中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1直线的相交七大题型（一课一讲）
（内容:相交线、垂线及其应用）
【浙教版】
题型一：利用对顶角、领补角的定义判断图象
【经典例题1-1】下面四个图形中，与是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题1-2】下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】如图，与是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下面的四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列图形中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：根据对顶角、邻补角的性质求角度
【经典例题2】如图，点O在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，直线与相交于点B，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，点在直线上，射线平分，若°，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中
【变式训练2-6】如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ．
题型三：画垂线（作图题）
【经典例题3】如图，平面上有三个点．
(1)选择恰当的工具按要求画图．
①画直线；
②画射线；
③画线段；
④延长线段到使得；
⑤过点作的垂线分别交于点．
(2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系．
【变式训练3-1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】已知，平面内三个点，，不在同一条直线上．
(1)按要求画图，保留画图痕迹；
①画线段，画射线，画直线；
②延长线段到点，使得；
③过点画直线，垂足为；④连接．
(2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论．
【变式训练3-3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图：
(1)画出线段．
(2)画出直线．
(3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由．
【变式训练3-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上．
(1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)线段的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．
【变式训练3-5】根据下列要求画图：
(1)连接，画直线，画射线；
(2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段．
题型四：垂线段最短的应用
【经典例题4】如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式训练4-1】下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【变式训练4-2】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（ ）
A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【变式训练4-3】观察图形，点到直线的距离是线段 的长．
【变式训练4-4】如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ．
【变式训练4-5】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
题型五：利用点到直线的距离求线段长度
【经典例题5】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【变式训练5-2】如图，在△ABC中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
【变式训练5-3】在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ．
【变式训练5-4】如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个．
【变式训练5-5】如图，在三角形中，，，点A到边的距离为4．若M是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是 ．
题型六：直线的相交综合（解答题）
【经典例题6】如图，直线与相交于点，．
(1)如果，那么根据________，可得________；
(2)如果，求的度数．
【变式训练6-1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式训练6-2】如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式训练6-3】如图，直线、相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式训练6-4】如图，已知直线、相交于点，．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，求的度数．
【变式训练6-5】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
题型七：直线相交综合之角平分线问题（压轴题）
【经典例题7】如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，．
(1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数；
(2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系．
【变式训练7-1】已知：如图，直线与直线交点O，，平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．
【变式训练7-2】如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【变式训练7-3】直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【变式训练7-4】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【变式训练7-5】直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1直线的相交七大题型（一课一讲）
（内容:相交线、垂线及其应用）
【浙教版】
题型一：利用对顶角、领补角的定义判断图象
【经典例题1-1】下面四个图形中，与是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；
D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【经典例题1-2】下列各图中，∠1和∠2都是邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．不是两条直线相交组成的角，故A不符合题意；
B．不是两条直线相交组成的角，故B不符合题意．
C．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故C不符合题意；
D．是邻补角，故D符合题意；
故选∶D．
【变式训练1-1】如图，与是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是．
故选C．
【变式训练1-2】下面的四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由对顶角的定义可知，四个图形中，只有C选项中的图形中的与是对顶角，
故选：C．
【变式训练1-3】下列图形中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：与互为邻补角的是 ，
故选C．
题型二：根据对顶角、邻补角的性质求角度
【经典例题2】如图，点O在直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵点O在直线上，
∴，
故选：C．
【变式训练2-1】如图，直线与相交于点B，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练2-2】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
，
平分，
，
故选：C．
【变式训练2-3】如图，点在直线上，射线平分，若°，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵平分，
∴，
∴
．
故选：C．
【变式训练2-4】如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，平分，
，
．
故选：B．
【变式训练2-5】如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中
【答案】
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-6】如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ．
【答案】20
【详解】解：设，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：20．
题型三：画垂线（作图题）
【经典例题3】如图，平面上有三个点．
(1)选择恰当的工具按要求画图．
①画直线；
②画射线；
③画线段；
④延长线段到使得；
⑤过点作的垂线分别交于点．
(2)通过观察或测量写出线段与线段的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图，①直线即为所求；
