(共12张PPT)
第2章 二元一次方程组
2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
七下数学 ZJ
1.了解三元一次方程组的概念,类比二元一次方程组的解法,能解简
单的三元一次方程组,进一步体会化归思想,提升运算能力。
2.会利用三元一次方程组解决实际问题,进一步提高模型观念,发展
应用意识。
1.三元一次方程：和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有
未知数的项的次数都是一次的方程叫作三元一次方程。
2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的
方程组叫作三元一次方程组。例如， 就是三元一次
方程组。
每一个方程中不一定都含有三个未知数，只要保证方程组中一共有三个未知数即可
三元一次方程组必须同时满足三个条件
（1）方程组中一共含有三个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是一次；
（3）有三个方程。
3.三元一次方程组的解：同时满足三元一次方程组中各个方程的解
叫作这个三元一次方程组的解。
典例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A
A.B. C. D.
解析：
选项 分析 结论
A 符合三元一次方程组的定义。 是
B 共含有4个未知数。 否
C 只有两个方程，且方程 不是整式方程。 否
D 方程中 项的次数是二次。 否
1.解三元一次方程组的基本思路
2.解三元一次方程组的一般步骤：
（1）消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外
两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得
到关于另外两个未知数的二元一次方程组。
（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。
（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个
未知数的方程中，得到一个一元一次方程。
（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值。
（5）写解：将求得的三个未知数的值用“ ”写在一起。
典例2 解下列方程组：
（1）
解：，得。 ④
③与④组成二元一次方程组
→消去未知数
→组成关于， 的方程组
解这个方程组，得
把, 代入①，得,
所以。
所以这个三元一次方程组的解为
→回代求 的值
→写出方程组的解
（2）
的系数的绝对值是1，故消去 较简便
解：，得 。 ④
,得 。 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把,代入②，得,所以 。
所以这个三元一次方程组的解为(共7张PPT)
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
七下数学 ZJ
1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤。
2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的
有效模型,发展模型观念。
3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析
问题与解决问题的能力,形成应用意识。
1.当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往
比较容易列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两
个不同的方程，才能组成二元一次方程组。
2.列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
（1）理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
（2）制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组；
（3）执行计划：列出方程组并求解，得到答案；
（4）回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符
合题意。
（1）一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成
方程组。（2）设未知数及写答时，都要写清单位。
典例1 楠溪江某景点门票价格为：成人票每张70元，儿童票每张35
元。小明买20张门票共花了1 225元，求小明分别购买了成人票和
儿童票多少张。
解：设小明购买了成人票张，儿童票 张。
根据题意，得
由①，得 。 ③
所以这个方程组的解为
经检验，这个解满足方程组，且符合题意。
答：小明购买了成人票15张，儿童票5张。
把③代入②，得，解得 。
把代入③，得 。(共18张PPT)
第2章 二元一次方程组
2.3 解二元一次方程组
七下数学 ZJ
1.理解解二元一次方程组的基本思想——消元思想，会用消元法把
二元一次方程组转化为一元一次方程,体会转化思想。
2.掌握解二元一次方程组的基本方法——代入消元法和加减消元法,
并能根据二元一次方程组的特征选择适当的解法,提升运算能力。
1.消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消
元思想，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
2.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另
一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进
而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫
作代入消元法，简称代入法。
3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
步骤 具体做法 目的 注意事项
①变形 将方程组中的一个方 程变形，使得一个未 知数能用含有另一个 未知数的代数式表 示。 将一个方程变形为 或 ， 是常数， 的形式。 一般选未知
数系数比较
简单的方程
变形。
步骤 具体做法 目的 注意事项
②代入 求值 用这个代数式代替另 一个方程中相应的未 知数，得到一个一元 一次方程，求得一个 未知数的值。 消去一个未知数， 将二元一次方程组 转化为一元一次方 程。 变形后的方
程只能代入
另一个没有
变形的方
程。
步骤 具体做法 目的 注意事项
③回代 把这个未知数的值代 入代数式，求得另一 个未知数的值。 求出另一个未知数 的值。 一般代入变
形后的方
程。
④写解 写出方程组的解。 表示为 的形 式。 用“｛”将未
知数的值联
立起来。
典例1 用代入法解下列方程组：
（1）
解：将①代入②，得，解得 。
把代入①，得 。
所以原方程组的解是
（2）
解：由②，得。
把③代入①，得。
解这个方程，得。
把代入③，得。
所以原方程组的解是
→ 变形（用含的代数式表示 ）
→ 代入（消去 ）
→ 求值（求出 的值）
→ 回代（求出 的值）
→ 写解
敲黑板
代入消元法选取变形方程的原则
（1）选择未知数的系数是1或的方程；
（2）选择常数项为0的方程；
（3）若未知数的系数都不是1或，选系数的绝对值较小的方程。
1.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数
