第七讲分式方程2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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第七讲 分式方程
知识梳理
方程包括整式方程和分式方程，整式方程指一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程(八年级下册学习)，分式方程指分母里含有未知数的方程。本讲学习分式方程及其应用，同学们要善于找到它和整式方程的区别，牢固掌握这一中考热点。
1.分式方程及其解法。
(1)分母里含有字母的方程叫作分式方程。
(2)解分式方程：去分母，转化为整式方程，得根，验根。
(3)增根：使得分母等于零的根；在解分式方程时一定要验根，方法是将得到的根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根(增根应舍去)，否则不是；解分式方程最后一定要写出检验过程，这是重中之重。
(4)与增根有关的参数问题(参数指的是另一个“干扰”字母)：将原方程化为整式方程；确定增根；将增根代入所得到的整式方程中，求出参数的值。
2.分式方程的应用：其中的步骤和整式方程的应用题步骤一样，区别在于解出分式方程后，一定要对方程本身和实际问题验根，并且写出检验过程，切记不可忘了这一步。
【例1】解分式方程：
【变式训练1】解分式方程：
【变式训练2】解分式方程：
【例2】若关于x的分式方程 的解为负数，求a的取值范围。
【变式训练3】若关于x的分式方程 有非负数解，求a的取值范围。
【变式训练4】若关于x的分式方程 的解为非负数，则满足条件的非负整数k的值为 。
【例3】用换元法解方程：
【变式训练5】解方程：
【变式训练6】方程 的实数根是 。
【例4】解关于x的方程 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值。
【变式训练7】a为何值时，关于x的方程 会产生增根
【变式训练8】若关于x的方程 有增根，求增根和k的值。
【例5】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车。“复兴号”的速度比原来列车的速度快了40km/h，提速后从北京到上海运行时间缩短了 30min。已知从北京到上海全程约1320km，求“复兴号”的速度。设“复兴号”的速度为 xkm/h，依题意，可列方程为 。
【变式训练9】“绿水青山就是金山银山。”某工程队承接了 60万m 的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务。设实际工作时每天绿化的面积为x万m ，则下列方程中正确的是 ( )。
【变式训练 10】2020年5 月 1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾进行分类。小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
类 别 月 份 5 月 12 月
厨余垃圾分出量(千克) 660 8400
其他三种垃圾的总量(千克) x
如果厨余垃圾分出率=厨余垃圾分出量×100%(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的生活垃圾总量总量)，且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是 ( )。
【例6】近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标：现有甲、乙两个工程队，若甲、乙合作，24天可以完成，需要费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天
(2)若甲、乙两队单独完成此项工程，从节约资金的角度来讲，应该选择哪个工程队
【变式训练11】某项工程，甲、乙两队合作6天可以完成。若甲队单独做4天后，剩下的工程由乙队单独做9天才能完成。问：甲、乙两队单独完成这项工程，各需要多少天
【变式训练12】在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内(含30天)完成。现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队的资质材料可知：若两队合做，24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成。请问：
(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天
(2)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天(同时施工即为合做) 最低施工费用是多少万元
【例7】甲、乙两人沿圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB 两端同时相向出发，第一次相遇时离点A(弧形距离)80m，第二次相遇时离点 B(弧形距离)60m，求圆形跑道的周长。
【变式训练13】甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB 两端同时相向起跑。第一次相遇地点 P 距离A 点100m，第二次相遇地点Q距离B 点60m，两次相遇的地点在直线AB的同侧且顺序如图2 所示，求圆形跑道的周长。
【变式训练14】甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB 两端同时相向起跑。第一次相遇时离 A 点 100m，第二次相遇时离 B点 60m，求圆形跑道的总长。
【例8】我们定义：如果两个分式A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B 的“雅中式”，这个常数称为 A 关于 B 的“雅中值”。
如分式 则 A 是 B 的“雅中式”,A关于 B 的“雅中值”为2。
(1)已知分式 判断C是否为D 的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出 C关于 D 的“雅中值”。