②射线即为所求；
③线段即为所求；
④线段即为所求，
⑤垂线、即为所求，
；
（2）解：测量得，，
故．
【变式训练3-1】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：根据分析可得C的画法正确；
故选：C．
【变式训练3-2】已知，平面内三个点，，不在同一条直线上．
(1)按要求画图，保留画图痕迹；
①画线段，画射线，画直线；
②延长线段到点，使得；
③过点画直线，垂足为；④连接．
(2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论．
【答案】(1)见解析(2)见解析（答案不唯一）
【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线，线段、，，即为所求
（2）解：观察图形发现：．
【变式训练3-3】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图：
(1)画出线段．
(2)画出直线．
(3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析，垂线段最短
【详解】（1）解：如图，线段即为所求，
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，点E即为所求，
理由是垂线段最短．
【变式训练3-4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上．
(1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)线段的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)见解析(2) (3) 垂线段最短
【详解】（1）
（2）线段的长度是点到直线的距离．
故答案为：
（3），理由：垂线段最短．
故答案为： 垂线段最短
【变式训练3-5】根据下列要求画图：
(1)连接，画直线，画射线；
(2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求．
题型四：垂线段最短的应用
【经典例题4】如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故选C．
【变式训练4-1】下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【详解】解：①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条，可用“两点确定一条直线”来解释；
②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用可用“两点之间线段最短”来解释；
③测量运动员的跳远成绩，可用“垂线段最短”来解释；
④小狗看到食物，会径直奔向食物，可用“两点之间，线段最短”来解释；
其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②④．
故选：D．
【变式训练4-2】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（ ）
A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
【答案】B
【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意；
C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练4-3】观察图形，点到直线的距离是线段 的长．
【答案】/
【详解】解：依题意，结合图形，得出线段是垂线段，
∴点到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【变式训练4-5】如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
【答案】见解析
【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），
只要最短就行，
即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．
题型五：利用点到直线的距离求线段长度
【经典例题5】如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，，
∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为，
故选：A．
【变式训练5-1】如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，即：；
∴的长可能是6；
故选A．
【变式训练5-2】如图，在△ABC中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
【答案】6
【详解】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
【变式训练5-3】在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶
∵
∴，
∴，
∴，
当点D与点A重合时，取的最大值为4，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，点在直线外的一点，点，在直线上，，于，若，则线段上到点的距离为整数的点有 个．
【答案】6
【详解】解：设点E在上，
∵，，，
∴，
∵为整数，
∴，
∴上有3个点到点的距离为整数，
同理可得：上有3个点到点的距离为整数，
∴线段上到点的距离为整数的点有6个，
故答案为：6．
【变式训练5-5】如图，在三角形中，，，点A到边的距离为4．若M是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵垂线段最短，
∴当时，最短，
∵，，点A到边的距离为4，
∴，
∴．
故答案为：．
题型六：直线的相交综合（解答题）
【经典例题6】如图，直线与相交于点，．
(1)如果，那么根据________，可得________；
(2)如果，求的度数．
【答案】(1)对顶角相等，；(2)．
【详解】（1）解：∵，
∴（对顶角相等），
故答案为：对顶角相等，；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-1】如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：平分，，
，
，
，
；
（2）解：由于，可设，，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为．
【变式训练6-2】如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解： ，
．
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
．
【变式训练6-3】如图，直线、相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【变式训练6-4】如图，已知直线、相交于点，．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式训练6-5】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由对顶角相等，得，
由把分成两部分且，得，
由邻补角，得；
（2）平分，
．
由邻补角，得，
即，
解得．
∴，，
∴．
题型七：直线相交综合之角平分线问题（压轴题）
【经典例题7】如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，．
(1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数；
(2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系．
【答案】(1)或(2)或
【详解】（1）平分，
，
，
．
当在下方时，
平分，，
，
，
，
，
．
当在上方时，
平分，，
，
，
，
，，
；
（2）设，则，
，
，
，
，
，
．
当在的下方时，同理可得
，
，
，
，
，
．
综上所述：或
【变式训练7-1】已知：如图，直线与直线交点O，，平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1），
平分，
，
，
，
，
平分．
（2）平分，平分，
，
，
，
，
，
由（1）知
，
∴．
【变式训练7-2】如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)①，理由见解析；②
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：①，
理由如下：
根据题意可得：，
，
，
平分，
，
，
；
②画出图如图所示：
，
则，，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-3】直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②平分，理由见解析
(2)或
【详解】（1）解：①∵于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
（2）当点在直线的同侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
当点和点在直线的异侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，．
综上可知，或．
【变式训练7-4】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°(2)24°或120°(3)175°或170°或140°
【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【变式训练7-5】直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①的度数为；②见解析；
(2)或．
【详解】（1）解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令②×2-①可得：，
综上所述：或．
