专题四 因式分解——添项拆项法2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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专题四 因式分解——添项拆项法
知识梳理
因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。
【例1】将 添上一项，使它成为 的形式，则可以添的项为 。
【例2】对于二次三项式 可以直接用公式法分解为( 的形式；但对于二次三项式 就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式 中先加上一项a ，使其成为完全平方式，再减去a 这项，使整个式子的值不变。于是有
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添项法。
请用上述方法把 分解因式。
【例3】在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。先阅读，再分解因式：x )。
(1)按照这种方法把多项式 分解因式；
(2)分解因式：
【例4】请用两种方法对多项式 进行因式分解。(拆添项算一种方法)
【例5】阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等。一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。
例如：分解因式：
解：原式： 第1步：拆项法，将 拆成 和
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)；
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底。
(1)请你试一试分解因式：
(2)请你试一试在实数范围内分解因式：
【例6】王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题。
例：若 求m和n 的值。
解：
,即:
∴m+n=0,n-3=0,
∴m=-3,n=3。
为什么要对2n 进行拆项呢 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题。相信你也能很好地解决下面的两个问题，请写出你的解题过程。
(1)若 求x 的值；
(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长,且满足 求此三角形的周长。
【例7】添项、拆项分组法因式分解：
答案
【例1】解:若16x ;是平方项，
则
所以，可添加±8x；
若16x 是乘积二倍项，
则
所以,可添加64x ,
综上所述，所添加的项为±8x或64x 。
故答案为:±8x或64x 。
【例2】解:
=(m-3) -1
=(m-3+1)(m-3-1)
=(m-2)(m-4)。
【例3】解:(1)x +4y
【例4】解：方法一
方法二：
【例5】解:
=x(x-1)(x+1)-6(x-1)
=(x-1)(x+3)(x-2);
【例6】解:
则
∴x-2y=0,y+1=0,
解得,x=-2,y=-1,
(a-5) +(b-6) =0,
∴a-5=0,b-6=0,解得,a=5,b=6,
当5是腰长时,三角形的周长=5+5+6=16,
当6是腰长时,三角形的周长=5+6+6=17,
∴此三角形的周长为16 或17。
【例7】解:(
=(a-1)[a(a+1)-8]