(2)已知分式 P 是Q 的“雅中式”,且 P 关于Q 的“雅中值”是2,x为整数,且“雅中式” P 的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x 的值之和。
(3)已知分式 (a,b,c为整数),M 是 N 的“雅中式”,且 M 关于N 的“雅中值”是1,求a-b+c的值。
【变式训练15】对x、y定义一种新运行T，规定： (其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运行，例如：
(1)已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,求a、b的值;
(2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x、y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),则a、b应满足怎样的关系式
【变式训练16】对两实数x、y定义一种新运算，规定. 例如：
(1)填空:2
(2)若a 2=1,求a的值;
(3)若m、n为整数,且m n=1,求满足条件的所有m、n的值。
【例9】先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 ；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
(3)由(2)可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值，按要求写出你的变形求解过程。
【变式训练17】观察下列方程以及解的特征：
的解为 的解为
的解为
(1)猜想关于x方程 的解，并利用“方程解的概念”进行验证。
(2)利用(1)结论解分式方程：
②
【变式训练18】先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知方程 解为 方程 的解为 方程 的解为
问题：(1)观察上述方程及其解，再猜想出方程 的解；
(2)请你再按照上述格式命制一个方程。
【例10】观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，若写成上面式子形式，请你猜想
(2)说明你猜想的正确性；
(3)计算:
(4)解关于n的分式方程：
【变式训练 19】观察下列各式：
(1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x(x表示正整数)的等式表示出来： ；
(2)请利用上述规律计算： (x为正整数)；
(3)请利用上述规律，解方程：
【变式训练20】观察下列等式：
将以上三个等式两边分别相加得
(1)计算:
(2)猜想并写出：
(3)探究并解方程：
答案
【例1】解:
即
∴(x-6)(x-8)=(x-9)(x-19),即14x=123,
经检验 是原方程的解，
故
【变式训练1】解：原方程移项得 两边同时通分整理得： ∵两个分式分子相同，分式值相同，则分式分母相同， 解得:x=-7,经检验，x=-7是原方程的解。
【变式训练2】解：令x +2x-8=y,方程化为 即 解得:y=9x或.y=-5x,当y=9x时, 解得： 当y=-5x时, 解得：:x =-8,x =1,经检验都是分式方程的解，
【例2】解：分式方程去分母得：:(x+1)(x-1)-(x-2) =2x+a,
整理得 解得
根据题意得 解得:a<-5,
再将x=2代入方程得:a=-1,
将x=-1代入得:a=-7,
则a的取值范围为a<-5且a≠-7。
【变式训练3】解：
分式方程去分母得:2x=3a-4(x-1),
移项合并得:6x=3a+4,
解得
∵分式方程的解为非负数，
且 解得 且
【变式训练4】解：
∴x=2-k,
∵x≥0,
∴2-k≥0,
∴k≤2,
∴满足条件的非负整数k的值为0、1、2，
k=0时,解得x=2,符合题意,
k=1时,解得x=1,不符合题意,
k=2时,解得x=0,符合题意,
∴满足条件的非负整数k的值为0或2。
故答案为：0或2。
【例3】解
设
则原方程可化为 解得y =2,y =3,
当：y =2时 解得
经检验 是原方程的解；
当y =3时 解得
经检验 是原方程的解；
∴原方程的解为：
【变式训练5】解：令 方程化为
去分母得： 即(y-10)(y+2)=0,
解得:y=10或y=-2,
或x +3x=-2,
解得x =-5,x =2,x =-1,x =-2,
经检验： 都是原方程的根。
则原方程的根是
【变式训练6】解：∵
设 则 解得
∴当y =3时 无解舍去；
当 时
故答案为：
【例4】解：方程去分母后得：(k+2)x=-3，分以下两种情况：
令x=1,k+2=-3,则k=-5
令x=-2,-2(k+2)=-3,则
综上所述，k的值为-5，或
【变式训练7】解:方程两边都乘(x-2)(x+2),
得x+2+ ax=3(x-2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x-2)(x+2)=0,解得x=2或-2,
x=2时,a=-2,
当x=-2,a=6,
当a=-2或a=6时,关于x的方程 会产生增根。
【变式训练8】解:去分母得:3x+3-x+1=x+ kx,
由分式方程有增根,得到3x(x-1)=0,解得:x=0或x=1,
把x=0代入整式方程得：4=0，矛盾，舍去，
把x=1代入整式方程得：k=5。
【例5】解：设“复兴号”的速度为 xkm/h，则原来列车的速度为(x-40) km/h,
根据题意得：
故答案是：
【变式训练9】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万m ，则原计划工作每天绿化的面积为 万m ,
依题意得：
故选:C。
【变式训练10】解：根据题意知
故选:B。
【例6】解：(1)设甲队独做需a天，乙队独做需b天，
建立方程组
解得
经检验a=30,b=120是原方程组的解。
答：甲队独做需30天，乙队独做需120天。
(2)设甲队独做需x万元，乙队独做需y万元，
建立方程组
解得：
答：甲队独做需135万元，乙队独做需60万元，应该选择乙工程队。
【变式训练11】解：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要x天和y天，
由题意 解得
经检验 是分式方程组的解，
