浙教版（2024）七年级下册 1.1 直线的相交 同步分层练习
一、夯实基础
1． 下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直
2．（2023七下·余干月考）如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线
3．（2021七下·永吉期中）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·渝中期末）以下奥运会比赛项目中，按点到直线的距离来评定成绩的是（ ）
A．跳远 B．链球 C．铅球 D．铁饼
5．（2024·北京市）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
6．（2024七下·市南区期中） 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广西） 已知 与 为对顶角， ， 则 °
8．（2024七下·田阳月考） 如图是小强同学在体育课上跳远后留下的脚印， 他的跳远成绩是线段 的长度， 这样测量的依据是 。
9．（2024七上·衡阳期末）如图，AB与CD相交于点O，，，则 ．
二、能力提升
10．（2024·雅安）如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七下·随县期末）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3．则∠BOC的度数为 ．
13．（2023七上·哈尔滨期中）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD.
（1）写出图中所有与∠AOC互余的角.
（2）当∠MON=120°时，求∠BOD 的度数.
15．（ 【牵手重高】过关错题浙教版数学七（上）第十一讲角与相交线）如图，直线AB，CD相交于点O，.射线OE在的内部，2∠BOE.
（1）求∠BOE和∠AOE的度数.
（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出的度数.
三、拓展创新
16．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
17．（2024七下·常平期中）如图，直线AB相与CD相交于O，OF，OD分别是，平分线．
（1）写出∠DOE的两个补角：
（2）若．求∠BOC和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；线段的长短比较
【解析】【解答】解：A利用了两点确定一条直线，不符合题意；
B利用了两点之间线段最短，符合题意；
C利用了线段的和差，不符合题意；
D利用了垂线段最短，不符合题意.
故答案为：B
【分析】逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意，将公路看作直线，图中，他选择P→C路线，
∵ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴应选择P→C路线.
故答案为：B.
【分析】根据垂线的性质"垂线段最短"即可求解．
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
B中∠1和∠2是对顶角；
C中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
D中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
故答案为：B．
【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点到直线的距离为垂线段的长度，
∴只有跳远的成绩按此评定；
故答案为：A．
【分析】根据点到直线的距离为垂线段的长度，进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°，
∵∠AOC=58°，
∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，A符合题意；
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，B不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，C不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可。熟知点到直线的距离是解答本题的关键。
7．【答案】35
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ 与 为对顶角，
∴∠2=∠1=35°.
故答案为：35
【分析】根据对顶角的性质即可得到结论.
8．【答案】BN；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据生活实际，在量取跳远成绩时，需量后脚到起跳线的距离，故跳远成绩BN，理论依据为：垂线段最短.
故答案为：（1）BN（2）垂线段最短
【分析】根据点到直线的距离定义及垂线段最短，对实际问题进行判断即可.
9．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据对顶角相等可得，然后利用解题即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB于O，
∴∠AOE=90°，
∵∠1=35°，
∴∠AOC=90°-35°=55°，
∴∠2=∠AOC=55°.
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义可得∠AOE=90°，由角的构成∠AOE=∠1+∠AOC并结合已知可求得∠AOC的度数，然后根据对顶角相等可求解.
11．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：读取量角器可知：，
∴，
故答案为：B．
分析】首先正确识读，进而根据对顶角相等即可得出答案.
12．【答案】30°或150°
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°﹣60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故答案是：30°或150°．
【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
13．【答案】或
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线AB与直线CD相交于点O ，
∴，
∵，
∴，
∴或者.
故答案为：60°或120°.
【分析】根据对顶角相等，求出∠AOD的度数，再分两种情况分别求出对应的∠AOM的度数即可.
14．【答案】（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AOM=∠CON=90°，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠AOC+∠AON=90°，
∴与∠AOC互余的角为：∠COM，∠AON
（2）∵∠MON=120°，∠AOM=90°，
∴∠AON=∠MON-∠AOM=30°，
∵ON⊥CD，
∴∠NOD=90°，
∴∠BOD=180-∠AON-∠NOD=60°
【知识点】角的运算；垂线的概念；余角
【解析】【分析】(1)利用互余两角的和为90°即可判断；
(2)先求出∠AON=30°，然后再利用平角180°减去90°与30°的和即可解答.
15．【答案】（1）解：∵∠AOC=72°，
∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，
设∠BOE=x，则∠DOE=2x，
由题意得x+2x=72°，
解得x=24°，
∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，
∴∠AOE=156°.