的系数互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相
减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方
法叫作加减消元法，简称加减法。
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
步骤 具体做法 目的 注意事项
①变形 将其中一个未知 数的系数化成相 同（或互为相反 数）。 使两方程相减 （或相加）能 消去该未知 数。 当某个方程乘一个数
时，方程两边的每一
项都要和这个数相
乘。
步骤 具体做法 目的 注意事项
②加减 通过相减 （或相加）消去 这个未知数，得 到一个一元一次 方程。 将二元一次方 程组转化为一 元一次方程。 把两个方程相减
（或相加）时，一定
要把两个方程等号两
边分别相减
（或相加）。
③求解 解这个一元一次 方程，得到一个 未知数的值。 求出一个未知 数的值。
步骤 具体做法 目的 注意事项
④回代 将求得的未知数 的值代入原方程 组中的任意一个 方程，求得另一 个未知数的值。 求出另一个未 知数的值。 回代时选择系数较简
单的方程。
步骤 具体做法 目的 注意事项
⑤写解 写出方程组的 解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值
联立起来。
典例2 用加减法解下列方程组:
解：（1），得，解得。
把代入①，得，解得。
所以原方程组的解是 （写解）
（1）
解：（2）,得 。 ③
,得,解得。
把代入①，得，解得 。
所以原方程组的解是
（2）
解题通法
用加减消元法求解二元一次方程组的技巧
（1）若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减
消元；
（2）若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两
个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等;
（3）若方程组较复杂，则应先化简整理,再求解。(共13张PPT)
第2章 二元一次方程组
2.2 二元一次方程组和它的解
七下数学 ZJ
1.理解二元一次方程组及它的解的意义，发展抽象能力。
2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解。
3.能根据实际问题中的数量关系列出简单的二元一次方程组,体会方
程是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型,形成应用意识。
1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的
方程组，叫作二元一次方程组。例如， 都
是二元一次方程组。
2.二元一次方程组必须同时满足三个条件：
（1）两个整式方程；（2）方程组中一共含有两个未知数；
并不是每个方程都必须含有两个未知数
（3）含有未知数的项的次数都是一次。
示例 二元一次方程组 ____________________________________________________________________
典例1 已知,, 表示未知数，下列方程组是二元一次方程组的是
______。（填序号）
③④
解析：①中含有3个未知数；②中含有未知数的项 的次数是二次；
⑤中 不是整式方程。满足二元一次方程组的概念的只有
③④。
1.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，
叫作这个二元一次方程组的解。例如， 就是二元一次方程
组 的解。
2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法
敲黑板
二元一次方程组的解的特点
（1）二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如
方程组的解应写成
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，
如方程组无解，方程组 有无数组解。
典例2 判断是不是方程组 的解。
解：对于方程组
将,代入方程①中，左边 右边，
所以 是方程①的解；
将,代入方程②中，左边 右边，
所以 是方程②的解。
所以是方程组 的解。
由于二元一次方程一般有无数个解，故要求二元一次方程组的解，
只需求出方程组中各个方程的解的公共部分，可通过列表尝试求出
方程组的解。
典例3 已知方程组
（1）分别取 ，0，1，2，请将下表填写完整：
0 1 2 0 1 2
___ __ __ ___ ___ ____ __ ____
6
4
2
0
3
2.5
2
1.5
（2）读表，写出方程组的解。
解：同时满足两个方程的解为故方程组的解为(共11张PPT)
第2章 二元一次方程组
2.1 二元一次方程
七下数学 ZJ
1.理解二元一次方程及它的解的意义，发展抽象能力。
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程的解。
3.会将一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另
一个未知数的形式。
1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是
一次的方程叫作二元一次方程。
2.二元一次方程必须同时满足三个条件：→识别二元一次方程的方法
（1）是整式方程；
（2）含有两个未知数；
（3）含有未知数的项的次数都是一次（而不是未知数的次数是一
次，如 ,两个未知数的次数都是一次，但含未知数的项
的次数是二次，故其不是二元一次方程）。
示例 二元一次方程 ________________________________________________________________________________
典例1 下列方程中，属于二元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
解析：
选项 分析 结论
A 只含有一个未知数 不属于
B 含有未知数的项 的次数是二次 不属于
C 方程左边不是整式 不属于
D 满足二元一次方程的三个条件 属于
1.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未
知数的值，叫作二元一次方程的一个解。
2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法
敲黑板
二元一次方程的解的特点
（1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立
表示。
（2）二元一次方程有无数个解，但如果对未知数的取值附加某些
限制条件，那么也可能只有有限个解。
典例2 (无锡中考)下列4组数中，不是二元一次方程 的解
的是( )
D
A. B. C. D.
解析：选项A，把，代入方程，左边 右边，所以
是方程的解；选项B，把，代入方程，左边 右边，
所以是方程的解；选项C，把，代入方程，左边
右边，所以是方程的解；选项D，把， 代入方程，左
边 右边，所以不是方程的解。
把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示
另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元
一次方程。
（2）用含的代数式表示 。
（2）把当成常数，当成未知数，解关于 的方程。
移项，得。两边同除以6，得 。
典例3 已知二元一次方程 。
（1）用含的代数式表示 。
解：（1）把当成常数，当成未知数，解关于 的方程。
移项，得。两边同除以，得 。
