第三讲 二元一次方程组的应用 2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第三讲 二元一次方程组的应用
知识梳理
1.列方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、作答等。
2.学会找实际应用问题中的等量关系，能掌握寻找相等关系的常用方法：
(1)从关键词中寻找相等关系；
(2)利用基本公式寻找相等关系；
(3)利用不变量寻找相等关系；
(4)对一种“量”从不同的角度进行表述(即计算两次)，形成一种相等关系。
3.学会运用二元一次方程组这一数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学的应用意识。
4.提高运用二元一次方程组解决应用题设元的能力，能运用设元技巧进行设元：①直接设元；②间接设元；③辅助设元；④整体设元。
5.让学生进一步体会未知量转化为已知量的辩证思想，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。
【例1】已知x ,x ,x ,…,xn中每一个数值只能取-2、0、1中的一个,且满足求的值。
【变式训练1】已知x ,x ,x ,…,x 中每一个数值只能取-2、0、-1中的一个,且满足则
【变式训练2】已知x ,x ,x ,…,xn中每一个数值只能取2、0、-1中的一个,且满足则的值为。
【例2】有一片牧场，草每天都在匀速生长(草每天增长量相等)。如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问：如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草
【变式训练3】一片草原上的青草，到处都长得一样密一样快，设所有的牛每头每天吃的草量相同，70头牛在24天内吃完，30头牛在60天内吃完，求：每天长的草量是原来的几分之几
【变式训练4】一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完。那么，若在120天里将草吃完，则需要()头牛。
A.16 B.18 C.20 D.22
【例3】某项工程若由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付1800元；若由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；若由丙、甲两队承包，天可以完成，需支付1600元；
(1)问甲、乙、丙三队的工作效率分别是多少
(2)在保证一个星期内完成这项工程的前提下，选择哪个队单独承包费用最少
【变式训练5】思源实验学校为了迎接落成庆典，抓紧时间平整广场，在广场铺火烧板，有甲、乙两个工程队承接了这项工程。若甲工程队工作16天，乙工程队工作6天可以完工，政府应付工程款196000元；若甲工程队工作10天，乙工程队工作12天，工程还剩下没有完工，政府应付工程款172000元。
(1)甲、乙两个工程队单独完成这项工程，分别需要多少天
(2)落成庆典时间紧，要求工程必须在15天内(含15天)完工。为了不耽误工期，从节约工程款的角度考虑，应如何安排甲、乙两个工程队的施工时间
【变式训练6】“三宁”公司扩建，某项工程招标时，工程领导小组接到了甲、乙、丙三个工程队的投标书，甲、乙工程队合作施工两天需付工程款6万元，乙、丙工程队合作施工三天需付工程款6.6万元，甲、丙工程队合作施工4天需付工程款12.8万元。工程领导小组根据甲、乙、丙三队的投标书测算，得到以下四种方案：
方案①：由甲工程队单独完成这项工程，刚好按规定日期完成；
方案②：由乙工程队单独完成这项工程，所需天数是规定日期的两倍；
方案③：由丙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多9天；
方案④：先由甲、乙、丙三工程队合作做3天，再由乙、丙两工程队合作做3天，最后由丙工程队单独做，也正好如期完成；
(1)每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为多少万元
(2)规定的日期是多少天
(3)在不耽误工期的前提下，你觉得哪种方案最省钱 请说明理由。
【例4】某果品商店进行组合销售,甲种搭配:2kgA水果,4kgB水果;乙种搭配:3kgA水果,8kgB水果,1kgC水果;丙种搭配:2kgA水果,6kgB水果,1kgC水果。已知A水果2元/kg,B水果1.2元/kg,C水果10元/kg。某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元，其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元
【变式训练7】某品牌化妆品商店有A、B、C三种型号的化妆品，今年国庆节期间采用组合打折销售，销售时采用了三种组合的方式进行销售，甲种组合是：4盒A种，4盒B种，1盒C种；乙种组合是：5盒A种，6盒B种；丙种组合是：4盒A种，4盒B种，1盒C种。如果组合销售打折后A种每盒售价为80元，B种每盒售价为100元，C种每盒售价为120元。国庆节当天，商店采用三种组合搭配的方式进行销售后共得销售额为9920元，其中A种的销售额为3760元，那么C种化妆品的销售额是。
