不定方程(组)2024-2025学年浙教版七年级数学下册（含答案）

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专题二 不定方程(组)
一、选择题
1.一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有 ( )。
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
2.方程|y-x|=-xy的整数解的组数为 ( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
3.方程27x+81y=9999的整数解有几组 ( )。
A.0 B.1 C.2 D.多于2
4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍。”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍。”其中n为正整数，则n的可能值的个数是 ( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知在代数式 中,a、b、c都是整数,当x=3时,该式的值是2008;当x=7时,该式的值是2009，这样的代数式有 ( )。
A.0个 B.1个 C.10个 D.无穷多个
二、填空题
6.50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷，则有效搭建方案共有 种。
7.一个长方形的周长为30cm，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 cm 。
8.如图2，宽为m(109.方程 的整数解的组数是 。
10.为发扬中华民族爱树植树的好传统，我校初一(1)班50名同学与28名社区志愿者共同组织了义务植树活动。50名同学分成了甲、乙两组，28名社区志愿者分成了丙、丁两组。甲、丙两组到A 植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树。植树结束后统计得知：甲组人均植树量比乙组多两棵；丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍；A、B两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%。已知人均植树量均为整数，则(1)班同学共植树 棵。
三、解答题
11.求11x+15y=7的整数解。
12.求方程 的整数解。
13.小甬某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始销售前，他有铅笔和圆珠笔共350支。当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了多少支圆珠笔
14.三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了10个，老二带了16个，老三带了26个。上午他们按同一价格卖了若干个西瓜(西瓜按个数出售)。过了中午，怕西瓜卖不完，他们跌价把所有的西瓜仍按同一价格全部卖掉了。回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的款一样多，每人都卖得35元。问：他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的
15.求方程 的整数解。
答案
一、选择题
1.解：设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意得： 解得:y+2z=8,
∵x,y,z是整数,
∴y可选:0,2,4,6共4种情况。
故选:C。
2.解:假设 y≤0≤x,
|y-x|=-xy转化为x-y+ xy=0,即(x-1)(y+1)=-1,
则 或 解方程组 或
由对称性可知 也适合，即方程|y-x|=-xy的整数解的组数为3。
故选:C。
3.解：显然，方程两边同时除以9，得到：
3x+9y=1111,
等式的两边同时除以3，得到：
要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾，
因此整数解0组。
故选:A。
4.解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数，
由题设可得：
将x=n(y-2)-2代入②得:
消去x得:(2y-7)n=y+4,
即：
为正整数，
∴2y-7的值分别为1,3,5,15,
∴y的值只能为4,5,6,11,
∴n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7,
即n的可能值的有4个。
故选:D。
5.解：根据题意，得
由②-①,得4b+40c=1③,
∵a、b、c都是整数,
∴③的左边是4的倍数，与右边不等，
所以，这样的代数式不存在。
故选:A。
二、填空题
6.解：设3人的X个，两人的Y个，
则:3X+2Y=50,
∵X,Y为正整数,
∴X 只能是偶数，
∴X=2,4,6,8,10,12,14,16,Y=22,19,16,13,10,7,4,1,则方案共有8种。
故答案为：8。
7.解:设长方形的长为 xcm,宽为 ycm,x≥y,
由题意得:2(x+y)=30,解得x+y=15,
∵x,y都是素数,
∴x=13,y=2,
∴长方形的面积为 13×2=26(cm ),
故这个长方形的面积是26cm 。
故答案为：26。
8.解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意,得:3x=5y,
∵x,y均为整数,
∴x为5的倍数，y为3的倍数，
∵10∴x=10,y=6,
∴m=x+y=16。
故答案为：16。
9.解
∴3(x+y)= xy,
∴3x=(x-3)y,
∵y是整数，
∴x-3必是9的因数,
∴x-3=±1或±3或±9,
或 或 或 舍)或 或
∴方程 的整数解有5组。
故答案为：5。
10.解：设50名同学去甲组x人，28名社区志愿者去丙组 y人，甲组人均植树量为a，
根据题意，得：
由
得0.25ax-1.25ay+5y=0,
由
得0.25ax-1.25ay+5y+2x+22.5a-240=0,
∴2x+22.5a-240=0,
∴4x+45a-480=0,
∵x、a均为正整数，
∴a取值为4的倍数，
当a=4时,x=75(不合题意舍去);
当a=8时,x=30;
∴1 班同学共植树:30×8+(50-30)×(8-2)=360(棵)。故答案为:360。
三、解答题
11.解：方法1：将方程11x+15y=7变形得 ∵x是整数，
∴7-15y应是11的倍数,
由观察得x =2，y =-1是这个方程的一组整数解，
∴方程的解为： (t为整数),
方法2：先考察11x+15y=1,
通过观察易得:11×(-4)+15×3=1,
∴11×(-4×7)+15×(3×7)=7,
可取x =-28,y =21。
∴方程的解为： (t为整数)。
12.解：用含y的式子表示x，得
分离整式得
∵x整数,
为整数，
∴y+1为7的约数,
∴y+1=±1,±7,得y=0,-2,6,-8,
∴x=6,-8,0,-2。
13.解：设铅笔卖了x支，圆珠笔卖了y支，依题意得:4x+7y=2013,
∴4x=2012-8y+y+1,
∵x,y均为整数,
为整数，
∴(y+1)为4的整数倍,
∵x+y<350,
又∵(y+1)为4的倍数,
∴(y+1)的最小值为208,
∴y的最小值为207。
答：他至少卖出了207支圆珠笔。
14.解：设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜数分别为x，y，z，下午卖掉的西瓜数依次为10-x,16-y,26-z,上午每个西瓜卖m元,下午每个西瓜卖n元,(m>n>0)
则
∵x,y,z>为整数,且m>n>0,
∴x-z,y-z都是正整数，
可设x-z=8t,y-z=5t(t为正整数),
∴x=8t+z,y=5t+z,
∵x<10,
∴t=1,z=1,x=9,y=6,
解得
∴上午每个西瓜卖3.75元，下午每个西瓜卖1.25元。
15.解:
∵x和y都是整数，
∴y(y-1)=1,(y,y+1)=1,
∴y能整除4,
又∵x≠0,∴y≠±1,
∴y=±2,±4,
经检验，仅有y=2时，x=3为整数，
∴方程 的整数解为