子的次数为1，故为三次分式；
中 分母的次数为3，分子的次数为2，故不是三次分式；
故答案为： ，
（2）
①m=0 ， n= 4代入，则A= B=∴=＋=∴分母的次数为2，分子的次数为1，故一次分式；
=·= 分母的次数为3，分子的次数为1，故二次分式；
=（）2＝ 分母的次数为2，分子的次数为0，故二次分式
故答案为： ，
24．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式.一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”.
（1）已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是 .
①；②；③.
（2）若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”.
①求真分式；②当时，求的值.
（3）若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数.
【答案】（1）②
（2）解：①∵，
∴
②∵，
∴.
当时，
（3）解：，0，1，3，4，6
【解析】】解：（1）①∵===，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
②∵，
则该分式与假分式的和是整式，
∴该分式与假分式互为“和整分式”；
③∵，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
故答案为：②；
（2）①∵，
又∵存在一个真分式与互为“和整分式”，
∴；
②∵，
∴，
当时，；
（3）∵与均与真分式互为“和整分式”，
设，，
∴，都是整式，且，
∵的值为整数，
∴为整数，
∴能被整除，且即，
∴或或，
解得：或或或或或，
∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数．
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