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要10天和15天。
【变式训练12】解：(1)设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天,
由题意得方程组 解之得:x=40,y=60,经检验x=40,y=60均是方程的根。
答：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天，60天。
(2)∵工程必须在规定时间30天内完成，
∴甲、乙两个工程队均不能单独完成且工作时间不超过30天，又∵甲工程队每天的施工费用为0.6万元，完成整个工程需要0.6×40=24(万元),
乙工程队每天的施工费用为0.35 万元，完成整个工程需要0.35×60=21(万元),
24>21,
∴要使施工费用最低，需使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成，
由(1)知，乙工程队30天完成工程的
∴甲工程队需施 (天),
最低施工费用为0.6×20+0.35×30=22.5(万元)。
答：(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天。
(2)要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元。
【例7】解：如图：设圆形跑道总长为2S，甲乙的速度分别为 V，V'，两人第一次在 C点相遇，第二次相遇有以下两种情况：
(1)甲乙第二次相遇在 B点下方D 处，
由题意，有 化简得
解此方程,得S=0或S=180,
经检验S=0或S=180都是原方程的解，但S=0不合题意，舍去，所以S=180,2S=360m。
(2)若甲乙第二次相遇在 B的上方D'处，
由题意，有 化简得
解此方程,得S=0或S=300,
经检验S=0或S=300都是原方程的解，但S=0不合题意，舍去，所以S=300,2S=600m。
这样，两人可能在D点处相遇，也可能在 D'点处相遇，故圆形跑道总长为360m或600m。
【变式训练13】解：设圆形跑道周长为 Sm，
化简得S -720S=0,
解得S =720,S =0(舍去),
经检验，S =720是原方程的解。
故圆形跑道周长为720m。·
【变式训练14】解：如图，
设圆形跑道总长为2S，又设甲乙的速度分别为V，V'，再设第一
次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况：
(1)甲乙第二次相遇在 B 点下方 D 处，此时有方程组
化简得
解此方程得S=0(舍去),S=240,
所以2S=480m，经检验是方程的解。
(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D'处，当D'在BC间，则有方程组 解此方程组得S=0(舍去),S=360,所以2S=720m，经检验也是方程的解，
(3)当D在AC之间,在AC之间的,则乙共跑了60m,
也就是第一次相遇时乙跑了20m，也就是半周长为120m，全长为240m，(注：甲乙两人一共才跑了1.5圈，所以有些一个人超过1.5圈的情况就不要考虑了)
∴这样，两人可能在 D 点处相遇，也可能在 D'点处相遇，故圆形跑道总长为240m、480m或720m。
【例8】(1)C是D 的“雅中式”,理由如下,
=-1。
即：C不是D 的“雅中式”。
∵P是Q 的雅中式，
又∵P关于Q 的雅中值为2，
∴E=6x+18,
∵P的值也为整数，且分式有意义，
故3-x=±1,或3-x=±2,或3-x=±6,或3-x=±3,
∴x的值为:-3,1,2,4,5,9,0,6
∵x≠±3,
∴x的值为:0,1,2,4,5,6,9。
符合条件的x的值之和为:0+1+2+4+5+6+9=27。
(3)∵M是 N 的“雅中式”,且 M 关于 N 的“雅中值”是1,
整理得:(-b-c+a+4)x+ bc-5a=0,
由上式子恒成立，则：
消去a得: bc-5b-5c+20=0,
∴b(c-5)-5(c-5)=5,
∴(b-5)(c-5)=5,
∵a、b、c为整数,
∴b-5、c-5也是整数,
当b-5=1、c-5=5时,b=5,c=10,此时a=12,
∴a-b+c=16,
当b-5=5、c-5=1时,b=10,c=6,此时a=12,∴a-b+c=8,
当b-5=-1、c-5=-5时,b=4,c=0,此时a=0,∴a-b+c=-4,
当b-5=-5、c-5=-1时,b=0,c=4,此时a=0,∴a-b+c=4。
综上:a-b+c的值为:16或8或-4或4。
【变式训练15】解：(1 (其中a、b均为非零常数),
又∵T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,
解得a=1,b=3,
∵T(x,y)=T(y,x),
∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立(这里T(x,y)和T(y,x)均有意义),
∴a=2b。
【变式训练16】解：(1)根据题中的新定义得：
故答案为：1
(2)已知等式利用新定义化简a 2=1得：
即 解得
故答案为
(3)根据题中的新定义得：
化简得
∵m,n为整数,
∴n的值为:±1,±3,m的值为:±2。
【例9】(1)解:关于x的方程 的解是 故答案为
(2)解：关于x的方程 的解是 故答案为
(3)解
即
解得：
【变式训练17】解：
(1)关于x方程 的解为
验证：当x=m时，左边 右边，
∴x=m是该分式方程的解；
当 时，左边 右边，
是该分式方程的解。
∴y=2或
②令4x-8=t,则
∴原方程变形为
即 则 或
∴t=2a或
即4x-8=2a或
解得 或
【变式训练18】解：(1)由题意知，方程 的解是 等。
【例10】解:(1)猜想得到
(3)原式
(4)已知方程整理得：
即 去分母得： 解得:n=7,经检验n=7是分式方程的解。
故答案为：
【变式训练19】解：
(2)原式
(3)方程变形得： 整理得：
去分母得:x+1-x+2=x-2,解得:x=5,
检验：将x=5代入原方程得：左边 右边，
∴原方程的根为x=5。
【变式训练20】解：
(2)原式
故答案为：
3x(x+9)=x(x+9)(2x-1),
x(x+9)(3-2x+1)=0,
经检验：x=0，-9，是方程的增根，
∴x=2。