（2）解：若射线OF在∠BOC的内部，
若射线OF在∠AOD的内部，
∴∠DOF的度数是138°或42°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；对顶角及其性质；补角
【解析】【分析】（1）先根据对顶角和补角得到∠BOD=72°，∠AOD=108°，设∠BOE=x，则∠DOE=2x，根据题意求出x，从而即可求解；
（2）根据题意分类讨论：若射线OF在∠BOC的内部，若射线OF在∠AOD的内部，进而进行角的运算即可求解。
16．【答案】（1）解：∵∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD，∴∠AOE=42°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=-∠BOE=-×138°=69°，∴∠AOD=∠BOC=69°；
（2）解：猜想OE⊥OF，理由如下：
设∠DOF=x，则∠AOE=2x.
∴∠BOE=180°-2x.
∵OC平分∠BOE，
∴.
∴∠AOD=∠BOC=90°-x.
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-2x.
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=2x+90°-2x=90°.
∴OE⊥OF.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）、要注意到∠AOD与∠BOC是对顶角，因此相等. 而∠BOC又间接可以通过求∠AOE来计算（因为∠AOE与∠BOC、∠COE的角度和为180°，而∠BOC=∠COE），然后∠AOE通过条件又可知等于2倍的∠FOD，而∠FOD已经给出了具体的度数，故从∠FOD出发一步步计算出∠AOD；（2）、从图片给到的直观感受就是垂直，因此猜想垂直. 而证明的核心在于证明∠EOF为直角，而∠EOF=∠AOE+∠AOF. 结合条件，以∠FOD为变量，分别表示出∠AOE与∠AOF，最后相加后发现角度为定值90°. 从而求证完毕.
17．【答案】（1）解：∠DOE 的补角为：∠COE，∠AOD，∠BOC．
（2）解：∵OD是∠BOE 的平分线，
∴∠DOE=∠BOD=30°，∠BOE＝60°；
∵∠BOC＝180°﹣∠BOD，
∴∠BOC＝150°；
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE，
∴∠AOE＝120°；
又∵OF是∠AOE 的平分线，
∴∠EOF=∠AOE＝60°
（3）解：射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝∠BOE+∠EOA＝（∠BOE+∠EOA）＝×180°＝90°．
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是垂直．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据补角的定义“和为180°的两个角互为补角”并结合图形即可求解；
（2）根据角平分线定义得∠BOE=2∠DOE，由平角的定义可分别求得∠BOC、∠AOE的度数，然后根据角平分线定义即可求解；
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：根据角平分线定义和角的构成即可求得∠DOF=90°，由垂线的定义即可求解.
1 / 1浙教版（2024）七年级下册 1.1 直线的相交 同步分层练习
一、夯实基础
1． 下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；线段的长短比较
【解析】【解答】解：A利用了两点确定一条直线，不符合题意；
B利用了两点之间线段最短，符合题意；
C利用了线段的和差，不符合题意；
D利用了垂线段最短，不符合题意.
故答案为：B
【分析】逐项进行判断即可求出答案.
2．（2023七下·余干月考）如图所示，小明的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意，将公路看作直线，图中，他选择P→C路线，
∵ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴应选择P→C路线.
故答案为：B.
【分析】根据垂线的性质"垂线段最短"即可求解．
3．（2021七下·永吉期中）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义：
A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
B中∠1和∠2是对顶角；
C中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
D中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
故答案为：B．
【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此判断即可.
4．（2024七下·渝中期末）以下奥运会比赛项目中，按点到直线的距离来评定成绩的是（ ）
A．跳远 B．链球 C．铅球 D．铁饼
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点到直线的距离为垂线段的长度，
∴只有跳远的成绩按此评定；
故答案为：A．
【分析】根据点到直线的距离为垂线段的长度，进行判断即可．
5．（2024·北京市）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°，
∵∠AOC=58°，
∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.
6．（2024七下·市南区期中） 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，A符合题意；
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，B不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，C不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可。熟知点到直线的距离是解答本题的关键。
7．（2024·广西） 已知 与 为对顶角， ， 则 °
【答案】35
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ 与 为对顶角，
∴∠2=∠1=35°.
故答案为：35
【分析】根据对顶角的性质即可得到结论.
8．（2024七下·田阳月考） 如图是小强同学在体育课上跳远后留下的脚印， 他的跳远成绩是线段 的长度， 这样测量的依据是 。
【答案】BN；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据生活实际，在量取跳远成绩时，需量后脚到起跳线的距离，故跳远成绩BN，理论依据为：垂线段最短.
故答案为：（1）BN（2）垂线段最短
【分析】根据点到直线的距离定义及垂线段最短，对实际问题进行判断即可.
9．（2024七上·衡阳期末）如图，AB与CD相交于点O，，，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据对顶角相等可得，然后利用解题即可．
二、能力提升
10．（2024·雅安）如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB于O，
∴∠AOE=90°，
∵∠1=35°，
∴∠AOC=90°-35°=55°，
∴∠2=∠AOC=55°.