【变式训练8】某文具店对文具进行组合销售，甲种组合：4支自动铅笔，8支签字笔；乙种组合：6支自动铅笔，16支签字笔，2个笔记本；丙种组合：4支自动铅笔，12支签字笔，2个笔记本。已知自动铅笔每支4元，签字笔每支3元，笔记本每个20元。上个周末销售这三种组合文具共1972元，其中自动铅笔的销售额为456元，则笔记本的销售额为元。
【例5】新春佳节之际，某商家推出收费印制巴蜀中学logo的新春礼品，礼品主要包含三种：对联、门神和红包。如果印制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果印制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元。某人想印制16副对联、10副门神、22个红包，共需付人民币元。
【变式训练9】重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；如果购买A、B、C各1盆，需付人民币元。
【变式训练10】有A、B、C三种不同的货物，如果购买A种货物3件、B种货物7件、C种货物1件，需付人民币315元；如果购买A种货物4件、B种货物10件、C种货物1件，需付人民币420元，某人想购买A、B、C各一件,需元。
【例6】如图1，甲、乙、丙均为正方形，甲与乙的面积之和是丙面积的，甲内阴影部分的面积占甲面积的，乙内阴影部分面积占乙面积的，丙内阴影部分的面积占丙面积的，则甲、乙两个正方形面积的比为。
【变式训练11】如图2，长方形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积为。
【变式训练12】用8张全等的小长方形纸片拼成了图①所示的大长方形，然后用这些纸片又拼成了图②所示的大正方形，但中间却多了一个面积为4cm 的小正方形的洞。求小长方形纸片的长与宽。
【例7】甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问：他们至少需要多少时间才能到达
【变式训练13】从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡3km/h，平路4km/h，下坡5km/h，那么从甲地到乙地用54min，从乙地到甲地用42min，甲地到乙地的全程是多少
【变式训练14】怡荣号渡轮时速40km，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地。(水速为24km/h)有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能任船漂流到B地，船长记得该日所用的时间为原单数日的倍。另一双数日渡轮航行到途中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1h后船以2倍时速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差。请问：A、B两地的距离为多少km
【例8】某校准备去楠溪江某景点春游，旅行社面向学生推出的收费标准如下：
人数m 0200
收费标准(元/人) 90 80 70
已知该校七年级参加春游的学生人数多于100人，八年级参加春游的学生人数少于100人。经核算，若两个年级分别组团，共需花费17700元；若两个年级联合组团，只需花费14700元。
(1)两个年级参加春游的学生人数之和超过200人吗 为什么
(2)两个年级参加春游的学生各有多少人
【变式训练15】某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 0200
收费标准(元/人) 90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动，已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人。经核算，若两校分别组团，共需花费16875元；若两校联合组团，只需花费16575元。
(1)两所学校报名参加旅游的学生共有多少人
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人
【变式训练16】五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票(不足30人的余数不优惠)。今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人。
【例9】某船顺流航行105km，逆流航行60km，共用了9h，另一次在同样的时间内顺流航行84km，逆流航行75km，求船在静水中的航行速度和水流速度。
【变式训练17】甲、乙两地航线为9750km，一架飞机从甲地顺风飞向乙地用了12.5h，它逆风飞行同样航线所用的时间比顺风多用0.5h，求飞机的平均速度与风速。
【变式训练18】一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇。他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过吗 ”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船。”快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船。已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船静水速度的倍。
