专题五 多元一次方程组2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题五 多元一次方程组
知识梳理
多元一次方程组的解法与二元一次方程的解法类同，主要是用代入或者加减消元法，并结合数学整体思想，最终将多元方程组转化成为一元一次方程，实现未知数的求解。
【例1】解方程组
【例2】设x+y+z+u=1,(2x+y):1=(2y+z):2=(2z+u):3=(2u+x):4,则7x+3y+3z+u= ( )。
A.3 B.2 C.1.5 D.1.2
【例3】解下列方程组：
(3)求方程组的正整数解。
【例4】方程组 的解是 ( )。
【例5】解方程组
【例6】有若干个整数,若每两个整数之和为 361、380、381、382、383、400、401、402、420、422,则这些整数分别是 。
【例7】购买五种商品 A 、A 、A 、A 、A 的件数与总钱数列成下表:
品 次 名 数 A A A A A 总钱数
第一次购件数 1 3 4 5 6 1992 元
第二次购件数 1 5 7 9 11 2984元
求：购买每种商品各一件共需多少元
【例8】(1)在图①中的5个空白圈内各填一个数，使相邻两圈中两数的平均数恰为与该两圈紧邻的外圈中的数(例如，以图②来说，就是
(2)探索：按第(1)题填数的要求，在图②中要使内圈的数a与b 相等，则外圈中的数A、B、C、E有怎样的数量关系 请说明理由。
【例9】A、B、C、D、E 五个人要完成某项工作，如果A、B、C三人同时工作需6h完成；A、C、E三人同时工作需 完成；A、C、D三人同时工作需7.5h；B、C、E三人同时工作需5h完成，则若五个人同时工作 h可以完成这项工作。
【例10】解方程组：
答案
【例1】解：由原方程组得
∴x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x
即x=-15+16x,解之得x=1,
将x=1代入⑧得u=4,
将u=4代入⑦得z=3,
将z=3代入⑥得 y=2。
【例2】解:设(2x+y):1=(2y+z):2=(2z+u):3=(2u+x):4=k,∴2x+y=k①;2y+z=2k②;2z+u=3k③;2u+x=4k④;①+②+③+④=3(x+y+z+u)=3=10k,
联立①②③④可得
∴可得:7x+3y+3z+u=2。
故选:B。
【例3】解:
①×②×③×④×⑤得
· ahede=+12.
(2)当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|,则原方程组可化为 此时无解；
当xy≤0时,|x+y|=|x|-|y|或|y|-|x|,
则原方程组可化为： 或
解得
①+②+③得, xy=45, xz=18, yz=10,
三式相乘得, xyz=9×2×5,
解得
【例4】解:由题意得:2(cx-by)=(bx+ cy),
将 A、B、C、D选项代入可得:A、B、D均不符合题意,
而当 代入满足2(cx-by)=(bx+ cy)。
故选:C。
【例5】解:令 原方程组化为：
由①+②得:2
把④代入②得：
把④，⑤代入②得
分别把④、⑤、⑥代入 可得
检验：把x、y、z的值代入原方程组的分母，不使分母为零，所以所得的值为原方程组的解。
原方程组的解为
【例6】解：根据每两个整数之和有10种可能可得共有5个整数，从而可设这五个整数为x、y、z、a、b(x∴可得
∵每两个整数之和为 361,380,381,382,383,400,401,402,420,422,
∴可得4(x+y+z+a+b)=361+380+381+382+383+400+401+402+420+422,
∴将x+y=361,a+b=422代入可得z=200,
代入可得:x=180,z=y=181,a=202,b=220。
故答案为:180,181,200,202,220。
【例7】解:设五种商品A 、A 、A 、A 、A 的价格依次为x、y、z、a、b,
则：
②-①得:2y+3z+4a+5b=992,③;
①-③得:x+y+z+a+b=1000。
答：购买每种商品各一件共需1000元。
【例8】解:(1)借图②的字母,有
各式相加,得:2(a+b+c+d+e)=30,
即a+b+c+e+d=15,
将①与②代入,得:a+6+10=15,
∴a=-1,b=5,c=1,d=7,e=3,
如图所示：
(2)设相邻两内圈中的数相等，设a=b，根据题意得：
b=2D-a,e=2C-a,c=2E-b=2E-2D+a,d=2B-e=2B-2C+a,
∴a=A+C+D-B-E,
同理可得:b=B+D+E-A-C,
∵a=b,
∴A+C=B+E。
【例9】解：设A的工作效率为x，B的工作效率为y，C的工作效率为z，D的工作效率为a，E的工作效率为b，
②-③得
①-③得
把③④代入④得2a+z=0,
∴a=0,z=0,
∴1÷(x+y+z+a+b)=3,
答：3h才能完成。
故答案为：3。
【例10】解:令
则
代入①得：
即
解得 (舍去),
∴x+y+z=9-5=4,
∵x: y:z=3:4:5,
∴方程组的解为