第四章 因式分解综合题（基础）（含答案）

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第四章 因式分解综合题（基础）
一、单选题
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果代数式是完全平方式，则的值为（　　）
A．6 B． C．6或 D．6或2
5．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
6．如果是的一个因式，则m的值是（　　）
A． B．6 C． D．8
7．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是 (　　)
A．（a+3）（a-3）=a2-9 B．x2+x-5=x（x+1）-5
C．x2+1=（x+1）（x-1） D．a2b+ab2=ab（a+b）
8．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．在多项式中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作”．例如：，，…给出下列说法：
①存在某种“加换操作”，使其结果为；
②不存在某种“加换操作”，使其结果与原多项式的和为0；
③所有的“加换操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （　　）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
二、填空题
11．分解因式：　 　．
12．多项式的公因式是　 　．
13．因式分解：3a2﹣27=　 　．
14．分解因式：3x2﹣6x+3=　 　．
15．定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1　 　“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为　 　；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是　 　．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 (a，b为实数)。
（1）若x=2a-1，则a的值是　 　；
（2）若x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，则a+b的值是　 　。
三、计算题
17．22×3.14+61×3.14+17×3.14．
18．分解因式：
（1）
（2）
19．利用因式分解进行计算
（1）
（2）
四、解答题
因式分解
20．；
21．
22．因式分解：
23．分解因式（在实数范围内）： ．
24．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法表示②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________
（3）观察图②，请你写出式子、、ab之间的等量关系：__________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则的值为多少？
25．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．
26．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
3．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
4．【答案】C
【知识点】完全平方式
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的概念
6．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
7．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
9．【答案】D
【知识点】去括号法则及应用；添括号法则及应用
10．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
12．【答案】
【知识点】公因式的概念
13．【答案】3（a+3）（a﹣3）
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
14．【答案】3（x﹣1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．【答案】是；；67
【知识点】因式分解的应用；解二元一次方程组
16．【答案】（1）1
（2）8
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；加减消元法解二元一次方程组
17．【答案】解：22×3.14+61×3.14+17×3.14
=3.14（22+61+17）
=3.14×100
=314．
【知识点】因式分解的应用
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=3+7+11+15+19
=55
【知识点】因式分解的应用
【答案】20．
21．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
22．【答案】
【知识点】公因式的概念
23．【答案】解：a3 3a =a(a2-3)
= ．
【知识点】实数范围内分解因式
24．【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）69
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
25．【答案】解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）
=（13x﹣17）[（19x﹣31）﹣（11x﹣23）]
=（13x﹣17）（8x﹣8）
∵（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），
∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，
∴a+b+c=13﹣17﹣8=﹣12．
【知识点】代数式求值；公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
26．【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
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