第二讲 二元一次方程组的解法 2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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第二讲 二元一次方程组的解法
知识梳理
一次方程组是在一元一次方程组的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地，我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等。尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一致的。“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代入法、加减法是消元的两种基本方法。
解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握的基础上的。
方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论。
【例1】先阅读，然后解方程组
解方程组时，可由①得x-y=1③，然后再将③代入②得4×1-y=5，求得y=-1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”。
请用这样的方法解方程组
【变式训练1】利用整体代入法解方程组
【变式训练2】运用整体代入法解方程组：
【例2】已知关于x、y的方程组与方程组的解相同，求a、b的值。
【变式训练3】已知关于x、y的方程组和的解相同，求a、b的值。
【变式训练4】已知方程组与方程组的解相等，试求a、b的值。
【例3】阅读下列材料：
小明同学需要解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错。如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2x-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题。以下是他的解题过程：令m=2x+3y，n=2x-3y。原方程组化为解得把代入m=2x+3y和n=2x-3y,得解得所以，原方程组的解为
请你参考小明同学的做法解方程组：
【变式训练5】解方程组若设，则原方程组可变形为解方程组得所以解方程组得我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法。请用这种方法解方程组：
【变式训练6】解下列方程组。
【例4】已知满足方程组的x、y的值的和等于2，试求m、x、y的值。
【变式训练7】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x-2y+1=0,求m的值。
【变式训练8】若满足方程组的x、y的和等于3，求m的平方根。
【例5】已知方程组的解是则方程组的解是。
【变式训练9】如果关于x、y的二元一次方程组的解是不求a、b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组的解 如果能，请求出方程组的解。
【变式训练10】已知关于x、y的二元一次方程组的解是则关于x、y的方程组
的解为。
【例6】解方程组：
【变式训练11】解方程组：
【变式训练12】解方程组
【例7】方程组的解x= ,y= 。
【变式训练13】已知a、b、c为实数，且求的值。
【变式训练14】解方程组
【例8】解方程组：
【变式训练15】解方程组：
【变式训练16】解方程组：
【例9】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②-①得:3x+3y=3,所以x+y=1③,
③×14得:14x+14y=14④,
①-④得:y=2,从而得x=-1,
所以原方程组的解是
(1)请你运用上述方法解方程组：
(2)请你直接写出方程组的解是 ；
(3)猜测关于x、y的方程组的解是什么 并用方程组的解加以验证。
【变式训练17】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题。
解方程组
解:由①-②得2x+2y=2,即x+y=1③,
③×16得16x+16y=16④,
②-④得x=-1,从而可得y=2,
∴方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法解方程组
(2)猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证。
【变式训练18】解方程组：
解:由①+②得:4000x+4000y=16000,即x+y=4③,
由①-②得2x-2y=2,即x-y=1④。
[归纳]：对于大系数的二元一次方程组，当用代入法和加减法解非常麻烦时，可以通过观察各项系数的特点，寻求特殊解法。
结合例子，解方程组：
【例10】已知a、b、c、d满足方程组则abcd=。
【变式训练19】解方程组
【变式训练20】已知实数a、b、c、d、e、f满足如下方程组则f-e+d-c+b-a
的值是。
答案
【例1】解:
由①得2x-y=2③,
将③代入②得解得y=5,
把y=5代入③得x=3.5,
则方程组的解为
【变式训练1】解
由①得x-3=6y,
把x-3y=6y②得12y-11=2y,解得
把代入x-3=6y得解得
所以原方程组的解为
【变式训练2】解：
把①代入②得,x+2y=16③,
把①和③组成方程组得解得
【例2】解:
①×2+②得:11x=11,解得x=1,
把x=1代入得:y=1,
所以第一个方程组的解是
把x=1，y=1代入第二个方程组得
③+④得:a=2,
把a=2代入①得:b=1,
所以第二个方程组的解是