【例10】某学校的环形跑道长400m，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度慢跑和骑自行车。如果反向而行，那么他们每隔40s相遇一次；如果同向而行，那么他们每隔80s乙就追上甲一次。甲、乙的速度分别是多少m/s
【变式训练19】甲、乙两邮递员分别从A、B两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18km，相遇后甲走4.5h到达B地,乙走8h到A地,求A、B两地的距离。
【变式训练20】两人在环形跑道上跑步，方向相同，每隔4min10s相遇一次；方向相反时，每隔50s一次，求：每人跑一圈各需几min (甲速大于乙速)
答案
【例1】解:设有p个x取1,q个x取-2,
有解得
所以原式：
【变式训练1】解:设有p个x取-1,q个x取-2,
有解得
所以原式：
【变式训练2】解:设x ,x ,x ,…,xn中有m个2,n个-1,
解得
故答案为：13。
【例2】解：设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛x天吃完牧草，再设牧场原有草量是a。
根据题意，得
②-①,得y=12x④,
③-②,得(z-8)y=8x(2z-21)⑤,
由④、⑤,得z=18,
答：如果放牧16头牛，则18天可以吃完牧草。
【变式训练3】解：设这片草原上原来的草量为xkg，每天草长ykg，每头牛每天吃草mkg，
根据题意，可列方程组得：解得即每天长的草量是原来的
答：每天长的草量是原来的
【变式训练4】解：设草一天增加量是a，每头牛每天吃的草的量是b，原有草的量是c。
根据题意，得解得
则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是
故选:C。
【例3】解：(1)设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成。
则甲、乙、丙三队的工作效率分别是
(2)设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，
得
于是,由甲队单独承包,费用是455×4=1820(元),
由乙队单独承包,费用是295×6=1770(元),
而丙队不能在一周内完成，所以由乙队承包费用最少。
【变式训练5】解：(1)设甲、乙两个工程队单独完成这项工程，分别需要x、y天，由题意得解得经检验是原方程组的解，
∴原方程组的解为
答：甲、乙两个工程队单独完成这项工程，分别需要20、30天；
(2)设甲、乙两个工程队每天应得工程款a元、b元，
则解得
由于甲、乙两个工程队单独完成这项工程都超过了工期，故应合作完成，为了节约工程款，应尽量安排乙工程队。安排乙工作15天，完成工程的一半，同时安排甲工程队工作10天，完成另一半，总工程款为190000元。
答：安排甲工程队工作10天，同时安排乙工作15天，总工程款最少为190000元。
【变式训练6】解：(1)设每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为x万元、y万元、z万元，
根据题意，得解得
答：每天付给甲、乙、丙工程队的工程款分别为2万元、1万元、1.2万元。
(2)设规定的日期是a天，根据题意，得
解得a=18,
经检验，a=18是原方程的解，也符合题意。
答：规定的日期是18天。
(3)∵方案②与方案③都耽误工期，
∴施工方案是①与④，
方案①需要的工程款为:2×18=36(万元),
方案④需要的工程款为:3(2+1+1.2)+3(1+1.2)+1.2×12=12.6+6.6+14.4=33.6(万元),
∴在不耽误工期的前提下，方案④最省钱。
【例4】
水果搭配 A B C
甲 2 4 0
乙 3 8 1
丙 2 6 1
解：如上表，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，
则由题意得
即
由②-①×11得31(y+z)=465,即y+z=15,
所以,共卖出C水果15kg,C水果的销售额为15×10=150(元)。
答：C水果的销售额为150元。
【变式训练7】解:甲种组合的销售价为:4×80+4×100+120=840(元),
乙种组合的销售价为:5×80+6×100=1000(元),
丙种组合的销售价为:4×80+4×100+120=840(元),
设国庆节当天，甲种组合销售了x套，乙种组合销售了y套，丙
种组合销售了z套，根据题意得
①-②×2.5,得40x+40z=520,
∴x+z=13,
∴C的销售额为:120x+120z=120(x+z)=120×13=1560(元)。故答案为:1560元。
【变式训练8】解：设销售甲种组合x套，乙种组合y套，丙种组合z套，依题意得：
整理，得
①×2-②×5得,104y+104z=1664,
∴y+z=16,
笔记本的销量为16本,2×16×20=640(元)。
故答案为:640。
【例5】解：设印制1副对联需要x元，1副门神需要y元，1个红包
需要z元，依题意得：
①×4+②×2得:16x+10y+22z=170。
故答案为:170。
【变式训练9】解：设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植
物z元一盆，由题意，得
原方程组变形为：
