第五讲 因式分解2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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第五讲 因式分解
知识梳理
多项式的因式分解是中学数学的一个重要知识，是代数恒等变形的基本形式之一。因式分解法方法活、技巧强、应用广。
1.因式分解的步骤及思路：
(1)先看是否有公因式，若有公因式，则先提取公因式。
(2)观察项数，选择方法。一般地：
二项：考虑平方差公式或奇次幂的和、差公式；
三项：完全平方公式或十字相乘法或拆项、添项法；
四项或以上：分组分解法或立方公式或三项完全平方式。
(3)以上方法均感困难，则可考虑用换元法、双十字相乘法、待定系数法、求根法、轮换对称法等来因式分解。
2.因式分解应注意的事项：
要在要求范围内(实数、有理数)分解到不能再分解为止。
3.应掌握的常用公式：
补充几个重要公式：
当a+b+c=0时,有 在计算或证明中常用。
4.掌握常规的分组或添拆项的技巧，并结合常用公式进行因式分解。
【例1】已知a、b、c为三角形的三边，且( 则三角形的形状是 。
【变式训练1】已知 a、b、c 为△ABC 的三边长, ，且△ABC 为等腰三角形，求△ABC的周长。
【变式训练2】已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足 试判断三角形 ABC的形状。
【例2】若 可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 。
【变式训练3】已知 m、n是正整数，代数式 是一个完全平方式，则n 的最小值是 ，此时m的值是 。
【变式训练4】已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 m的值。
【例3】求方程 的整数解。
【变式训练5】求方程 的整数解。
【变式训练6】求不定方程 的整数解。
【变式训练 7】已知多项式 能分解为 则 q= 。
【变式训练8】因式分解；
【例5】若a 为正整数，则 是合数，求a的取值范围。
【变式训练9】已知 n是正整数，且 是质数，求n的值。
【变式训练10】已知n是正整数，.且 是质数,则n= 。
【例6】先阅读下面的解法，然后解答问题。
例：已知多项式 分解因式的结果中有一个因式是(3x+1)，求实数m。
解：设 K(K为整式),
令(3x+1)=0,则 得
这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题。
(1)若多项式 分解因式的结果中有一个因式为(x-2)，则实数m= ；
(2)若多项式 分解因式的结果中有一个因式为(x+1)，求实数n的值；
(3)若多项式 分解因式的结果中有因式(x+1)和(x-2)，求m、n的值。
【变式训练11】问题：已知多项式 含有因式 和 ,求m、n的值。
解答：设. (其中 A 为整式),
∴取x=1,得
∴取x=2,得
由①、②解得m=-5,n=20。
根据以上阅读材料解决下列问题：
(1)若多项式 含有因式(x-1)，求实数a的值；
(2)若多项式 含有因式(x+y-2),求实数m、n的值;
(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数。请求出多项式 除以一次因式(x+1)的余数。
【变式训练12】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题。
已知多项式 有一个因式是2x+1，求m的值。
解法一：设 则
比较系数得 解得
解法二：设 (A为整式),
由于上式为恒等式，为方便计算取 故
选择恰当的方法解答下列各题：
(1)已知多项式 有一个因式是x-3,m= ;
(2)已知 有因式(x-1)和(x-2),求m、n的值;
(3)已知 是多项式 的一个因式，求a、b的值，并将该多项式分解因式。
【例7】阅读下面内容并完成后面的练习：
因为 所以
因为 所以
因为 所以
因为 所以
因为 ,所以 =(x+a)(x+b)。
请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解：
【变式训练13】阅读下列材料：
材料1：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足( 且 则可以把 因式分解成(x+m)(x+n)。
①x +4x+3=(x+1)(x+3);②x -4x-12=(x-6)(x+2)。
材料2：因式分解：
解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式
再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把 分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
②分解因式：7
【变式训练14】观察下列各式。
①4×1×2+1=(1+2) ;②4×2×3+1=(2+3) ;③4×3×4+1=(3+4) …
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出 可以是哪个数的平方
(2)试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立；
(3)利用前面的规律，将 因式分解。
【例8】在实数范围内分解因式：
【变式训练15】在实数范围内分解因式：
【变式训练16】在实数范围内分解因式：
【例9】设 求 的值。
【变式训练17】已知 求 的值。
【变式训练 18】已知 求 的值。
【例10】设n 是整数,请问( 能否被8整除 若能，请加以证明；若不能，举出反例。
【变式训练 19】求证： 能被45 整除。
【变式训练 20】利用分解因式证明： 能被120整除。
答案
【例1】解:
即
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形。
故答案为：等边三角形。
【变式训练1】解：`
∴a-2b=0,b=1,
∴a=2,b=1,
∵等腰△ABC,
∴c=2,
∴△ABC的周长为5。
【变式训练2】解： 原式可化为 即a=5,b=12,c=13(a,b,c都是正的),而 符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形。
【例2】解: 可以用完全平方式来分解因式，∴2(3-m)=±10,解得:m=-2或8。
故答案为：-2或8。
【变式训练3】解：∵代数式 是一个完全平方式，∴10+n是完全平方数，
∵m，n是正整数，且大于10 的最小完全平方数是16，
∴10+n=16,
∴n=6,
由完全平方式的性质可以得出：mx=8x，
∴m=8。
故答案为:6,8。
【变式训练4】解：∵
两边平方并整理得， 解得m =6,m =18,所以m的值为6或18。
【例3】解:2
∵求方程的整数解，
解得 无解；
无解 解得
无解 无解；
解得 无解；
解得 无解；
无解 解得
故方程 的整数解为
【变式训练5】解:∵2xy-x-y-3=0,
∴4xy-2x-2y-6=0
∴4xy-2x-2y+1=7,
∴(2x-1)(2y-1)=7
∵x,y为整数,
∴(2x-1)与(2y-1)也是整数,
而(2x-1)(2y-1)=7=1×7=7×1=-1×(-7)=-7×(-1),.