【变式训练3】解:方程4x+ay=16和3x+ay=13相减,得x=3,把x=3代入方程2x-3y=-6,得y=4,
把x=3,y=4代入方程组
得解这个方程组,得a=1,b=2。
【变式训练4】解：由已知可得解得
把代入剩下的两个方程组成的方程组
得解得
故a、b的值为
【例3】解:(1)令
原方程组化为解得：
解得
∴原方程组的解为
(2)令
原方程组可化为：解得
经检验是原方程的解，
∴原方程组的解为
【变式训练5】解：设x+y=A,x-y=B,
方程组变形得整理得：
①×3+②×2得:13A=156,即A=12,
把A=12代入②得:B=0,
解得：
【变式训练6】解:(1)令
原方程组可化为解得
得解得
(2)令4x-7y=a,4x+7y=b,
原方程组可化为解得
得解得
【例4】解:
①×2-②×3得:y=-m+4,
把y=-m+4代入②得:2x+3(-m+4)=m,
x=2m-6,
∵x，y的值的和等于2，
∴2m-6+(-m+4)=2,
∴m=4,
∴x=2×4-6=2,y=-4+4=0,
答：:m=4,x=2,y=0。
【变式训练7】解：
①+②×2得13x=13m,解得x=m,
把x=m代入①得m+2y=5m,解得y=2m,
把x=m,y=2m代入x-2y+1=0得m-4m+1=0,解得
【变式训练8】解：化简方程组
为
解得
故m的平方根为±
【例5】解：方程组转化为
∴由恒等式意义，得
∴x=3,y=9,
∴方程组的解为
故答案为：
【变式训练9】解：根据题意可得解得故答案为：
【变式训练10】解：根据已知可得解得
故答案为
【例6】解
由①×2-②,得5x+3y=11④,
由①+③,得5x+6y=17⑤,
由⑤-④,并整理得y=2,
把y=2代入④,并解得x=1,
把x=1,y=2代入①,并解得z=3,
所以，原不等式组的解集是
【变式训练11】解
由①-②,得x-y=-2④,
由②×2-③,得x+3y=2⑤,
由⑤-④,得y=1,
将其代入④,解得x=-1,
把x=-1,y=1代入①,得z=3,
所以原方程组的解为
【变式训练12】解：方程组整理得
①×2+②得:15x-6y=24④,
③×2+②得:7x-4y=4⑤,
④×2-⑤×3得:x=4,
将x=4代入④得:y=6,
将x=4,y=6代入①得:24-24+3z=36,即z=12,
则方程组的解为
【例7】解：原方程组可化为设则解得故答案为：:1,
【变式训练13】解：将已知三个分式分别取倒数得：即将三式相加得；通分得：即
【变式训练14】原方程组可化为
⑤-⑥得
⑧+⑦得解得p=2,
代入⑦得解得r=1,
把p=2代入⑤得.解得q=3。
故原方程组的解为
【例8】解:(1)
①×3+②得,5|x|=20,解得|x|=4,
把|x|代入①得,4+|y|=7,|y|=3。
∴解为
【变式训练15】由方程|x-1|=2y-4=2(y-2)≥0得y≥2,故原方程组可化为：
把②代入①得:3y=12,
∴y=4,
把y=4代入②得:|x-1|=4,解得:x=5或x=-3,
∴原方程组的解为：或
【变式训练16】由第一个方程得:x-y=1或x-y=-1,即x=y+1或x=y-1,
与第二个方程组成下面两个方程组：①
把x=y+1代入|x|+2|y|=3得:|y+1|+2|y|=3,
去掉绝对值符号，可得：或
再将其代入x=y+1中，
可得方程组①的解为或
把x=y-1代入|x|+2|y|=3,得:|y-1|+2|y|=3,
去掉绝对值符号得：或
再将其代入x=y-1中，
可得出方程组②的解为或
故原方程组得解为或或或
【例9】解:(1)②-①得:3x+3y=3,所以x+y=1③,
③×2005得:2005x+2005y=2005④,
①-④得:y=2,
把y=2代入③得:x+2=1,解得:x=-1,
所以原方程组的解是：
当x=-1,y=2时,
第一个方程:左边=-m+(m+1)×=-m+2m+2=m+2=右边，
第二个方程:左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2=n+2=右边,是原方程组的解。
【变式训练17】解:(1)①-②,得2x+2y=2,即x+y=1③,
③×2005,得2005x+2005y=2005④,
②-④得x=-1,从而得y=2。
∴方程组的解是
验证把方程组的解代入原方程组，
得即方程组成立。
【变式训练18】解:①+②得:500x+500y=1500,即x+y=3③,
①-②得:6x-6y=54,即x-y=9④,
③+④得:2x=12,解得:x=6,
③-④得:2y=-6,解得:y=-3,
则原方程组的解为
【例10】解:∵3a+b+c+d=1①;a+3b+c+d=9②,
∴①-②得出a-b=-4,即b=a+4;
∵3a+b+c+d=1①;a+b+3c+d=9③,
∴①-③得出:a-c=-4,即c=a+4;
∵3a+b+c+d=1①;a+b+c+3d=5④,
∴①-④得出:a-d=-2,即d=a+2;
代入①得:3a+a+4+a+4+a+2=1,解得:a=-1.5,
所以b=2.5,c=2.5,d=0.5,
∴abcd=-1.5×2.5×2.5×0.5=-
故答案为：
【变式训练19】解：由原方程组得
∴x=5-2y=5-2(8-2z)
=-11+4z=-11+4(11-2u)
=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x,
即x=-15+16x,解之得x=1。
将x=1代入⑧得u=4,
将u=4代入⑦得z=3,
将z=3代入⑥得y=2,
【变式训练20】解：
∴①+②+③+④+⑤+⑥得:7(a+b+c+d+e+f)=1260,解得:a+b+c+d+e+f=180⑦,
∴①-⑦得:a=-160,②-⑦得:b=-140,
③-⑦得:c=-100,④-⑦得:d=-20,
⑤-⑦得:e=140,⑥-⑦得:f=460,
∴f-e+d-c+b-a
=460-140+(-20)-(-100)+(-140)-(-160)=420。
故答案为:420。