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义可得∠AOE=90°，由角的构成∠AOE=∠1+∠AOC并结合已知可求得∠AOC的度数，然后根据对顶角相等可求解.
11．（2024七下·随县期末）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：读取量角器可知：，
∴，
故答案为：B．
分析】首先正确识读，进而根据对顶角相等即可得出答案.
12．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3．则∠BOC的度数为 ．
【答案】30°或150°
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°﹣60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故答案是：30°或150°．
【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
13．（2023七上·哈尔滨期中）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ．
【答案】或
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线AB与直线CD相交于点O ，
∴，
∵，
∴，
∴或者.
故答案为：60°或120°.
【分析】根据对顶角相等，求出∠AOD的度数，再分两种情况分别求出对应的∠AOM的度数即可.
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD.
（1）写出图中所有与∠AOC互余的角.
（2）当∠MON=120°时，求∠BOD 的度数.
【答案】（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AOM=∠CON=90°，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠AOC+∠AON=90°，
∴与∠AOC互余的角为：∠COM，∠AON
（2）∵∠MON=120°，∠AOM=90°，
∴∠AON=∠MON-∠AOM=30°，
∵ON⊥CD，
∴∠NOD=90°，
∴∠BOD=180-∠AON-∠NOD=60°
【知识点】角的运算；垂线的概念；余角
【解析】【分析】(1)利用互余两角的和为90°即可判断；
(2)先求出∠AON=30°，然后再利用平角180°减去90°与30°的和即可解答.
15．（ 【牵手重高】过关错题浙教版数学七（上）第十一讲角与相交线）如图，直线AB，CD相交于点O，.射线OE在的内部，2∠BOE.
（1）求∠BOE和∠AOE的度数.
（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOC=72°，
∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，
设∠BOE=x，则∠DOE=2x，
由题意得x+2x=72°，
解得x=24°，
∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，
∴∠AOE=156°.
（2）解：若射线OF在∠BOC的内部，
若射线OF在∠AOD的内部，
∴∠DOF的度数是138°或42°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；对顶角及其性质；补角
【解析】【分析】（1）先根据对顶角和补角得到∠BOD=72°，∠AOD=108°，设∠BOE=x，则∠DOE=2x，根据题意求出x，从而即可求解；
（2）根据题意分类讨论：若射线OF在∠BOC的内部，若射线OF在∠AOD的内部，进而进行角的运算即可求解。
三、拓展创新
16．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD，∴∠AOE=42°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=-∠BOE=-×138°=69°，∴∠AOD=∠BOC=69°；
（2）解：猜想OE⊥OF，理由如下：
设∠DOF=x，则∠AOE=2x.
∴∠BOE=180°-2x.
∵OC平分∠BOE，
∴.
∴∠AOD=∠BOC=90°-x.
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-2x.
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=2x+90°-2x=90°.
∴OE⊥OF.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）、要注意到∠AOD与∠BOC是对顶角，因此相等. 而∠BOC又间接可以通过求∠AOE来计算（因为∠AOE与∠BOC、∠COE的角度和为180°，而∠BOC=∠COE），然后∠AOE通过条件又可知等于2倍的∠FOD，而∠FOD已经给出了具体的度数，故从∠FOD出发一步步计算出∠AOD；（2）、从图片给到的直观感受就是垂直，因此猜想垂直. 而证明的核心在于证明∠EOF为直角，而∠EOF=∠AOE+∠AOF. 结合条件，以∠FOD为变量，分别表示出∠AOE与∠AOF，最后相加后发现角度为定值90°. 从而求证完毕.
17．（2024七下·常平期中）如图，直线AB相与CD相交于O，OF，OD分别是，平分线．
（1）写出∠DOE的两个补角：
（2）若．求∠BOC和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：∠DOE 的补角为：∠COE，∠AOD，∠BOC．
（2）解：∵OD是∠BOE 的平分线，
∴∠DOE=∠BOD=30°，∠BOE＝60°；
∵∠BOC＝180°﹣∠BOD，
∴∠BOC＝150°；
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE，
∴∠AOE＝120°；
又∵OF是∠AOE 的平分线，
∴∠EOF=∠AOE＝60°
（3）解：射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝∠BOE+∠EOA＝（∠BOE+∠EOA）＝×180°＝90°．
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是垂直．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据补角的定义“和为180°的两个角互为补角”并结合图形即可求解；
（2）根据角平分线定义得∠BOE=2∠DOE，由平角的定义可分别求得∠BOC、∠AOE的度数，然后根据角平分线定义即可求解；
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：根据角平分线定义和角的构成即可求得∠DOF=90°，由垂线的定义即可求解.
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