第四讲 整式的乘除 2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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第四讲 整式的乘除
知识梳理
指数运算律是整式乘除的基础，有以下四个：学习指数运算律应注意：
1.运算律成立的条件；
2.运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；
3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用。
多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：
1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；
2.确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；
3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止。
【例1】已知求下列各式的值：
(1)a+b+c+d+e+f;(2)b+c+d+e;(3)a+c+e。
【变式训练1】设这是关于x的一个恒等式(即对于任意x都成立)，则的值是。
【变式训练2】把(展开得求的值。
【例2】已知25x=2000,80y=2000,则等于___________。
【变式训练3】已知30x=2010,67y=2010,则
【变式训练4】已知6x=192,32y=192,则(的值为。
【例3】已知则a、b、c的大小关系是()。
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
【变式训练5】设按照从大到小的顺序排列为。
【变式训练6】比较这三个数的大小，按照从大到小的顺序排列为。
【例4】已知实数a、b、x、y满足(ax-by=3,ay+bx=8,则的值为。
【变式训练7】已知实数a、b、x、y满足(ax+by=3,ay-bx=5,求的值。
【变式训练8】已知a、b、x、y满足a+b=x+y=3,ax+by=7,求:
(1)ay+bx;
【例5】我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母做降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。
例如：计算可用竖式除法，如图1：
所以，除以2x+1,商式为余式为0。
根据阅读材料，请回答下列问题(直接填空)：
余式为；
能被2整除,则a=,b=。
【变式训练9】根据阅读材料，请回答下列问题：
的商是，余式是；
能被.整除，求a、b的值。
【变式训练10】根据阅读材料，请回答下列问题：
(2)(4x -4xy+y +6x-3y--10)÷(2x-y+5)=;
的余式为；
能被整除,则a=,b=.。
【例6】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。例如，图①可以得到请解答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式；
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则
(4)小明同学用图③中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形,则
【变式训练11】(1)请用两种不同的方法列代数式表示图①中阴影部分的面积。
方法①:;
方法②:。
(2)根据(1)写出一个等式:;
(3)若x+y=8,xy=3.75,利用(2)中的结论,求x、y的值;
(4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示。
如图②，它表示了试画出一个几何图形，使它的面积能表示
【变式训练12】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题。
例如:若a+b=3,ab=1,求的值。
解:∵。
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若(9-x)(x-6)=1,求(的值；
(2)如图4，C是线段AB上的一点以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和为16,求△AFC的面积。
【例7】观察下列各式：
；(其中n为正整数)
(3)计算:
【变式训练13】“杨辉三角”揭示了(a+b)"(n为非负数)展开式的各项系数的规律。在欧洲，这个表叫作帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
第一行1
第二行11(a+b) =a+b各项系数和为2
第三行121各项系数和为4
第四行1331各项系数和为8
第五行14641各项系数和为16
…………………………
根据上述规律，完成下列各题：
(1)将(a+b) 展开后,各项的系数和为;
(2)将(a+b)"展开后,各项的系数和为;
下方是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
(4)若(m，n)表示第m行，从左到右数第n个数，如(4，2)表示第四行第二个数是,则(6,2)表示的数是,(8,3)表示的数是。
【变式训练14】观察下列各式：
而
而(1+2+3) =36,∴1 +2 +3 =(1+2+3) ;
而(1+2+3+4) =100,∴1 +2 +3 +4 =(1+2+3+4) ;
根据以上规律填空：
(: ;
(2)猜想:11 +12 +13 +14 +15 = 。
【例8】已知(则(a-2017)(a-2018)=。
【变式训练15】若n满足(,则(n-2019)(2020-n)=。
【变式训练16】已知x满足(,则(x-2015) 的值是。
【例9】回答下列问题：
(1)填空:
(2)若则
(3)若求的值。
【变式训练17】若/
【变式训练18】已知则
【例10】已知a+10=b+12=c+15,则
