浙教版七年级数学下册 第一讲 平行线 培优教程 错题整理讲义 （无答案）

第一讲 平行线
知识梳理
要点诠释
知识点1：同位角、同旁内角、内错角的概念及特征
同位角 同旁内角 内错角
截线EF 同侧 同侧 异侧
被截线AB、CD 同侧 之间 之间
结构特征 F U Z
列举 ∠1与∠5； ∠2与∠6； ∠3与∠7； ∠4与∠8。 ∠3与∠6；∠4与∠5。 ∠3与∠5；∠4与∠6。
知识点2：平行线的定义和平行线公理，及平行线作图步骤
平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。平行用符号“”表示。
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
作图步骤：一放二靠三推四画。
注1：今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行。
2：在同一平面内，两条直线的关系有平行和相交。
知识点3：平行线的判定和平行线的性质
平行线的判定：判定方法一：平行线的定义；
判定方法二：同位角相等，两直线平行；
判定方法三：内错角相等，两直线平行；
判定方法四：同旁内角互补，两直线平行；
判定方法五：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
判定方法六：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
判定定理与性质定理的区别：从角的关系得到结论两直线平行，用平行线判定定理；从平行线得到角相等或互补关系，用平行线性质定理。填理由时，要防止把性质和判定定理相混淆。
【例1】如图2所示，同位角一共有________对，分别是________________；
内错角一共有________对，分别是________________________；
同旁内角一共有________对，分别是________________________。
【变式训练1】如图3，∠ABD的同旁内角共有（ ）。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式训练2】如图4所示，同位角共有（ ）。
A.6对
B.8对
C.10对
D.12对
【例2】如图5，在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线。
【变式训练3】画图题：
（1）在如图6所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH；
（2）判断EF、GH的位置关系是________；
（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是________。
【变式训练4】如图7，已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；
（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F。
【例3】设a、b、c为平面上三条不同直线。
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是________；
（2）若a⊥b，b上c，则a与c的位置关系是________。
【变式训练5】已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
【变式训练6】探索与发现：
（1）若直线，，则直线与的位置关系是________，请说明理由；
（2）若直线，，，则直线与的位置关系是________；（直接填结论，不需要证明）
（3）现在有2011条直线，且有，，，…，请你探索直线与的位置关系。
【例4】如图8，已知，，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠MCD的度数。
【变式训练7】如图9，已知，OE平分∠BOD，OE⊥OF，，分别求出∠BOE和∠DOF的度数。
【变式训练8】如图10，，OM⊥ON，OM平分∠BOC，，射线ON是∠BOD的平分线吗？请说明理由。
【例5】如图11，四边形ABCD中，，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线。
（1）∠1与∠2有什么关系？为什么？
（2）BE与DF有什么关系？请说明理由。
【变式训练9】如图12，在三角形ABC中，于E，DF⊥AB于F，，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由。
【变式训练10】如图13，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交BC于E，交AB于F。求证：EF平分∠DEB。
【例6】平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？
【变式训练11】平面内有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们有31个交点，怎样才能办到？
【变式训练12】在同一平面内，若有4条直线，则最多有________个交点；若200条直线中恰好有且只有2m条直线互相平行，则这200条直线最多有________________________个交点。（用含有m的式子表示）
【例7】求证：三角形内角之和等于180°。
【变式训练13】求证：四边形的内角和等于360°。
【变式训练14】证明：五边形内角和等于540°。
【例8】已知，直线，点P为平面上一点，连接AP与CP。
（1）如图①，点P在直线AB、CD之间，当，时，求∠APC；
（2）如图②，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由。
【变式训练15】如图①，已知AB∥CD，，。
（1）若，则________；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系并说明理由；
（3）如图②，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数。
【变式训练16】如图16所示，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC。（∠ABD的度数大于90°，小于120°）
（1）求证：；
（2）若点F为射线BE上一点，，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含的式子表示∠BGD的大小；
（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：______________________________。（题中所有的角都是大于0°、小于180°的角）
【例9】如图17，已知，，，求证：。
【变式训练17】（1）如图①，已知，若，，求证：；
（2）如图②，若，，，求证：；
（3）若，，，则与的数量关系是_________（用含有的代数式表示，不证明）
【变式训练18】已知直线，为直线AB、CD外的一点，连接AE、EC。
（1）E在直线AB的上方（如图①），求证：；
（2），（如图②），求证：，
（3）若E在直线，CD之间，在（2）条件下（如图③），且∠AFC比的倍少，则的度数为________。（不用写出解答过程）
【例10】（1）如图①，若AB∥CD，则，你能说明理由吗？
（2）反之，在图①中，若，直线AB与CD有什么位置关系？
（3）若将点E移至图②的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？
（4）在图③中，，与之间有何关系？
【变式训练19】探究：
（1）如图a，若AB∥CD，则，你能说明为什么吗？
（2）反之，若，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；
（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；
（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？
（5）在图d中，AB∥CD，与又有何关系？
【变式训练20】已知：。
（1）在图（3）中，之间有什么数量关系？请直接写出结论；
（2）若将点移至图（4）位値，之间有什么数量关系？请直接写出结论。
夯实中考
一、选择题
1.如图23，，，则∠4的度数是（ ）。
A.74° B.76° C.84° D.86°
2.如图24，直线，AE⊥CE于点E，若，则∠ECD的度数是（ ）。
A.120° B.100° C.150° D.160°
3.如图25，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b。理由是（ ）。
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4.如图26，AC与BD交于点O，AB∥CD，，，则∠C的度数为（ ）。
A.45° B.55° C.60° D.75°
二、填空题
5.已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图27所示方式放置（），并且顶点A、C分别落在直线a、b上，若，则∠2的度数是________。
6.如图28，m∥n，，，则________
7.如图29，直线a∥b，，，则________
8.将一副三角板如图30所示放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为________。
三、解答题
9.如图31，直线EF分别与直线AB、CD交于点E、F。EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN。
求证：AB∥CD。
10.如图32，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若，，点D在GH上，求∠BDC的度数。
11.如图甲，E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA、ED。
（1）探究猜想：
①若，，则∠AED等于多少度？
②若，，则∠AED等于多少度？
③猜想图甲中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并证明你的结论。
（2）拓展应用：
如图乙，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点）。
猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF的关系（不要求证明）。