或 或 或
或 或 或
【变式训练 6】解：
=(x-2y)(x-3y)-3x+5y-11
=[(x-2y)+1][(x-3y)-4]-7
=(x-2y+1)(x-3y-4)-7
=0,
(x-2y+1)(x-3y-4)=7,
则 解得
解得
解得
解得
故不定方程 的整数解为
【例4】解：原式
故答案为：(
【变式训练7】解
(
∴展开式乘积中不含x 、x 项，
解得
故答案为:-2,7。
【变式训练8】解：原式
【例5】解:
∵a为正整数，
与a +3-3a都是正整数,
是合数，
与a +3-3a都是大于1的正整数，
且
且
∴(a+1)(a+2)≠0且(a-1)(a-2)≠0,
∴a≠-1且a≠-2且a≠1且a≠2,
∴a的取值范围是大于2的正整数。
【变式训练9】解：∵
而 为质数，
即| 解得n=3。
故答案为：3。
【变式训练10】解:n +2n-24=(n+6)(n-4),
∵n为正整数， 是质数，
∴n-4=1,解得n=5。
故答案为：5。
【例6】解:(1)由题意得. K(K 为整式),令x-2=0,则x=2,
把x=2代入. ,得m=2,
故答案为：2；
(2)设 A(A为整式),
若x ),则x+1=0或A=0,当x+1=0时,x=-1,
则x=-1是方程 的解，
,即-1+3-5+n=0,解得,n=3;
(3)设 B为整式)，若：
则x+1=0,x-2=0,C=0,
当x+1=0时,即x=-1,
∴(-1) +m·(-1) +n·(-1)-14=0,即m+n=-13①,当x-2=0时,即x=2,
∴2 +m·2 +n·2-14=0,即4m+n=-1②,
联立①②解方程组得：
【变式训练11】解:(1)设 (其中M为整式)，
∴取x=1,得3+a-2=0,解得a=-1;
(2)设 )(其中 N为整式),∴取x=0,y=2,得4n+4=0①,
取x=1,y=1,得2+m+n-4+2=0②,
由①②的m=1,n=-1;
(3)设这个非负数为a，另一因式为Q，
∴可得到关系式为
将x=-1代入,得1+2+3-a=0,解得a=6。
故 除以一次因式(x+1)的余数为6。
【变式训练12】解：(1)由题设知：x + mx-15=(x-3)(x+n)
故m=n-3,-3n=-15,解得n=5,m=2,
故答案为：2；
(2)设 A为整式)
分别令x=1和x=2得: 解得 ∴m=-5,n=20;
(3)设
.
解得
∴多项式
∴a=-5,b=-3,
该多项式分解因式为：
【例7】解：由已知条件易得： x +(a+b)x+ ab=(x+a)(x+b)。
故答案是：
【变式训练13】解:(1)x -6x+8=(x-2)(x-4);
(2)①令A=x-y,
则原式=A +4A+3=(A+1)(A+3),所以(x-y) +4(x-y)+3=(x-y+1)(x-y+3);
②令
则原式=
所以原式：
【变式训练 14】解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017) =4033 。
(2)猜想第n个等式为4n(n+1)+1=(2n+1) ,理由如下:
∵左边 右边
∴左边=右边，
∴4n(n+1)+1=(2n+1) 。
(3)利用前面的规律，可知
【例8】解:
【变式训练15】解：
=(x-1) -2
【变式训练16】解：
【例9】解:由 得：
所以，原式 -1
=2005。
【变式训练 17】解: 即
=25-10
=15。
【变式训练 18】解:
=3+1999
=2002。
【例10】解:(2n-1) -1能被8整除,理由如下:
(2n-1) -1=(2n-1+1)(2n-1-1)=4n(n-1),
∵n是整数，
∴n与(n-1)是两个连续整数,n(n-1)能被2整除,
∴4n(n-1)能被8整除,即(2n-1) -1能被8整除。
【变式训练19】解：证明：原式
=3 ×5
所以能被45整除。
【变式训练20】解：证明：
=5 ×24
=5 ×5×24
=5 ×120,
能被120 整除。