专题二 不定方程(组) 2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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专题二 不定方程(组)
知识梳理
不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能唯一确定。对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定。
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 ax+ by-c有如下两个重要命题：
1.若(a,b)-d,且d|c,则不定方程 ax+ by-c没有整数解。
2.若x 、y 是方程 ax+ by-c且(a,b)-1的一组整数解(称特解),则 t.为整数)是方程的全部整数解(称通解)。
解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方、利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
【例1】一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是 。
【例2】如图1，在某张桌子上放相同的木块，R=62，S=78，则桌子的高度是 ( )。
A.70
B.78
C.16
D.62
【例3】求方程6x+22y=90的非负整数解。
【例4】方程|x-2y-3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是 。
【例5】求不定方程组 的正整数解。
【例6】有面额为1元、2元、5元的人民币若干，要用当中的10 张买一价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有 ( )。
A.1种 B.2 种 C.3种 D.4 种
【例7】某校初一年级的新生男女同学比例为8：7。一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17：15。到初三年时，原校有转学走，又有新转学来的，统计知，净增人数10人，此时，男女同学的比例变为7：6。问：该校在初一年时招收新生中，各招了男女同学多少名 (注：该校初一新生不超过1000人)
【例8】求方程 的正整数解。
【例9】《见微知著》谈道：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等。
例如: ab=1,求证: 证明：原式
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长。”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二：
基本不等式 当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具。
例如：在x>0的条件下，当x为何值时， 有最小值 最小值是多少
解： 即
当且仅当 即x=1时,. 有最小值，最小值为2。
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求下列各式的值：
(2)若 解方程
(3)若正数a、b满足 ab=1,求 的最小值。
【例10】当 时，求方程 的正整数解。
答案
【例1】解：设这个数为x则
n、z是自然数，
∴x=6n+3且x=5z-3,
∴5z=6(n+1),
当n=1时, 不合题意；
当n=2时, 不合题意；
当n=3时, 不合题意；
当n=4时,5z=30,z=6符合题意,
故x=4×6+3=27。
故答案为：27。
【例2】解：设木块的长为x，宽为 y，桌子的高度为z，
由题意得：
由①,得:y-x=62-z,
由②,得:x-y=78-z,
即62-z+78-z=0,
解得z=70,
即桌子的高度是70。
故选:A。
【例3】解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：3x+11y=45①,
由观察知,x =4,y =-1是方程3x+11y=1②的一组整数
解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
1为整数)，
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
180-11t≥0③,-45+3t≥0④,
由于 t是整数,由③,④得15≤t≤16,
所以只有t=15,t=16两种可能,
当t=15时,x=15,y=0;当t=16时,x=4,y=3。
所以原方程的非负整数解是
【例4】解：由题意得，x、y都是整数，
故可得x-2y-3、x+y+1都为整数,
从而可得：(解得
解得
解得
解得
综上可得解得整数解为 故有2组。
故答案为：2组。
【例5】解:
①×2得,10x+14y+4z=48③,
③+②得13x+13y=52,
即x+y=4,
∵x、y、z是正整数,
∴x=1,y=3或x=2,y=2或x=3,y=1,
把x=1,y=3代入②得,3-3-4z=4,z=-1,不合题意;
把x=2,y=2代入②得，,6-2-4z=4,z=0,不合题意;
把x=3,y=1代入②得,9-1-4z=4,z=1,符合题意。
故答案为
【例6】解：设一元x张，二元y张，五元z张，
∵要用当中的10张买一价值为18元的雨伞，
即y+4z=8,
∵y，z为非负整数，
或 或
则①2元的为：8张，1元的为：2张，
②5元的1张,2元的为:4张,1元的为:5张,
③5元的2张,1元的为:8张,
符合要求的付款方式共3种。
故选:C。
【例7】解：设初一年级时共招收新生15a人，初二年级学生总数为32b人，初三年级学生总数为13c人，a，b，c均为整数，依题意有
②-①解得
∵c是整数，
∴16b+5是13的倍数,
∴令16b=13k+8,即8(2b-1)=13k,
∵2b-1是奇数,
∴k能被8整除，且是8的奇数倍，
①当k=8×1时,b=7,代入①,得32×7-40=184,184不是15的倍数，
②当k=8×3时,b=20,代入①,得32×20-40=600,600是15 的倍数,
③当k=8×5时,b=33,代入①,得32×33-40=1016>1000,1016不是15的倍数。
综上所述，该校招收初一年级时新生600人，其中
男同学 (人)，女同学 (人)。
【例8】解:
∴(m+n)(m-n)=60=1×60=2×30=4×15=5×12=6×10,
∵m,n为正整数,
∴m+n与m-n都是正整数,且m+n>m-n,
或 或 或 或 或
舍)或 或 舍)或 舍)或 舍)或
即：方程 的正整数解为 或
【例9】解:(1)①∵ab=1,
则原式
故答案为：1，
②∵ab=1,
则原式
故答案为：1。
且 abc=1,
5x=1,
(3)∵正数a、b满足 ab=1,
∴当 时，M的值最小，
∴M最小值
【例10】解:∵x≤y≤z,且为正整数,
∴7x≤24,
∵x为正整数，
∴x=1或x=2或x=3,
①当x=1时 不符合题意，
②当x=2时
而
∵y≥x,
∵y为正整数，
∴y=2或y=3或y=4或y=5,
Ⅰ、当y=2时,
∴z=-8,不符合题意,
Ⅱ、当y=3时,
∴z=24,符合题意,
Ⅲ、当y=4时,
∴z=8,符合题意,
Ⅳ、当y=5时,
不是整数，不符合题意，
③当x=3时
m
∵y≥x,
∴y=3,
不是整数，不符合题意，
即：方程 的正整数解为