由①-②,得x+y+z=105。
故答案为:105。
【变式训练10】解：设A、B、C三种不同的货物单价为x、y、z元，
依题意，得
设x+y+z=m(3x+7y+z)+n(4x+10y+z)
则解得
∴x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)=3×315-2×420=105。
【例6】解：设甲的面积为x，乙的面积为y，丙的面积为z，依题意得：
由②可得：
将③代入①中得：
∴x:y=2:1。
故答案为:2:1。
【变式训练11】解：设未知的三块面积分别为x，y，z(如图)，
则 即由①+②解得y=85。
故答案为：85。
【变式训练12】解：设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，那么可列出方程组为：解得答：每个长方形的长为10cm，宽为6cm。
【例7】解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm。
贝
解得a=60,b=20,
则至少需要
答：他们至少需要6.75h才能到达。
【变式训练13】解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，依题意得解之得
∴x+y=3.1km。
答：甲地到乙地的全程是3.1km。
【变式训练14】解：设A、B两地的距离为xkm，A、C两地的距离为ykm,
解得
答:A、B两地的距离为192km。
【例8】解：(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，若a>200,则a=14700÷70=210(人),
若100(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，则：
①当100200时,得解得(不合题意，舍去)。答：七年级参加春游学生人数有120人，八年级参加春游学生人数有90人。
【变式训练15】解：(1)设两校人数之和为a，
若a>200,则a=16575÷75=221(人),
若100答：两所学校报名参加旅游的学生共有221人或195人。
(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则
①当100解得：
解得：(不合题意，舍去)；
②当x>200时,
或解得
答：甲学校报名201人，乙学校报名20人或甲学校报名135人，乙学校报名60人。
【变式训练16】解：设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，因为3834÷18=213,4770÷18=265,5220÷18=290,
又213=30×7+3,265=30×8+25,290=30×9+20,
根据公园门票优惠方法得方程组:x+y=213+7,即x+y=220,y+z=265+8,即y+z=273;
z+x=290+9,即z+x=299,
三式相加得:2(x+y+z)=792,故x+y+z=396,即三个团共有396人,由y+z=273可知，穗城团与羊城团合起来有273人，而273应写成30×9+3,即273人只需有273-9=264人买票,与题目中的265不符。因此，穗城团、羊城团的人数加起来不可能是273人而应是265+9=274人,而274=30×9+4,因为只有274人才需要购买274-9=265人的票,同样,由z+x=299人,若再增加一人,变为300人,则300=3010,省10人的票,同样也是290人买票。所以羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人。即可能是z+x=299,也可能是z+x=300。
综上所述，可得方程组或
由方程组①可得:2(x+y+z)=793,故x+y+z=396.5,
由方程组②可得:2(x+y+z)=794,故x+y+z=397,由于人数不可能为小数，
所以方程组①不符合实际，应舍去，故三个团共有397人。
故答案为:397。
【例9】解:设船在静水中的速度为xkm/h,水流速度为ykm/h,那么顺流航行的速度为(x+y)km/h，逆流航行的速度为(x-y)km/h,
由题意，有解得
经检验是原方程的解。
答：船在静水中的速度为18km/h，水流速度为3km/h。
【变式训练17】解:设飞机的平均速度为xkm/h,风速为ykm/h,由题意，得
解得：
答:飞机的平均速度为765km/h,风速为15km/h。
【变式训练18】解：设水流速度是a，快船的静水速度是x，快艇的静水速度是y，依题意可得轮船的静水速度为2x，
则:0.5(x+a)+(2x-a)=0.5(y-a),解得:y=5x,
即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍。
故填:5。
【例10】解:设甲的速度是xm/s,乙的速度是ym/s,
依题意有解得
答:甲的速度是2.5m/s,乙的速度是7.5m/s。
【变式训练19】解:设甲速为akm/h,乙速为bkm/h,A,B两地的距离为2S,
依题意不
由②÷①得
由③得⑤
由④÷⑤得
或(不合题意舍去)，
∴S=63(km),则2S=126(km)。
答:A,B两地相距126km。
【变式训练20】解:设甲速度为xm/min,乙速度为ym/min,一圈的
长度为sm，则
①+②×5,得即
②×5-①,得即
答：甲跑一圈需，乙跑一圈需