【变式训练19】如果那么
【变式训练20】已知a+2b+3c=12,且.求的值。
答案
【例1】解:代入即得:a+b+c+d+e+f=2 =32;
(2)由5式相乘性质知a=1,f=1,
∴b+c+d+e=30;
(3)令x=-1,
-a+b-c+d-e+f=0,
又因为a+b+c+d+e+f=32,
∴a+c+e=16。
【变式训练1】解:当x=1时,(当x=-1时,两式联立相加，得
故填:13。
【变式训练2】解：由已知得，
当x=1时,有当x=-1时,有两式相加，得
【例2】解：由已知得两式相乘，得
解法二:∵25 =2000,80 =2000,
25×y×80×y=2000 ×2000 ,
∴xy=x+y,
故答案为：1。
【变式训练3】解:∵30 =2010,67y=2010,
【变式训练4】解:∵6x=192,
∴(6x)y=192y,即6xy=192y①,
∵32y=192,
∴(32 )x=192 ,即32 =192 ②,
①，②的两边分别相乘得：
6xy·32xy=192y·192x,
∴(6×32)x =192x+y,
∴192xy=192x+y,
∴xy=x+y,
∴(-6)(x-1)(y-1)+2
=(-6)xy-(x+y)+ ×36
=(-6)×36
=-216。
故答案为:-216。
【例3】解:
∴a>b>c。
故选:A。
【变式训练5】解:∵b=251,c=4 =2 ,
∴b>c,
又∵a=3 =9 ,b=251=8 ,
∴a>b,
∴a>b>c。
故答案为:a>b>c。
【变式训练6】解:∵a=2 =(2 ) ,b=3 =(3 ) ,c=5 =(5 ) ,∴2 =128,3 =81,5 =125,
∴a>c>b。
故答案为:a>c>b。
【例4】解:由题意得,ax-by=3①,
ay+bx=8②,
① 得
② 得
③+④得
故答案为：73。
【变式训练7】解:∵ax+by=3,ay-bx=5,
∴两边平方得：
c,
相加得
【变式训练8】解:(1)∵a+b=x+y=3,
∴(a+b)(x+y)=9,
∴(ax+by)+(ay+bx)=9,
∵ax+by=7,
∴ay+bx=2;
(2)∵ax+by=7,ay+bx=2,
=(ay+bx)(ax+by),
=14。
【例5】解:(1故答案为：
)的商式为x+3，余式为7，故答案为：7。
(3)设商式为(x+m),
则有+(2+2m)x+2m,
∴-2=2m,
∴m=-1,
∴a=2+m=1,b=2+2m=0
故答案为:a=1,b=0。
【变式训练9】解：(
…………
故答案为：
(2)由题意得：
能被整除，
∴a-2=-6,b=-6,
即:a=-4,b=-6。
【变式训练10】解:(故答案为：
=2x-y-2,
故答案为:2x-y-2。
(3)[(x-2)(x-3)+1]÷(x-1)=(x -5x+7)÷(x-1),
∴余式为:3。
(4)设商式为(x+m),
则有
∴-15=3m,
∴m=-5,
∴a=m-2=-7,b=3-2m=13。
故答案为:a=-7,b=13。
【例6】解:(1)∵正方形的面积=(a+b+c) ,正方形的面积
故答案为：(
(2)证明:(a+b+c)(a+b+c),
=100-2×35,
=30。
故答案为：30；
(4)由题可知，所拼图形的面积为：.
∵(5a+7b)(9a+4b)
∴x=45,y=28,z=83,
∴x+y+z=45+28+83=156。
故答案为:156。
【变式训练11】解:(1)方法①:(m+n) -4mn,
方法②：
故答案为:(m+n) -4mn,(m-n) 。
(2)由(1)可得:
故答案为：
(3)由(2)可得:
∵x+y=-8,xy=3.75,
∴x-y=±7;
又∵x+y=8,
或
(4)如图,表示(
【变式训练12】解:(1)∵(9-x)(x-6)=1,(9-x)+(x-6)=3
∴[(9-x)+(6-x)] =9,2(9-x)(x-6)=2,
∴(9-x) +(x-6) +2(9-x)(x-6)
=(9-x) +(6-x) +2(9-x)(x-6)=9,
∴(9-x) +(6-x) =9-2=7;
(2)设AC=a,BC=CF=b,
∴(a+b) =36,
∴ab=10,
【例7】解:(1)观察各式,总结归纳可知:原式=x"-1;
故答案为:x"-1;
(2)当x=2,n=100时,代入公式得:原式=2100-1;故答案为:2100-1;
(3)当x=3,n=51时,
【变式训练13】解：
1+5+10+10+5+1=32,
故答案为：32。
(2)第二行:(a+b) =a+b,1+1=2,各项系数和为2=2 ,第三行：，各项系数和为4=2 ，…
第n+1行:(a+b)”展开后各项系数和为2"。
故答案为：2"。
(3)由(2)得:(
故答案为：
(4)由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是 /n，
∴(6，2)表示第六行第二个数，是
按规律计算：第六行：
第七行：
第八行
∴(8，3)表示第八行第三个数，是
故答案为：
【变式训练14】解：由题意可知：
(1)∵1+2+…+n
故答案为
【例8】解:(a-2017)(a-2018)
故答案是：2。
【变式训练15】解:‘
∴[(n-2019)+(2020-n)]
=(n-2019) +2(n-2019)(2020-n)+(2020-n)
=1+2(n-2019)(2020-n)
=1,
∴(n-2019)(2020-n)=0。
故答案为：0。
【变式训练16】解：方程(可变形为：
[(x-2015)+1] +[(x-2015)-1] =8,
设x-2015=y,
则原方程可转化为:(y+1) +(y-1) =8,
即
,即(x-2015) =3。
故答案为：3。
【例9】解:(1)2、2。
(2)23。
两边同除a得
移项得：
【变式训练17】解：
即
即
故答案为：
【变式训练18】解：两边平方得
∴对其两边进行平方得
故
故答案为:2,0。
【例10】解:∵a+10=b+12=c+15,
∴a+10=b+12 a-b=2,同理得a-c=5,b-c=3,
故答案为：19。
【变式训练19】解：
则
即
故答案为：7。
【变式训练20】解：
即
整理，得
即：
∴a=b=c,
又∵a+2b+3c=12,∴a=b=c=2。